Satz über die offene Abbildung
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Der Satz von der offenen Abbildung ist ein grundlegender Satz aus der Funktionalanalysis, einem Teilgebiet der Mathematik.
Eine Abbildung zwischen topologischen Räumen heißt offen, wenn das Bild jeder offenen Menge offen ist.
Der Satz von der offenen Abbildung besagt:
- Sind X und Y Banachräume, so gilt für jede stetige lineare Abbildung T zwischen X und Y:
T ist surjektiv genau dann wenn T offen ist.
Unmittelbar aus der Definition von Stetigkeit folgt als Korollar:
- Ist T eine stetige lineare Bijektion zwischen zwei Banachräumen, dann ist auch die inverse Abbildung stetig.
Diese Aussage ist auch als Satz von der inversen Abbildung bekannt.
Als weiteres Korollar ergibt sich:
- Ist eine Gleichung Tx = b für jedes b eindeutig lösbar - d.h. ist T bijektiv - so hängt die Lösung x stetig von b ab; dabei ist T ein stetiger linearer Operator zwischen zwei Banachräumen.
