Oktave (Mathematik)

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Die Oktaven, auch Oktonionen oder Cayleyzahlen, sind eine Verallgemeinerung der Quaternionen und besitzen das Mengensymbol $\mathbb{O}$ . Sie entstehen durch die Anwendung des Verdopplungsverfahrens aus den Quaternionen.

[Bearbeiten] Geschichte

Die Oktonionen wurden im Jahr 1843 von John Graves in einem Brief an William Rowan Hamilton zum ersten Mal beschrieben. Unabhängig davon wurden sie 1845 von Arthur Cayley veröffentlicht.

[Bearbeiten] Multiplikationstabelle

Die Oktonionen sind eine 8-dimensionale Algebra über den reellen Zahlen. Die Multiplikation ist -- mit der Basis (1, i, j, k, l, m, n, o) -- wie folgt gegeben:

$\begin{matrix} i^2=j^2=k^2=l^2=m^2=n^2=o^2=-1\\ i=jk=lm=on=-kj=-ml=-no\\ j=ki=ln=mo=-ik=-nl=-om\\ k=ij=lo=nm=-ji=-ol=-mn\\ l=mi=nj=ok=-im=-jn=-ko\\ m=il=oj=kn=-li=-jo=-nk\\ n=jl=io=mk=-lj=-oi=-km\\ o=ni=jm=kl=-in=-mj=-lk \end{matrix}$

[Bearbeiten] Eigenschaften

Die Oktonionen sind eine Divisionsalgebra mit Einselement.

Sie bilden keinen Schiefkörper (und damit auch keinen Körper), denn sie verletzen das

Assoziativgesetz der Multiplikation: $a \cdot ( b \cdot c ) = ( a \cdot b ) \cdot c$ .

Es gilt jedoch für alle Oktaven a und b:

$a \cdot ( a \cdot b ) = ( a \cdot a ) \cdot b$ und $a \cdot ( b \cdot b ) = ( a \cdot b ) \cdot b$ .

Diese Eigenschaft wird Alternativität genannt. Die Oktonionen bilden einen Alternativkörper.

Aus der Alternativität folgt die Beziehung

$a \cdot (b \cdot a) = ( a \cdot b ) \cdot a$ .

Diese Beziehung wird auch Flexibilitätsgesetz genannt.

Die Oktonionen erfüllen außerdem die schärferen Moufang-Identitäten

$[a \cdot (b \cdot a)] \cdot c = a \cdot [b \cdot (a \cdot c)]$

und

$(a \cdot b) \cdot (c \cdot a) = a \cdot [(b \cdot c) \cdot a]$

[Bearbeiten] Mehr

Jede Oktave kann dargestellt werden ...

... als 8er-Tupel von reellen Zahlen: (r₁, r₂, ... , r₈)

... als 4er-Tupel von komplexen Zahlen: (c₁, c₂, c₃, c₄)

... als geordnetes Paar von Quaternionen: (h₁, h₂)

Der Körper der reellen Zahlen $\mathbb{R}$ kann als Unterstruktur von $\mathbb{O}$ betrachtet werden:

Für alle Zahlen r aus $\mathbb{R}$ gilt: r entspricht (r, 0, ... , 0)

Der Körper der komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ kann als Unterstruktur von $\mathbb{O}$ betrachtet werden:

Für alle Zahlen c aus $\mathbb{C}$ gilt: c entspricht (c, 0, 0, 0)

Der Schiefkörper der Quaternionen $\mathbb{H}$ kann als Unterstruktur von $\mathbb{O}$ betrachtet werden:

Für alle Zahlen h aus $\mathbb{H}$ gilt: h entspricht (h, 0)

Für die Oktaven sind Addition und Multiplikation so definiert, dass sie abwärtskompatibel sind, das heißt ...

... für alle reellen Zahlen r und s gilt:

r + s = (r,0,...,0) + (s,0,...,0)

$r \cdot s = (r, 0, ... , 0) \cdot (s, 0, ... ,0)$

... für alle komplexen Zahlen c und d gilt:

c + d = (c,0,0,0) + (d,0,0,0)

$c \cdot d = (c, 0, 0, 0) \cdot (d, 0, 0, 0)$

... für alle Quaternionen h und i gilt:

h + i = (h,0) + (i,0)

$h \cdot i = (h, 0) \cdot (i, 0)$

[Bearbeiten] Literatur

Bartel Leendert van der Waerden, A history of Algebra, Springer-Verlag Heidelberg.
Ruth Moufang, Zur Struktur von Alternativkörpern, Math. Ann. 110(1934)416.
John Baez, The Octonions, Bull. Amer. Math. Soc. 39 (2002), 145-205. Online HTML version at http://math.ucr.edu/home/baez/octonions/.
John Conway and Derek Smith, On Octonions and Quaternions, A K Peters, Natick, MA (2003). ISBN 1-56881-134-9.