Freies Produkt

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In der Algebra versteht man unter dem freien Produkt eine bestimmte Konstruktion einer Gruppe aus zwei oder mehr gegebenen Gruppen. Man kann sich das freie Produkt als eine nicht-kommutative Entsprechung der direkten Summe vorstellen, ungefähr wie eine Entsprechung von nichtkommutativen Gruppen zu Abelschen Gruppen.

[Bearbeiten] Konstruktion

Hat man eine Familie $\{ G_{\alpha} \}_{\alpha \in A}$ von (beliebigen) Gruppen gegeben, so besteht das freie Produkt $* α G α$ aus der Menge aller endlichen "Wörter" $g_{\alpha_1} \cdots g_{\alpha_k}$ wobei folgende Konventionen gelten sollen:

$g α$ soll nicht das Einheitselement in $G α$ sein.
Sind $g_{\alpha_i}$ und $g_{\alpha_{i+1}}$ aus der selben Gruppe, also $α i = α i + 1$ , dann ersetze man die beiden Elemente durch das Produkt der beiden in der Gruppe. Ist $g_{\alpha_i} g_{\alpha_{i+1}} = e$ , dem Einheitselement, so streiche man beide aus dem Wort.

Wörter, die diese Bedingungen erfüllen, nennt man "reduziert". Auf der Menge der reduzierten Wörter $* α G α$ zusammen mit dem leeren Wort als Einheitselement kann man nun eine Gruppenstruktur definieren durch Hintereinanderschreiben

$(g_{\alpha_1} \cdots g_{\alpha_k},h_{\beta_1} \cdots h_{\beta_l}) := g_{\alpha_1} \cdots g_{\alpha_k}h_{\beta_1} \cdots h_{\beta_l}$

und gegebenenfalls "Kürzen", falls $g_{\alpha_k}$ und $h_{\beta_1}$ Elemente der selben Gruppe sind.

Jede Gruppe $G α$ kann man als Untergruppe in $* α G α$ ansehen, indem man $G α$ mit der Menge der Wörter, die nur aus einem Element $g \in G_\alpha$ und dem Einselement bestehen, identifiziert.

[Bearbeiten] Universelle Eigenschaft

Das freie Produkt von Gruppen erfüllt die folgende universelle Eigenschaft: Ist

$\{ \varphi_\alpha : G_\alpha \to H \}_{\alpha \in A}$

eine Familie von Homomorphismen, so gibt es genau einen Homomorphismus $\varphi : *_\alpha G_\alpha \to H$ , so dass für alle $\alpha \in A$ die Identitäten

$\varphi \circ i_\alpha = \varphi_\alpha$

gelten. Dabei ist $i_\alpha : G_\alpha \to *_\alpha G_\alpha$ die oben beschriebene Identifikation von $G α$ mit der entsprechenden Untergruppe im freien Produkt (Man vergleiche die entsprechende universelle Eigenschaft für das direkte Produkt).

[Bearbeiten] Beispiele

Sind $X$ und $Y$ topologische Räume, und betrachtet man die Einpunktvereinigung (engl. "Wedge") $X \vee Y$ der beiden Räume, das heisst, wählt man je einen Punkt in jedem Raum aus und „klebt“ die beiden Räume an diesen beiden Punkten zusammen, so ist die Fundamentalgruppe des entstandenen Raumes gleich dem freien Produkt der Fundamentalgruppen der ursprünglichen Räume:

$\pi_1 (X \vee Y) = \pi_1 (X) * \pi_1 (Y)$ .

Der Satz von Seifert-Van Kampen verallgemeinert dieses Prinzip für Vereinigungen von Räumen, die einen komplizierteren Durchschnitt haben (im eben genannten Fall ist der Durchschnitt ein Punkt).

Das freie Produkt von $\mathbb{Z}$ mit sich selbst ist das Produkt $\mathbb{Z} * \mathbb{Z}$ . Ein Element in $\mathbb{Z}_1 * \mathbb{Z}_2$ ist ein Wort $a_{i_1} a_{i_2} \cdots a_{i_k}$ , mit $a_i \in \mathbb{Z}$ und $i = 1,2$ . Dabei sollen die Indizes nur die beiden Exemplare von $\mathbb{Z}$ unterscheiden. Dieses freie Produkt tritt als Fundamentalgruppe eines "Wedge" von zwei Kreisen auf, einer "Acht". Ein weiteres Exemplar von $\mathbb{Z}$ in der Fundamentalgruppe lässt sich durch weiteres "Anhängen" eines Kreises an die Acht erzeugen. Fundamentalgruppen von Graphen lassen sich so leicht als freies Produkt von (möglicherweise unendlich vielen) Exemplaren von $\mathbb{Z}$ bestimmen.