0,999...

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια

Στα μαθηματικά, το 0,999... (συνήθως γράφεται και ή ) είναι ένας περιοδικός αριθμός που είναι ακριβώς ίσος με τον αριθμό 1. Με άλλα λόγια τα σύμβολα «0,999...» και «1» αντιπροσωπεύουν τον ίδιο πραγματικό αριθμό. Οι μαθηματικοί έχουν διατυπώσει πολλές αποδείξεις αυτής της ταυτότητας, οι οποίες διαφέρουν ως προς το επίπεδο της αυστηρότητας, την προτιμώμενη ανάπτυξη των πραγματικών αριθμών, τις αρχικές υποθέσεις, το ιστορικό υπόβαθρο και το κοινό στο οποίο απευθύνονται.

Η ισότητα 0,999... = 1 διδάσκεται εδώ και καιρό, και τις τελευταίες δεκαετίες επιστήμονες της διδακτικής των μαθηματικών μελετούν την αποδοχή της ισότητας μεταξύ των διδασκόμενων, οι οποίοι συχνά την αρνούνται. Η αιτιολογία για την απόρριψη της ισότητας συχνά βασίζεται στην προσδοκία ότι πρέπει να υπάρχουν απειροστές ποσότητες, ότι η αριθμητική μπορεί να περιέχει σφάλματα, στην ανικανότητα της κατανόησης της έννοιας του ορίου ή απλά την πεποίθηση ότι ο 0,999... πρέπει να έχει ένα τελευταίο 9. Οι ιδέες αυτές είναι λανθασμένες όσον αφορά τους πραγματικούς αριθμούς, κάτι το οποίο μπορεί να αποδειχθεί με την κατασκευή των πραγματικών αριθμών από τους ρητούς αριθμούς, και τέτοιες κατασκευές μπορούν επίσης να αποδείξουν άμεσα ότι 0,999 = 1. Παράλληλα, ορισμένα από αυτά τα διαισθητικά φαινόμενα μπορούν να συμβούν σε άλλα αριθμητικά συστήματα. Υπάρχουν συστήματα στα οποία ένα αντικείμενο που μπορεί αιτιολογημένα να κληθεί «0,999...» είναι αυστηρά μικρότερο από το 1.

Το ότι ο αριθμός 1 έχει δύο δεκαδικούς συμβολισμούς δεν είναι μια ιδιομορφία του δεκαδικού συστήματος. Το ίδιο φαινόμενο εμφανίζεται σε άλλες ακέραιες βάσεις εκτός από τη δεκαδική, και οι μαθηματικοί έχουν επίσης ποσοτικοποιήσει τους τρόπους για την γραφή του 1 σε μη ακέραιες βάσεις. Ένα παρόμοιο φαινόμενο εμφανίζεται στο ισορροπημένο τριαδικό σύστημα, όπου το 1/2, σε αντίθεση με το 1, έχει 2 πιθανούς συμβολισμούς. Ούτε το φαινόμενο είναι μοναδικό για το 1: κάθε μη μηδενικός, πεπερασμένος δεκαδικός έχει έναν δίδυμο της μορφής .99999... Στην πραγματικότητα, όλα τα θεσιακά αριθμητικά συστήματα περιέχουν μια απειρία αμφίσημων αριθμών. Αυτές οι ταυτότητες έχουν εφαρμοστεί για την καλύτερη κατανόηση των κατανομών στους δεκαδικούς συμβολισμούς των κλασμάτων και την δομή ενός απλού φράκταλ, του συνόλου Καντόρ. Εμφανίζονται επίσης σε μια κλασσική διερεύνηση τoυ μη πεπερασμένου του συνόλου των πραγματικών αριθμών.

[Επεξεργασία] Μεθόδευση των Ψηφίων

Ο 0,999... είναι ένας αριθμός που έχει γραφτεί στο δεκαδικό σύστημα αρίθμησης, και μερικές από τις πιο απλές αποδείξεις ότι 0,999... = 1 βασίζονται στις βολικές ιδιότητες της αριθμητικής αυτού του συστήματος. Το μεγαλύτερο μέρος της δεκαδικής αριθμητικής —πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμός, διαίρεση και σύγκριση— χρησιμοποιεί χειρισμούς σε επίπεδο ψηφίων που είναι πάνω-κάτω όμοιοι με αυτούς των ακεραίων. Και σαν τους ακεραίους, οποιοιδήποτε δύο πεπερασμένοι δεκαδικοί αριθμοί με διαφορετικά ψηφία σημαίνουν δύο διαφορετικούς αριθμούς (αγνοώντας τα μηδενικά στο τέλος). Συγκεκριμένα, οποιοσδήποτε αριθμός της μορφής 0,999...9, όπου τα εννιάρια τελικά σταματούν, είναι αυστηρά μικρότερος από το 1.

Αντίθετα με τους ακεραίους και τους πεπερασμένους δεκαδικούς, άλλοι συμβολισμοί μπορούν να δηλώσουν ένα μοναδικό αριθμό με πολλούς τρόπους. Για παράδειγμα, χρησιμοποιώντας κλάσματα:

¹⁄₂ = ³⁄₆.

Οι μη πεπερασμένοι δεκαδικοί, ωστόσο, μπορούν να δηλώνουν τον ίδιο αριθμό το πολύ με δύο τρόπους. Αν υπάρχουν δύο τρόποι, τότε ο ένας από αυτούς πρέπει να τελειώνει με άπειρη σειρά από εννιάρια, και ο άλλος πρέπει να τερματίζεται (δηλαδή, να αποτελείται από μια επαναλαμβανόμενη σειρά μηδενικών από ένα σημείο και μετά).

[Επεξεργασία] Κλασματική απόδειξη

υπόθεση	3 × 0,333... = 0,999...
υπόθεση	0.333… = 1⁄3
βήμα 1	3 × 0,333... = 3 × 1⁄3
απόδειξη	0,999... = 1

Ένας λόγος για τον οποίο οι δεκαδικοί με άπειρα ψηφία αποτελούν αναγκαία επέκταση των πεπερασμένων είναι η αναπαράσταση κλασμάτων. Κάνοντας ευκλείδια διαίρεση, μια απλή διαίρεση δύο ακεραίων όπως το ¹ ⁄ ₃ έχουμε ως πηλίκο έναν περιοδικό αριθμό, το 0,333..., του οποίου τα ψηφία επαναλαμβάνονται χωρίς τέλος. Αυτός ο δεκαδικός χρησιμεύει για μία γρήγορη απόδειξη πως 0,999... = 1. Τρεις φορές το 3 δίνει τον αριθμό 9 σε κάθε ψηφίο, οπότε 3 × 0,333... ισούται με 0,999... . Αλλά 3 × ¹ ⁄ ₃ ισούται με 1, οπότε 0,999... = 1. Μία άλλη μορφή αυτης της απόδειξης πολλαπλασιάζει το ¹ ⁄ ₉ = 0,111... με το 9.

[Επεξεργασία] Αλγεβρική Απόδειξη

υπόθεση	10 × 0,999... = 9,999...
υπόθεση	α = 0,999...
βήμα 1	10α = 9,999...
βήμα 2	10α − α = 9,999... − 0,999...
βήμα 3	9α = 9
απόδειξη	α = 1

Μια άλλη απόδειξη προσαρμόζεται ευκολότερα σε άλλους περιοδικούς δεκαδικούς. Όταν ένας αριθμός σε δεκαδικό συμβολισμό πολλαπλασιάζεται με το 10, τα ψηφία δεν αλλάζουν, παρά μόνο η υποδιαστολή μετακινείται μία θέση προς τα δεξιά. Κατά αυτόν τον τρόπο, 10 × 0,999... ισούται με 9,999... που είναι 9 περισσότερο από τον προηγούμενο αριθμό. Για να γίνει φανερό αυτό, υποθέστε ότι η δοκιμή αφαίρεσης του 0,999... από το 9,999... μπορεί να γίνει ψηφίο-ψηφίο· σε καθένα από τα ψηφία μετα την υποδιαστολή, το αποτέλεσμα θα είναι 9 - 9 που κάνει 0. Αλλά τα μηδενικά της ουράς δεν αλλάζουν κανέναν αριθμό, οπότε η διαφορά είναι ακριβώς 9. Το τελευταίο βήμα χρησιμοποιεί άλγεβρα. Έστω α ο ζητούμενος περιοδικός αριθμός. Τότε 10α - α = 9. Αυτό συνεπάγεται 9α = 9. Διαιρώντας και τα δυο μέλη με το 9 ολοκληρώνεται η απόδειξη: α = 1

Το άρθρο αυτό είναι μερική μετάφραση του αντίστοιχου άρθρου της Αγγλικής Wikipedia.