Dirichlet-Kern

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Als Dirichlet-Kern wird in der Analysis die Sammlung folgender Funktionen bezeichnet:

$D_n(x)=\sum_{k=-n}^n e^{ikx}=1+2\sum_{k=1}^n\cos(kx)=\frac{\sin\left(\left(n +\frac{1}{2}\right)x\right)}{\sin(x/2)}.$

Diese sind nach Peter Gustav Lejeune Dirichlet benannt.

Die Bedeutung des Dirichlet-Kerns hängt mit dem Verhältnis zur Fourierreihe zusammen. Die Faltung von D_n(x) mit einer Funktion f der Periode 2π ist der n-te Grad der Fourierreihe seiner Näherung für f. Beispielsweise ist

$(D_n*f)(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(y)D_n(x-y)\,dy=\sum_{k=-n}^n \hat{f}(k)e^{ikx},$

wobei

$\hat{f}(k)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)e^{-ikx}\,dx$

der k-te Fourierkoeffizient von f ist. Daraus lässt sich schließen, dass es zum Studium der Konvergenz von Fourierreihen ausreicht, die Eigenschaften des Dirichlet-Kerns zu studieren. Aus der Tatsache, dass die L¹-Norm von D_n für $n\to\infty$ gegen $\infty$ geht, kann man herleiten, dass es stetige Funktionen gibt, die nicht durch ihre Fourierreihe dargestellt werden.^[1]

[Bearbeiten] Beziehung zur Deltafunktion

Die periodische Dirac-Funktion ist das neutrale Element für die Faltung mit $2π$ -periodischen Funktionen:

$f*(2\pi \delta)=f \,$

für jede Funktion f mit Periode 2π. Die Fourierreihe wird durch folgende "Funktion" repräsentiert:

$2\pi \delta(x)\sim\sum_{k=-\infty}^\infty e^{ikx}=\left(1 +2\sum_{k=1}^\infty\cos(kx)\right).$

[Bearbeiten] Beweis der trigonometrischen Identität

Die trigonometrische Identität

$\sum_{k=-n}^n e^{ikx} =\frac{\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)x\right)}{\sin(x/2)}$

beweist man wie folgt. Dazu vergegenwärtige man sich die endliche Summe der geometrischen Reihe:

$\sum_{k=0}^n a r^k=a\frac{1-r^{n+1}}{1-r}.$

Insbesondere gilt

$\sum_{k=-n}^n r^k=r^{-n}\cdot\frac{1-r^{2n+1}}{1-r}.$

Teilt man Zähler und Nenner durch r^−1/2, erhält man

$\frac{r^{-n-1/2}}{r^{-1/2}}\cdot\frac{1-r^{2n+1}}{1-r} =\frac{r^{-n-1/2}-r^{n+1/2}}{r^{-1/2}-r^{1/2}}.$

Im Fall von r = e^ix erhält man

$\sum_{k=-n}^n e^{ikx}=\frac{e^{-(n+1/2)ix}-e^{(n+1/2)ix}}{e^{-ix/2}-e^{ix/2}} =\frac{-2i\sin((n+1/2)x)}{-2i\sin(x/2)}$

und kürzt schließlich durch "−2i".

[Bearbeiten] Quellen

↑ W. Rudin, Real and Complex Analysis. McGraw-Hill, London 1970. Abschnitt 5.11, S. 101

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Kategorien: Analysis | Trigonometrie

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[Bearbeiten] Beziehung zur Deltafunktion

[Bearbeiten] Beweis der trigonometrischen Identität

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