Vorzeichenregel von Descartes

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Die Vorzeichenregel von Descartes wird in der Mathematik benutzt, um die maximale Anzahl der positiven und negativen Nullstellen eines reellen Polynoms zu bestimmen.

Inhaltsverzeichnis

1 Regel
2 Beispiele
- 2.1 Maximale Anzahl der positiven Nullstellen
- 2.2 Maximale Anzahl der negativen Nullstellen
3 Literatur

[Bearbeiten] Regel

Die Vorzeichenregel von Descartes lautet:

Die Anzahl aller positiven Nullstellen eines reellen Polynoms ist gleich der Zahl der Vorzeichenwechsel seiner Koeffizientenfolge oder um eine gerade natürliche Zahl kleiner als diese.

Sie ist nach dem französischen Philosophen und Mathematiker René Descartes benannt, der sie 1637 in seinem Werk La Géométrie als erster beschrieben hat.

[Bearbeiten] Beispiele

[Bearbeiten] Maximale Anzahl der positiven Nullstellen

Bei dem Polynom

$f(x) = 5 \cdot x^7 + 6 \cdot x^6 - 9 \cdot x^4 - 4 \cdot x^3 - 11 \cdot x^2 + 7 \cdot x - 3$

wechselt das Vorzeichen der Koeffizienten dreimal. Nach Descartes hat damit das Polynom f(x) 3 positive Nullstellen oder 3 – 2 = 1 positive Nullstelle. Tatsächlich hat das Polynom f(x) eine positive Nullstelle.

[Bearbeiten] Maximale Anzahl der negativen Nullstellen

Um die maximale Anzahl der negativen Nullstellen zu bestimmen, wird zunächst aus dem Polynom f(x) ein neues Polynom f(-x) gebildet. Dies bedeutet, dass die Vorzeichen der Koeffizienten bei ungeradem Exponent geändert werden, während die Vorzeichen der Koeffizienten bei geradem Exponent unverändert bleiben. Auf dieses neue Polynom wird dann die Vorzeichenregel von Descartes angewandt.

Betrachtet man wieder das Polynom

$f(x) = 5 \cdot x^7 + 6 \cdot x^6 - 9 \cdot x^4 - 4 \cdot x^3 - 11 \cdot x^2 + 7 \cdot x - 3$

So lautet das neue Polynom

$f(-x) = - 5 \cdot x^7 + 6 \cdot x^6 - 9 \cdot x^4 + 4 \cdot x^3 - 11 \cdot x^2 - 7 \cdot x - 3$

Hier wechselt das Vorzeichen der Koeffizienten viermal. Nach Descartes hat damit Polynom f(x) entweder 4, 4 – 2 = 2 oder 4 – 4 = 0 negative Nullstellen. Tatsächlich hat das Polynom f(x) keine negative Nullstelle.

[Bearbeiten] Literatur

B. Anderson, J. Jackson, M. Sitharam: Descartes’ Rule of Signs Revisited. In American Mathathematical Monthly, 105, 1998, S. 447-451
D. J. Grabiner: Descartes’ Rule of Signs: Another Construction. In American Mathathematical Monthly, 106, 1999, S. 854-855
H. S. Hall, S. R. Knight: Higher Algebra: A Sequel to Elementary Algebra for Schools. Macmillan, London 1950, S. 450-460
P. Henrici: Sign Changes. The Rule of Descartes. In Applied and Computational Complex Analysis, Vol. 1: Power Series-Integration-Conformal-Mapping-Location of Zeros. Wiley, New York 1988, S. 439-443
U. Ittenberg, M. F. Roy: Multivariate Descartes’ Rule. In Beiträge zur Algebra und Geometrie, 37, Nr. 2, 1996, S. 337-346
D. J. Struik (Hrsg.): A Source Book in Mathematics 1200-1800. Princeton University Press, Princeton 1986, S. 89-93, ISBN 0-691-08404-1