Ordnungsrelation

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In der Mathematik sind Ordnungsrelationen Verallgemeinerungen der „kleiner-gleich“-Beziehung. Sie erlauben es, Elemente einer Menge miteinander zu vergleichen.

Eine Ordnungsrelation ist formal eine zweistellige Relation

$R \subseteq M \times M$

auf einer Menge M mit bestimmten, unten bei „Halbordnung“ genannten Eigenschaften.

Ist eine Menge M mit einer Ordnungsrelation R gegeben, dann nennt man das Paar $(M, R)$ eine geordnete Menge. Meist bevorzugt man an Stelle der Schreibweise $(a,b)\in R$ die sogenannte Infix-Notation $a\,R\,b$ . Außerdem wird für Ordnungsrelationen in den seltensten Fällen ein Symbol wie $R$ verwendet. Stattdessen verwendet man häufig das Symbol „ $\le$ “ oder ähnliche Symbole. Die Schreibweise $a < b$ verwendet man als Abkürzung für „ $a\le b$ und $a\ne b$ “. Dies erweist sich als zweckmäßig, da für Relationen größtenteils Rechenregeln gelten, die denen in $\R$ (mit gewohntem „ $\le$ “) entsprechen.

Eine (totale) Ordnung auf einer abzählbaren Menge liefert eine Anordnung der Elemente in einer bestimmten Reihenfolge, zum Beispiel die Anordnung der Buchstaben A bis Z im lateinischen Alphabet. Die Reihenfolge der Buchstaben ist willkürlich festgelegt, und jede andere Reihenfolge wäre ebenfalls eine Ordnung.

[Bearbeiten] Arten von Ordnungsrelationen

Es folgt eine Auflistung verschiedener Arten von Ordnungsrelationen mit Beispielen. Für Definitionen der Eigenschaften siehe reflexiv und irreflexiv, asymmetrisch, antisymmetrisch, transitiv, oder den Artikel Relation (Mathematik).

[Bearbeiten] Quasiordnung

Eine Quasiordnung ist reflexiv und transitiv.

Beispiel: Für komplexe Zahlen $a, b\in\Bbb C$ ist die über den Absolutbetrag durch „a R b falls $|a| \le |b|$ “ festgelegte Relation eine Quasiordnung: Es gilt die

Reflexivität, denn $|a| \le |a|$ und die
Transitivität, denn wenn $|a| \le |b|$ und $|b| \le |c|$ ist, ist auch $|a| \le |c|$ .

Diese Quasiordnung ist nicht antisymmetrisch, denn betragsgleiche Zahlen müssen nicht identisch sein.

[Bearbeiten] Halbordnung

Eine partielle Ordnung, Partialordnung, Halbordnung, Teilordnung oder Ordnungsrelation im engeren Sinne ist reflexiv, antisymmetrisch und transitiv. Beispielsweise ist die Teilmengenbeziehung eine Halbordnung, denn sie ist

reflexiv, da jede Menge eine Teilmenge ihrer selbst ist,
transitiv, da die Teilmenge einer Teilmenge von A auch Teilmenge von A ist,
und antisymmetrisch, da nur A selbst sowohl Teilmenge als auch Obermenge von A ist.

Weitere Beispiele sind die Relation „komponentenweise kleinergleich“ auf dem Vektorraum $\R^n$ oder die Teilerbeziehung in den natürlichen Zahlen.

Eine Teilmenge einer halbgeordneten Menge heißt Oberhalbmenge, wenn sie zu jedem ihrer Elemente auch alle nachfolgenden Elemente enthält.

[Bearbeiten] Weitere Anwendung der Halbordnung

Um den Grad der Vorsortiertheit einer Menge zu messen, kann man die Anzahl der möglichen Fortsetzungen einer Halbordnung zu einer linearen Ordnung angeben. Ist beispielsweise die geordnete Menge $(X, \leq)$ mit $X = {a, b, c}$ und $a \leq b$ gegeben, so gibt es drei mögliche Fortsetzungen: $a \leq b\leq c$ , $a \leq c \leq b$ und $c \leq a \leq b$ . Der Grad der Vorsortiertheit ist also in diesem Fall $e(\leq) = 3$ . Nach dem efficient comparison theorem werden für eine vollständige Sortierung der vorsortierten Menge dann nur noch $\Omega(e(\leq))$ Vergleiche benötigt. In der Informatik nutzt zum Beispiel das Sortierverfahren Mergesort diese Eigenschaft.

[Bearbeiten] Striktordnung

Eine Striktordnung ist irreflexiv und transitiv. Sie unterscheidet sich von der Halbordnung dadurch, dass kein Element zu sich selbst in Beziehung steht. Eine Relation ist irreflexiv und transitiv genau dann, wenn sie asymmetrisch und transitiv ist. Damit ist eine Striktordnung auch asymmetrisch.

Beispiel: Die Relation „Echte Teilmenge“ in einer Potenzmenge oder die Relation „komponentenweise kleiner, aber nicht gleich“ auf dem Vektorraum $\R^n$ .

[Bearbeiten] Totalordnung

Eine Totalordnung oder lineare Ordnung ist eine Halbordnung, die zudem eine totale Relation ist, das heißt für je zwei beliebige Elemente a,b der Grundmenge mit a ≠ b ist stets mindestens eine der beiden Relationen $a\,R\,b$ und $b\,R\,a$ erfüllt. Der Begriff linear orientiert sich an der Vorstellung, die ganze Menge in einer Sequenz $\ldots \,R\, a_1 \,R\, a_2 \,R\, a_3 \,R\,\ldots$ aufzuzählen. Daher leitet sich auch die Bezeichnung Kette für eine totalgeordnete Menge ab.

Ein Beispiel ist die Relation $\leq$ („kleinergleich“) auf den ganzen Zahlen $\Z$ . Ein Gegenbeispiel ist die Teilmengenbeziehung auf der Potenzmenge von $\Z$ : sie ist nicht total, weil für $a\neq b$ weder $\{a\}\subseteq\{b\}$ noch $\{b\}\subseteq\{a\}$ gilt.

[Bearbeiten] Strenge Totalordnung

Eine strenge Totalordnung $(M, < )$ ist trichotomisch und transitiv:

Trichotomisch bedeutet: Zwischen zwei Elementen a, b besteht immer genau eine der Beziehungen

a < b

a = b

oder

b < a

„Totalordnung“ bedeutet hier, dass sich zwei beliebige Elemente stets vergleichen lassen. „Total“ im oben erklärten Sinn ist also die zu „<“ gehörige Halbordnung „<“ oder „=“.

Mit Hilfe des Auswahlaxioms kann man beweisen, dass jede Halbordnung in eine Totalordnung eingebettet werden kann. Für endliche Mengen muss man das Auswahlaxiom nicht voraussetzen, und in diesem Fall gibt es zur Konstruktion einer solchen Totalordnung auch explizite Algorithmen, siehe Topologische Sortierung.

[Bearbeiten] Wohlordnung

Eine Wohlordnung ist eine totale Ordnung, bei der jede nichtleere Teilmenge ein kleinstes Element besitzt.

Beispiel: „Kleinergleich“ auf den natürlichen Zahlen $\Bbb N$ .
Beispiel: Die ganzen Zahlen $\Z$ mit der Ordnung 0 < 1 < -1 < 2 < -2 < 3 < -3 <. ...
Beispiel: Die ganzen Zahlen $\Z$ mit der Ordnung 0 < 1 < 2 < 3 <. .. < -1 < -2 < -3 <. ...

Das so genannte Wohlordnungsprinzip garantiert die Existenz einer Wohlordnung für jede Menge, zum Beispiel auch für die reellen Zahlen $\R$ . Das Wohlordnungsprinzip folgt aus dem Auswahlaxiom, ist ohne dieses aber nicht beweisbar.

[Bearbeiten] Fundierte Ordnung

Eine fundierte Ordnung ist eine Halbordnung, in der es keine unendlichen, echt absteigenden Ketten gibt (oder, äquivalent formuliert: bei der jede nichtleere Teilmenge ein minimales Element besitzt). Beispiel: Die Teilbarkeitsbeziehung | zwischen natürlichen Zahlen.

[Bearbeiten] Wohlquasiordnung

Eine Wohlquasiordnung ist eine Quasiordnung mit der Eigenschaft, dass es zu jeder Folge $(p_1, p_2, p_3,\ldots )$ zwei natürliche Zahlen $k < n$ gibt, sodass $p_k \leq p_n$ gilt.

[Bearbeiten] Verband

Ein Verband ist eine Halbordnung, in der es zu je zwei Elementen immer eine kleinste obere Schranke und eine größte untere Schranke gibt.

Man benutzt diese Schranken, um die Verknüpfungen des Verbandes zu definieren. Die kleinste obere Schranke heißt auch Supremum, abgekürzt $\sup(v,w)$ . Die größte untere Schranke heißt auch Infimum, abgekürzt $\inf(v,w)$ . Folgende Verknüpfungen für zwei Elemente v und w werden dann definiert:

$v \cap w := \inf(v,w)$
$v \cup w := \sup(v,w)$

[Bearbeiten] Vollständige Halbordnung

Eine vollständige Halbordnung (engl. complete partial order, CPO) ist eine partielle Ordnung mit einem kleinsten Element (oftmals als bottom bezeichnet) und der Eigenschaft, dass jede Teilmenge, die eine aufsteigende Kette $(x_0 \le x_1 \le x_2 \le \ldots )$ bildet, ein Supremum besitzt. Das Supremum muss nicht in der Teilmenge selbst liegen.

Eine gerichtete vollständige Halbordnung (engl. directed complete partial order, DCPO) besitzt im Gegensatz zur vollständigen Halbordnung kein kleinstes Element und die leere Menge wird als Teilmenge nicht beachtet.

Beachte: Verschiedene Autoren benutzen den Begriff „Ordnung“ unterschiedlich. Er kann eine Halbordnung oder eine totale Ordnung bezeichnen. Man findet also oft entweder die Bezeichnungen

„Ordnung“ (= Halbordnung) und „totale Ordnung“

oder die Bezeichnungen

„Halbordnung“ und „Ordnung“ (= totale Ordnung).

[Bearbeiten] Minimale, maximale und andere Elemente

Sei T eine Teilmenge einer partiell geordneten Menge P. Falls es ein Element m in T gibt, das ≤ allen anderen Elementen von T ist, dann heißt m das kleinste Element von T.

Wenn m in T die Eigenschaft hat, dass es kein x in T mit x<m gibt, dann heißt m minimales Element von T. Ein kleinstes Element von T (wenn es das gibt; zB hat die Menge der ganzen Zahlen kein kleinstes Element) ist immer eindeutig bestimmt, und natürlich auch minimal. In einer Totalordnung bedeutet „kleinstes Element“ und „minimales Element“ dasselbe, aber in allgemeinen Halbordnungen kann eine Menge mehrere minimale Elemente haben, von denen dann keines das kleinste ist. Es kann sogar vorkommen, dass eine (unendliche) Menge T zwar ein einziges minimales Element hat, dieses aber nicht das kleinste Element der Menge ist.

Wenn T eine Teilmenge von P ist, und p in P die Eigenschaft hat, dass für alle t in T die Beziehung p≤t gilt, dann heißt p eine untere Schranke von T. (p kann, muss aber nicht, Element von T sein.)

Wenn es eine größte untere Schranke der Menge T gibt, dann nennt man diese auch das Infimum von T. Jede untere Schranke ist also kleiner als oder gleich dem Infimum.

Analog sind die Begriffe größtes Element, maximales Element, obere Schranke, Supremum definiert.

Eine Menge, die sowohl eine obere wie eine untere Schranke hat, heißt beschränkt. (Analog sind „nach oben beschränkt“ und „nach unten beschränkt“ definiert.)

Man nennt eine Funktion f, die eine beliebige Menge X in eine partiell oder total geordnete Menge P abbildet, beschränkt, wenn die Menge der Funktionswerte beschränkt ist, also wenn es ein p und ein q in P gibt, sodass für alle x in X gilt: $p\le f(x) \le q$ .