Abzählbarkeitsaxiom

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Im mathematischen Teilgebiet der Topologie gibt es zwei Endlichkeitsbedingungen an die betrachteten Räume, die als erstes bzw. zweites Abzählbarkeitsaxiom bezeichnet werden. Räume, die ein Abzählbarkeitsaxiom erfüllen, können aus toplogischer Sicht als „klein“ gelten.

Inhaltsverzeichnis

1 Erstes Abzählbarkeitsaxiom
- 1.1 Eigenschaften
2 Zweites Abzählbarkeitsaxiom
- 2.1 Eigenschaften
3 Beispiele
4 Siehe auch
5 Weblinks
6 Literatur
7 Quelle

[Bearbeiten] Erstes Abzählbarkeitsaxiom

Es besagt:

Jeder Punkt hat eine abzählbare Umgebungsbasis.

Das bedeutet: Ist $X$ ein topologischer Raum und $x\in X$ ein Punkt, so gibt es eine abzählbare Menge $\{U_1,U_2,\ldots\}$ von Umgebungen von $x$ , so dass es zu jeder Umgebung $V$ von $x$ einen Index $k$ gibt, so dass $U_k\subseteq V$ gilt.

[Bearbeiten] Eigenschaften

Das erste Abzählbarkeitsaxiom ist eine lokale Forderung, d.h. ist ${V i}$ eine offene Überdeckung von $X$ , so dass die Räume $V i$ mit der Teilraumtopologie das erste Abzählbarkeitsaxiom erfüllen, dann gilt das erste Abzählbarkeitsaxiom auch für $X$ .
Konvergente Folgen sind in Räumen, die das erste Abzählbarkeitsaxiom nicht erfüllen, sehr viel weniger nützlich. Beispielsweise ist in derartigen Räumen ein Punkt des Abschlusses einer Teilmenge $U$ nicht notwendigerweise Grenzwert einer Folge, deren Glieder in $U$ liegen. Um abgeschlossene Mengen durch Grenzwerte zu beschreiben, müssen in solchen Räumen Moore-Smith-Folgen (Netze) betrachtet werden.

[Bearbeiten] Zweites Abzählbarkeitsaxiom

Es besagt:

Der Raum hat eine abzählbare Basis der Topologie.

Das bedeutet: Ist $X$ ein topologischer Raum, so gibt es eine abzählbare Menge $B=\{U_1,U_2,\ldots\}$ von offenen Teilmengen, die zu jedem Punkt eine Umgebungsbasis enthält, d.h. zu jedem Punkt $x\in X$ und jeder Umgebung $V$ von $x$ gibt es einen Index $k$ , so dass $x\in U_k\subseteq V$ gilt.

[Bearbeiten] Eigenschaften

Jede offene Menge O in einem topologischen Raum, der das zweite Abzählbarkeistaxiom erfüllt, kann als (höchstens abzählbare) Vereinigung von Mengen aus der Basis B dargestellt werden.
Das zweite Abzählbarkeitsaxiom impliziert das erste.

[Bearbeiten] Beispiele

Jeder metrische Raum erfüllt das erste Abzählbarkeitsaxiom: Zu einem Punkt x bilden die ε-Umgebungen mit $\varepsilon=1,1/2,1/3,\ldots$ eine abzählbare Umgebungsbasis.
Die Menge der reellen Zahlen und endlichdimensionale reelle Vektoräume mit ihrer üblichen Topologie (als normierte Räume) erfüllen beide Abzählbarkeitsaxiome.
Eine überabzählbare Menge, versehen mit der diskreten Topologie erfüllt das zweite Abzählbarkeitsaxiome nicht. Da die diskrete Topolgie von einer Metrik induziert ist, erfüllt jeder diskrete Raum das erste Abzählbarkeitsaxiom.
Ein topologischer Raum X mit der Klumpentopologie (d. h. nur X und die leere Menge sind offen) erfüllt beide Abzählbarkeitsaxiome.

[Bearbeiten] Siehe auch

[Bearbeiten] Weblinks

Planetmath (englisch) zum Stichwort First Axiom of Countability (1. Abzälbarkeitsaxiom).
Planetmath (englisch) zum Stichwort Second Axiom of Countability (2. Abzälbarkeitsaxiom).