Reziduum

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Vyjádříme-li holomorfní funkci $f (z)$ v okolí jejího izolovaného singulárního bodu $z 0$ Laurentovou řadou (pro $z \neq z_0$ ), pak číslo $a - 1$ se nazývá reziduum funkce $f (z)$ v bodě $z 0$ .

Na základě vyjádření koeficientů Laurentova rozvoje získáme

$a_{-1} = \frac{1}{2 \pi \mathrm{i}} \oint_c f(z) \mathrm{d}z$

[editovat] Reziduová věta

Mějme jednoduchou konečnou po částech hladkou uzavřenou křivku $c$ , která je kladně orientovaná vzhledem ke svému vnitřku $\mathbf{G}$ . Uvažujme funkci $f (z)$ , která je v $\mathbf{G}$ holomorfní s výjimkou konečného počtu singulárních bodů $z 1, z 2,..., z n$ a s výjimkou těchto bodů spojitá v $\mathbf{G} \cup c$ . Pak integrál $\frac{1}{2 \pi \mathrm{i}} \oint_c f(z) \mathrm{d}z$ je roven součtu reziduí funkce $f (z)$ v bodech $z 1, z 2,..., z n$ , tzn.

$\frac{1}{2 \pi \mathrm{i}} \oint_c f(z) \mathrm{d}z = \sum_{k=1}^n \mathrm{Res}{[f(z)]}_{z=z_k}$ ,

kde $\mathrm{Res}{[f(z)]}_{z=z_k}$ označuje reziduum funkce $f (z)$ v bodě $z k$ .

[editovat] Výpočet reziduí

Má-li holomorfní funkce f definovaná alespoň na okolí D = {z: 0 < |z-c| < R, R > 0} v bodě c pól prvního řádu, potom je reziduum určeno jako:

$\operatorname{Res}\left[f\right]_{z=c}=\lim_{z\to c}(z-c)f(z),$

nebo přímo použitím reziduové věty

$\operatorname{Res}\left[f\right]_{z=c} = {1 \over 2\pi i} \int_\gamma f(z)\,dz$

kde kladně orientovaná křivka γ tvoří kruh kolem c o poloměru ε, kde ε je libovolně malé.

Reziduum funkce f(z)=g(z)/h(z) mající v c pól prvního řádu, kde g a h jsou holomorfní funkce v okolí c a zároveň h(c) = 0, g(c) ≠ 0, je dáno jako

$\operatorname{Res}\left[f\right]_{z=c} = \frac{g(c)}{h'(c)}.$

Obecněji je reziduum funkce f v bodě z = c mající v c a pól řádu n vyjádřeno jako:

$\operatorname{Res}\left[f\right]_{z=c} = \frac{1}{(n-1)!} \cdot \lim_{z \to c} \left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\right)^{n-1}\left( f(z)\cdot (z-c)^{n} \right).$