Normála

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Normála daného n−1 dimenzionálního podprostoru v n-dimenzionálním prostoru je přímka kolmá na daný podprostor. Vektor určující směr normály se nazývá normálový vektor. V rovinném případě je to vektor kolmý na přímku, v prostorovém případě je to vektor kolmý na rovinu.

Obecněji lze v jednotlivých bodech určovat i normály jiných spojitých n−1 rozměrných útvarů - tzv. nadploch. Například v rovině ke křivkám nebo v prostoru k plochám. Normála je pak normálou tečného podprostoru v daném bodě a určuje orientaci nadplochy.

Lze také určovat normály k útvarům nižší dimenze, např. k prostorové křivce. V takovém případě však normála není určena jednoznačně. Všechny normály v daném bodě pak tvoří normálový prostor, např. v případě prostorové křivky tvoří všechny normály normálovou rovinu.

[editovat] Normála plochy

Je-li rovina dána rovnicí $a x + b y + c z + d = 0$ , potom je její normálový vektor n roven $(a, b, c)$ .

Je-li příslušně hladká plocha dána rovnicemi

$x = x(r,s),\,$

$y = y(r,s),\,$

$z = z(r,s),\,$

potom je vektor normály až na znaménko udán jako

$\mathbf{n} = \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial r} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial s} = \left|\begin{matrix} \frac{\partial x}{\partial r}, & \frac{\partial y}{\partial r}, & \frac{\partial z}{\partial r}\\ \frac{\partial x}{\partial s}, & \frac{\partial y}{\partial s}, & \frac{\partial z}{\partial s}\\ \mathbf{e}_1, & \mathbf{e}_2, & \mathbf{e}_3\end{matrix}\right|,$

což má přímé zobecnění v n-rozměrném prostoru:

$\mathbf{n} = \left|\begin{matrix} \frac{\partial x_1}{\partial p_1}, & \dots, & \frac{\partial x_n}{\partial p_1}\\ \dots, & \dots, & \dots \\ \frac{\partial x_1}{\partial p_{n-1}}, & \dots, & \frac{\partial x_n}{\partial p_{n-1}}\\ \mathbf{e}_1, & \dots, & \mathbf{e}_n\end{matrix}\right|,$

kde $p_1,\dots,p_{n-1}$ jsou parametry plochy.

Je-li plocha dána jako množina bodů $(x, y, z)$ splňujících rovnici : $F (x, y, z) = 0$ , potom určíme vektor normály až na znaménko jako gradient F:

$\mathbf{n} = \nabla F(x,y,z)$ .

[editovat] Normála křivky

Všechny přímky, které prochází daným bodem křivky $\mathbf{r}=\mathbf{r}(s)$ , kde $s$ je oblouk křivky, a jsou kolmé na tečný vektor $\mathbf{t}$ v tomto bodě, se označují jako normály křivky v daném bodě.

Hlavní (první) normálou křivky se nazývá přímka, která je její normálou v daném bodě a jejíž směr je určen vektorem $\frac{\mathrm{d}\mathbf{t}}{\mathrm{d}s}$ .

Jednotkový vektor $\mathbf{n}$ , který má stejný směr jako vektor $\frac{\mathrm{d}\mathbf{t}}{\mathrm{d}s}$ , se nazývá jednotkový vektor hlavní (první) normály. Hlavní normála je definována pokud v daném bodě křivky platí $\frac{\mathrm{d}^2\mathbf{t}}{\mathrm{d}s^2}\neq 0$ .

Jednotkový vektor hlavní normály lze pomocí Frenetových vzorců vyjádřit jako

$\mathbf{n} = \frac{1}{k_1}\frac{\mathrm{d}\mathbf{t}}{\mathrm{d}s} = \frac{1}{k_1}\frac{\mathrm{d}^2\mathbf{r}}{\mathrm{d}s^2}$ ,

kde $k 1$ je tzv. první křivost.

Vektory $\mathbf{t}$ a $\mathbf{n}$ jsou vzájemně kolmé, tzn. $\mathbf{t}\cdot\mathbf{n}=0$ .

Pokud parametrem křivky není její oblouk $s$ , ale obecný parametr $t$ , tzn. křivka je dána rovnicí $\mathbf{r}=\mathbf{r}(t)$ , pak je jednotkový normálový vektor $\mathbf{n}$ dán vztahem

$\mathbf{n} = \frac{\frac{\mathrm{d}^2\mathbf{r}}{\mathrm{d}t^2}c + \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}c}{\mathrm{d}t}}{\sqrt{\left(\frac{\mathrm{d}^2\mathbf{r}}{\mathrm{d}t^2}c + \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}c}{\mathrm{d}t}\right) \cdot \left(\frac{\mathrm{d}^2\mathbf{r}}{\mathrm{d}t^2}c + \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}c}{\mathrm{d}t}\right)}}$ ,

kde $c = \frac{1}{\sqrt{\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\cdot\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}}} = \frac{1}{\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}}$ pokud platí $\frac{\mathrm{d}^2\mathbf{r}}{\mathrm{d}t^2}\neq 0$ a $\frac{\mathrm{d}^2\mathbf{r}}{\mathrm{d}t^2}c + \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}c}{\mathrm{d}t}\neq 0$ .