Souvislá množina

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Souvislá množina je matematický pojem z oblasti topologie.

Obsah

1 Definice
2 Vlastnosti
3 Podívejte se také na

[editovat] Definice

[editovat] Souvislá množina

Množina $\mathbf{X} \subset \mathbf{M}$ topologického či metrického prostoru $(\mathbf{M},\rho)$ se nazývá souvislá, pokud v $\mathbf{M}$ existují takové neprázdné otevřené množiny $\mathbf{A}, \mathbf{B}$ , že platí

$\mathbf{X} = \mathbf{A} \cup \mathbf{B}$
$\mathbf{A} \cap \mathbf{B} = \emptyset$

[editovat] Souvislý prostor

Topologický prostor je souvislý, je-li svou vlastní souvislou podmnožinou.

Topologický prostor $X$ je souvislý právě tehdy, když jediné podmnožiny v $X$ , které jsou současně otevřené i uzavřené, jsou $X$ a $\emptyset$ . V opačném případě bývá prostor $X$ označován jako nesouvislý.

[editovat] Komponenta souvislosti

Komponenta souvislosti množiny $\mathbf{X} \subset \mathbf{M}$ je každá její maximální (vzhledem k $\subseteq$ ) souvislá podmnožina.

[editovat] Vlastnosti

Množina $\mathbf{X} \subset \mathbf{M}$ metrického prostoru $(\mathbf{M},\rho)$ je souvislá právě tehdy, když neexistuje rozklad množiny $\mathbf{X}$ na dvě části $\mathbf{X}_1, \mathbf{X}_2$ , pro něž by platilo

$(\mathbf{X}_1 \cap \overline \mathbf{X}_2) \cup (\mathbf{X}_2 \cap \overline \mathbf{X}_1) = \emptyset$

Je-li $\mathbf{X} \subset \mathbf{M}$ takovou částí metrického prostoru $(\mathbf{M},\rho)$ , že pro každé dva body $x 1, x 2$ množiny $\mathbf{X}$ existuje souvislá množina $\mathbf{C} \subset \mathbf{X}$ obsahující oba body $x 1, x 2$ , pak množina $\mathbf{X}$ je souvislá.