Diskussion:Taylorreihe

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie

Du hast neue Nachrichten auf deiner Diskussionsseite.

Inhaltsverzeichnis

1 Taylor-Reihe oder Taylorreihe
2 Verallgemeinerung der Taylorreihe
3 Wertebereich für y
4 Fehler in der tan-Entwicklung?
5 Woher
6 Mehrdimensionale Taylorreihe
7 Taylorreihe mit Konvergenzradius Null
8 Multipol
9 Qualität der Taylorentwicklung
10 Mathematischer Nutzen der Taylorreihe?

[Bearbeiten] Taylor-Reihe oder Taylorreihe

Was ist üblicher: Taylor-Reihe oder Taylorreihe? Was sagt der Duden? Stern 16:08, 7. Apr 2004 (CEST)

Hehe, hab ich doch glatt mal nachgeguckt und was ist?

Koenigsberger - Taylorreihe

Forster -Taylor-Reihe

Bronstein - Taylorsche Entwicklung

Google - Findet bei beiden (also mit und ohne Bindestrich) 7000 Hits auf deutschen Seiten.

Entscheide Du :-) --DaTroll 16:15, 7. Apr 2004 (CEST)

Die Frage nach dem Duden ist berechtigt, hab nur leider gerade keinen zur Hand. Der aktuelle Stand sieht am Beispiel einiger Artikel so aus:

Zusammenschreibung:

Getrenntschreibung:

Es kommt als beides häufig vor. Vielleicht sollten wir es einfach so lassen. --SirJective 17:55, 7. Apr 2004 (CEST)

Teilweise habe ich hier Verschiebungen durchgeführt, da ich inzwischen davon ausgehe, dass Personennamen mit Bindestrich angefügt werden. Stern 02:04, 13. Jun 2004 (CEST)

Ich mag den Duden inzwischen zwar nicht besonders, aber der „Duden Rechnen und Mathematik“ schreibt „Taylor-Reihe“. Im Zweifel für den Bindestrich. ;-) --Edoardo

Ich habe diesem Thread eine Überschrift spendiert, damit das Inhaltsverzeichnis wieder oben steht. Zur Sache: Ich würde hier weniger nach Duden, mehr nach Gesichtspunkten der Lesbarkeit vorgehen. Solange die Lesbarkeit einer Zusammenschreibung gut ist, würde ich diese bevorzugen, andernfalls die Bindestrich-Schreibung. Obige Aufstellung von SirJective stimmt mit dieser Philosophie m.E. überein. "Taylorreihe" finde ich auch noch gut lesbar und würde dieser Schreibung deshalb den Vorzug geben.--JFKCom 18:51, 25. Apr 2006 (CEST)

[Bearbeiten] Verallgemeinerung der Taylorreihe

In diesen Eintrag würde es sich m.E. sehr lohnen auch die Verallgemeinerung der Taylorreihe, nämlich mit Matrizen, reinzutun - würde es glatt machen, möchte aber es den Haupteditoren überlassen (außerdem habe ich angst fehler zu machen :)

Außerdem wären Beispiel gut.

danke cu!

Ja, die Verallgemeinerung auf den mehrdimensionalen Fall sollte man in den Artikel aufnehmen, aber gibt's den direkt als Reihe, oder sollten wir den lieber bei den Taylor-Polynomen aufnehmen? Für Matrizen sollte das so ähnlich gehen, oder? Was für Beispiele meist du? Es sind doch schon einige Taylorreihen angegeben.

Jeder macht Fehler, auch ich hab hier schon einigen (mehr oder weniger offensichtlichen) Unsinn verzapft. Und nur weil sich bisher einige intensiver um diesen Artikel gekümmert haben, heißt das nicht, dass du die Finger davon lassen sollst. Wenn du also etws beitragen kannst, dann tue das! (Wenn man will, dass hier etwas geschieht, muss man es meist selbst machen.)

--SirJective 14:04, 7. Aug 2004 (CEST)

Ich finde die momentane Erklärung der verallgemeinerten Taylorreihe nicht so perfekt, da

Für die Taylorentwicklung benötigt man eine unendlich oft stetig diffbare Funktion.
Ich kann das Gleichheitszeichen zwischen f(x) und der Reihe erst schreiben, wenn ich auch weiß, dass die Reihendarstellung mit der Funktion übereinstimmt, was ja nicht immer der Fall sein muss. (Betrifft übrigends auch die Definition für den einfachen Fall)
Die Vektorpfeile über den r und die Bezeichnung r und r' machen das ganze etwas unübersichtlich.
Eine Erklärung, wo die Summe von partiellen Ableitungen und x_j herkommt, wäre sicher auch nicht verkehrt. (k-tes Differential ist eine symmetrische k-Mulitilinearform)

Ich würde den Teil gern ein bisschen überarbeiten, aber als erstes die obigen Punkte diskutieren, ob das soweit passt. --Sebi 23:05, 11. Apr 2005 (CEST)

Ähem, was ist mit: http://de.wikipedia.org/wiki/Taylor-Formel

Was soll damit sein? Taylor-Formel beschreibt die Polynome und die Restgliedformeln, dieser Artikel beschreibt die unendliche Potenzreihe. --SirJective 22:01, 3. Sep 2004 (CEST)

[Bearbeiten] Wertebereich für y

Hallo, der Wertebereich für y bei der alternativen Reihenentwicklung für ln(x) kann nicht stimmen.
Der Logarithmus ist nur für positive Zahlen definiert.
--Stefan Wiki 15:24, 6. Okt 2004 (CEST)

Habs verändert. Soweit ich es verstehe ist es jetzt richtig. --SirJective 16:09, 6. Okt 2004 (CEST)

[Bearbeiten] Fehler in der tan-Entwicklung?

Hallo Ich meine, in der tan-Entwicklung einen Fehler entdeckt zu haben. Sollte die Summe nicht bei $x = 1$ anfangen? So steht es zumindest im Königsberger, Analysis I. Macht auch wesentlich mehr Sinn, sonst wäre das erste Glied nämlich $x^{-1}=\frac{1}{x}$ .

Wollte es auch schon ändern, nur leider wird die Formel nach der Änderung nicht mehr richtig angezeigt. Das Problem lässt sich auf die \mbox zurückführen, die scheint seit einiger Zeit nicht mehr erlaubt zu sein (die gegenwärtigen Formeln sind wohl gecacht und werden erst bei einer Änderung neu generiert, wobei dann das Problem auftritt).

--NorbertBraun 20:40, 29. Okt 2004 (CEST)

Die vorher angegebene Formel, die bei n=0 beginnt, ist nicht wirklich falsch, da der 0-te Summand gleich $0\cdot x^{-1}$ ist (wegen

1 - 4 0 = 0

). Ich hab die Summe aber nun bei 0 beginnen lassen, weil die Formel dann nicht mehr diesen "Schönheitsfehler" hat.

Die "\mbox" scheint tatsächlich nicht mehr aktepziert zu werden (führt zu einem Lexing-Fehler), ebenso wie Umlaute anscheinend nicht mehr akzeptiert werden (ebenfalls Lexing-Fehler). Ich habs jetzt mit "\textrm" und "\ddot u" gelöst. --SirJective 22:06, 29. Okt 2004 (CEST)

Ich habe jetzt noch eine Erklärung zu der Bedeutung des $B 2 n$ hinzugefügt - zumindest mir war nämlich nicht klar, was das bedeutet. Bei der Gelegenheit habe ich gesehen, dass im Artikel über die Bernoulli-Zahlen für die hier benötigte Variante die Notation $β 2 n$ benuzt wird. Ich habe die Formel angepasst; eine eindeutige Notation ist wahrscheinlich nicht das falscheste...

[Bearbeiten] Woher

Woher kommt die Taylorreihe? Wie ist Herr Taylor darauf gekommen, jede mögliche Funktion über Polynome auszudrücken? Bis jetzt muss ich Taylorreihen immer hinnehmen, dass sie so stimmen - aber gut wäre eine Erklärung, warum sie auch stimmen.

danke, --Abdull 19:37, 20. Jan 2005 (CET)

Kleine Verbesserung: Wie wäre es, wenn man Tailorreihe auf diesen Artikel hier verlinkt? Damit auch die Dummies (wie ich;-), die nicht wissen wie man's richtig schreibt hierher finden?

Weil man Polynome gut ausrechnen kann. So kann man zum Beispiel sin(0,1) = 0,1 - 0,001/6 +-... = 0,099833.. ohne Taschenrechner auf dem Papier oder in EInzelfällen sogar im Kopf (annähernd) ausrechnen. (Herr Taylor hatte noch keinen Taschenrechner.) -- Wuzel 16:00, 15. Apr 2005 (CEST)

Hm, aber trotzdem bleibt die Frage, warum man Funktionen als Taylorreihen annähern darf - wie ist Herr Taylor darauf gekommen? Danke, --Abdull 13:36, 23. Mai 2005 (CEST)

Wegen dem

Satz von (Herrn) Taylor

Eine im Intervall I stetige und beliebig oft differenzierbare Funktion f(x) (wobei die Ableitungen ebenfalls stetig sein müssen) lässt sich im Intervall I mit der Taylor-Reihe darstellen mit x (Element) I.

Der Beweis erfolgt mit der Eigenschaft des Restgliedes, nach Null zu konvergieren (im erwähnten Intervall I), weshalb, gemäss der Definition des Restgliedes R(x)=f(x)-fn(x), der Unterschied zwischen Taylorreihe und f immer kleiner wird (ergo sind höhere Polynome bessere Näherungen) und für n gegen Unendlich verschwindet. Also fn(x)--(n->unendlich)-->f(x).

Klein und versteckt ist der Hinweis im Artikel unter "Eigenschaften" aufgeführt. Wie Herr Taylor darauf gekommen ist weiss ich nicht. Wennn man die Maclaurin-Reihe voraussetzt, ist die Taylorreihe eine Verallgemeinerung. Ausgehend von der (einigermassen simplen) Beweisidee könnte man auf die Idee für die Taylor-Reihe kommen.

Gruss, --Ebikoner (22.Juli 2005 00:33)

Das ist leider falsch. Die Funktion $f(x):=\begin{cases}\exp\left(-\frac1{x^2}\right)&\text{, falls }x\neq0\\0&\text{, falls }x=0\end{cases}$ ist beliebig oft differenzierbar und es gilt $0=f(0)=f'(0)=\ldots=f^{(n)}(0)=\ldots$ . Die Taylor-Reihe am Entwicklungspunkt 0 ist also 0.--V4len 14:56, 4. Dez. 2006 (CET)

[Bearbeiten] Mehrdimensionale Taylorreihe

Die aktuelle Formel ist falsch, z.B. weil

$\left(x\frac{\partial}{\partial x}\right)^2=x^2\frac{\partial^2}{\partial x^2}+x\frac\partial{\partial x}$

gilt. Gibt es Vorschläge für eine korrekte, aber kompakte Schreibweise?--Gunther 22:26, 23. Apr 2005 (CEST)

Ich würd's erstmal mit Differentialen hinschreiben, weil dann sieht's so ähnlich aus wie im eindimensionalen Fall:

$\sum_{K=0}^\infty \frac{1}{k!} \mathrm{d}^{(k)} f(a)(x - a)^k$ , wobei $\mathrm{d}^{(k)}f(a)(x-a)^k := \mathrm{d}^{(k)}(f(a)) \underbrace{(x-a,\ldots,x-a)}_{k-mal}$

Und dann kann man die Differentiale folgendermassen durch die partiellen Abl. ersetzen:

$\mathrm{d}^{(k)}f(a) x^k = \sum_{i_1=1}^n \cdots \sum_{i_k = 1}^n \partial_{i_1}\cdots \partial_{i_k} f(a) x_{i_1} \cdots x_{i_k}$

Wollte das schon länger mal ändern (siehe oberen Beitrag), bin aber noch nicht dazugekommen. Jetzt hab ich immerhin schonmal die Formeln, muß halt nur noch ein bisschen Erklärung dazuschreiben. Werd's demnächst mal machen. --Sebi 21:28, 24. Apr 2005 (CEST)

[Bearbeiten] Taylorreihe mit Konvergenzradius Null

Die im Beispiel gegebene Taylorreihe hat Konvergenzradius unendlich, sie stimmt aber nur auf einem Kreis vom Radius 0 mit der Ausgangsfunktion überein. Die Überschrift müsste also angepasst werden, ich weiß nur noch nicht, wie. Finden wir außerdem ein Beispiel einer Taylorreihe, die tatsächlich Konvergenzradius 0 hat? --SirJective 00:19, 24. Mai 2005 (CEST)

[Bearbeiten] Multipol

Multipol-Entwicklung? Wird am Ende des Artikels erwähnt. Danke, --Abdull 15:47, 13. Jul 2005 (CEST)

[Bearbeiten] Qualität der Taylorentwicklung

Das finde ich eine wichtige Aussage über die Geschwindigkeit mit der die Taylorreihe konvergiert.

Das Taylorpolynom $n$ -ten Grades an der Stelle $a$ sei gegeben durch

$j_a^n f(t) = \sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(t-a)^k$

Dann ist

$f(t) = j_a^n f(t) + R_n(t)$

und es gilt folgender Satz:

Für ein geeingnetes $Τ$ zwischen $a$ und $t$ hat das Restglied $R n (t)$ den Wert

$R_n(t) = \frac{f^{(n+1)}(\Tau)}{(n+1)!}(t-a)^{n+1}$

Man kann damit also den Fehler des Taylorpolynoms in einem bestimmten Bereich um die Entwicklungsstelle abschätzen.

Frage: gibt es eine analoge Formel für $R n (t)$ für den mehrdimensionalen Fall?

Ja. Schaut in dem Kalkül, so wie die mehrdimensionale Taylorreihe momentan hingeschrieben ist auch ähnlich aus, man muss nur die (n+1)-Ableitung durch das (n+1)-Differential ersetzen und $\Tau = a + \theta \cdot t$ mit $\theta \in [0,1]$ setzen. Das letztere bedeutet einfach, dass

Τ

auf der Verbindungsstrecke zwischen

t

und

a

liegt. Sebi 16:11, 10. Sep 2005 (CEST)

[Bearbeiten] Mathematischer Nutzen der Taylorreihe?

Könnte jmd. so nett sein und die Einleitung um einen Satz ergänzen, der einem Laien den Sinn der Taylorreihe verdeutlicht? Warum ist es vorteilhaft, eine Funktion in eine Taylorreihe umzuwandeln? Danke im Voraus!

Anwort: Habe mal den Nutzen hinzugefügt, der dem Nichtmathematiker einfällt:

"So kann ein komplizierter analytischer Ausdruck durch eine nach wenigen Gliedern abgebrochene Taylorreihe (oftmals gut) angenähert werden (nützlich z.B. in der Physik)"

Von „http://de.wikipedia.org../../../t/a/y/Diskussion%7ETaylorreihe_2cd1.html“