Lorentzoszillator

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Das Modell des Lorentzoszillators wird zur mathematischen Modellierung der (frequenzabhängigen) elektronischen Polarisation eines Festkörpers und damit von dessen dielektrischer Funktion $ε(ω)$ verwendet. Die dielektrische Funktion ist von großer Bedeutung, da sie die optischen Eigenschaften eines Stoffes beschreibt.

[Bearbeiten] Mathematische Modellierung

[Bearbeiten] Bewegungsgleichung

Die Dynamik von Elektronen, Ionen als auch von permanenten Dipolen in einem Festkörper kann vereinfacht durch einen gedämpften harmonischen Oszillator beschrieben werden. Die Betrachtungen im Folgenden seien o.B.d.A. auf die Elektronen bezogen; für Ionen und permanente Dipole lassen sich analoge Bewegungsgleichungen aufstellen. Die Wechselwirkung mit einem elektromagnetischen Wechselfeld, z.B. Licht, Radio- oder Mikrowellen, geht dabei als periodische Antriebskraft in die Bewegungsgleichung ein:

$m \frac{d^2 x}{dt^2} + m \beta \frac{dx}{dt} + m \omega_0^2 x = -eE^0_\mathrm{lokal}e^{-i \omega t}$

mit

$m$ : Masse
$x$ : Auslenkung des Gitteratoms
$t$ : Zeit
$β$ : Dämpfung
$ω$ : Kreisfrequenz des treibenden Feldes
$ω 0$ : Eigenfrequenz des ungedämpften harmonischem Oszillators
$- e$ : Elementarladung
$E^0_\mathrm{lokal}$ : lokale Amplitude des treibenden elektrischen Wechselfeldes

Die stationäre Lösung dieser Bewegungsgleichung lautet

$x(t) = -\frac{e}{m} \frac{1}{\omega_0^2 - \omega^2 - i \beta \omega}E^0_\mathrm{lokal}e^{-i \omega t}$ ;

ihr Graph stellt eine Lorentzkurve dar.

[Bearbeiten] Dielektrische Funktion

Real- und Imaginärteil der dielektrischen Funktion in Abhängigkeit der Frequenz des treibenden Feldes

Mittels des Zusammenhangs zwischen dielektrischer Funktion $ε(ω)$ und der elektrischen Suszeptibilität, der wie folgt lautet:

$\epsilon = 1+N_v \frac{ex(t)}{\epsilon_0 E^0_\mathrm{lokal}e^{-i\omega t}}$ ,

erhält man:

$\epsilon(\omega) = 1 + \frac{N_v e^2}{\epsilon_0 m} \frac{1}{\omega_1^2 - \omega^2 - i \beta \omega}$

mit

$N v$ : Gitteratome pro Volumeneinheit
$i$ : imaginäre Einheit
$\omega_1^2 = \omega_0^2-\frac{1}{3} N_v \frac{e^2}{\epsilon_0 m}$
$ε'(ω)$ : Realteil der dielektrischen Funktion
$ε''(ω)$ : Imaginärteil der dielektrischen Funktion

Die dielektrischen Funktion lässt sich wie folgt in Real- und Imaginärteil $ε'$ bzw. $ε''$ formulieren:

$\epsilon(\omega) \equiv \epsilon'(\omega) + i \epsilon''(\omega)$ mit

$\epsilon'(\omega) = 1+ \frac{N_v e^2}{\epsilon_0 m} \frac{\omega_1^2 - \omega^2}{(\omega_1^2 - \omega^2)^2 + \beta^2 \omega^2}$

$\epsilon''(\omega) = \frac{N_v e^2}{\epsilon_0 m} \frac{\beta \omega}{(\omega_1^2 - \omega^2)^2 + \beta^2 \omega^2}$

[Bearbeiten] Zusammenhang mit der komplexen Brechzahl

Real- und Imaginärteil der dielektrischen Funktion sind wie folgt mit der komplexen Brechzahl $N$ verbunden:

$N \equiv n+i\kappa$ mit

$n=\left( \frac{ \sqrt{\epsilon'^2 + \epsilon''^2} + \epsilon'}{2} \right)^\frac{1}{2}$

$\kappa=\left( \frac{ \sqrt{\epsilon'^2 + \epsilon''^2} - \epsilon'}{2} \right)^\frac{1}{2}$

Hierbei bezeichnet $n$ die (reelle) Brechzahl, die die Ausbreitungsgeschwindigkeit des Lichts im Medium gemäß $v medium = c 0 / n$ festlegt.

$κ$ steht für den (reellen) Absorptionskoeffizienten. Die in das Medium eindingende evaneszente Welle klingt gemäß $exp( - 2κω z / c 0)$ exponentiell ab.

[Bearbeiten] Bemerkungen

Frequenzabhängigkeit der dielektrischen Funktion, der Brechzahl sowie des Absorptionskoeffizienten werden im Wesentlichen korrekt wiedergegeben
Reale Materialen weisen stets mehr als nur eine Resonanzfrequenz auf, da mehrere elektronische Übergänge existieren. Auch die Aufspaltung in Energiebänder im Kristall spielt eine Rolle.
jeder elektronischer Übergang liefert gemäß dessen Oszillatorstärke einen Beitrag zur elektronischen Polarisierbarkeit