Kaprekarova konstanta
Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
| Celé číslo | 6174 šest tisíc stosedmdesátčtyři |
|---|---|
| Faktorizace | 2 · 3² · 7³ |
| Římská číslice | MMMMMMCLXXIV |
| Binárně | 1100000011110 |
| Hexadecimálně | 181E |
Číslo 6174 je výsledkem jedné úlohy rekreační matematiky. Je označováno jako Kaprekarova konstanta po indickém matematikovi D. R. Kaprekarovi.
Toto číslo je pevným bodem posloupnosti definované následujícím rekurzivním algoritmem:
- Vezmi libovolné čtyřmístné číslo (s výjimkou čísla se čtyřmi shodnými ciframi – 1111, 2222, …; viz níže). (Lze použít i čísla s menším počtem cifer, které je ale třeba zleva dorovnat nulami, např. 274 → 0274.)
- Uspořádáním jeho číslic vzestupně a sestupně vzniknou dvě čtyřmístná čísla (opět zde ale může vzniknout např. trojmístné číslo s předřazenou úvodní nulou).
- Odečti menší od většího.
- S výsledkem opakuj krok 2.
Výše uvedený algoritmus začne maximálně po deseti krocích generovat číslo 6174, které je pevným bodem posloupnosti, protože 7641 − 1467 = 6174.
[editovat] Příklad
- 5432 − 2345 = 3087
- 8730 − 0378 = 8352
- 8532 − 2358 = 6174
Jediná čtyřciferná čísla, u kterých tento postup selhává, jsou čísla složená se čtyř stejných číslic, u kterých první iterace skončí nulou.
[editovat] Zobecnění
Postup lze zobecnit pro jiné počty číslic a případně i jiné číselné báze. Pro trojciferná čísla v desítkové soustavě je pevným bodem číslo 495. V jiných případech neexistuje jediné číslo, ale algoritmus se zacyklí mezi několika hodnotami, případně takových cyklů existuje několik a výsledek závisí na počáteční hodnotě. Například čtyřciferná čísla v osmičkové soustavě mají dva cykly, jedním z nich je 30658 → 61528 → 52438 → 30658.
[editovat] Externí odkazy
- Kaprekarův postup v encyklopedii MathWorld (anglicky)
- Posloupnost A099009 v OEIS: Pevné body Kaprekarova postupu pro různé délky čísel v desítkové soustavě
