Vikipedio:Projekto matematiko/Abela kategorio
El Vikipedio
 |
Ĉi tiu artikolo montras stilajn aŭ/kaj gramatikajn aŭ/kaj strukturajn problemojn kaj bezonas poluradon por konformi al pli bona nivelo de kvalito. Post plibonigo movu la artikolon al Abela kategorio (eble la nomo mem bezonas korekton) Se la ligo estas ruĝa, vi povas movi la artikolon. Se la ligo estas blua, la alia artikolo pri la temo jam ekzistas kaj tiun kaj ĉi tiun artikolon necasas kunigi. |
En matematiko, abela kategorio estas kategorio en kiuj strukturkonservantaj transformoj kaj (objektoj, objektas) povas esti adiciita kaj en kiu (kernoj, kernas) kaj (kunnukleoj, kunnukleas) ekzisti kaj havi nicaj propraĵoj. La motiviganta prototipa ekzemplo de abela kategorio estas la kategorio de komutaj grupoj, Abo.
Enhavo |
[redaktu] (Difinoj, Difinas)
Kategorio estas abela se
- ĝi havas nula objekto,
- ĝi havas ĉiuj (malantaŭentiroj, malantaŭentiras) kaj _pushouts_, kaj
- ĉiuj _monomorphisms_ kaj _epimorphisms_ estas normala.
Per teoremo de Peniseto _Freyd_, ĉi tiu difino estas ekvivalento al la sekva "_piecemeal_" difino:
- A kategorio estas _preadditive_ se ĝi estas riĉigita super la _monoidal_ kategorio Abo de komutaj grupoj. Ĉi tiu (meznombroj, meznombras, signifas) (tiu, ke, kiu) ĉiuj _hom_-aroj estas komutaj grupoj kaj la komponaĵo de strukturkonservantaj transformoj estas dulineara.
- A _preadditive_ kategorio estas alsuma se ĉiu finia aro de (objektoj, objektas) havas _biproduct_. Ĉi tiu (meznombroj, meznombras, signifas) (tiu, ke, kiu) ni povas (formo, formi) finiaj direktaj sumoj kaj direkto (produktoj, produktas, produktaĵoj, produktaĵas, produtoj, produtas).
- An alsuma kategorio estas _preabelian_ se ĉiu strukturkonservanta transformo havas ambaŭ kerno kaj kunnukleo.
- Fine, _preabelian_ kategorio estas abela se ĉiu _monomorphism_ kaj ĉiu _epimorphism_ estas normala. Ĉi tiu (meznombroj, meznombras, signifas) (tiu, ke, kiu) ĉiu _monomorphism_ estas kerno de iu strukturkonservanta transformo, kaj ĉiu _epimorphism_ estas kunnukleo de iu strukturkonservanta transformo.
(Tononomo, Noto, Noti) (tiu, ke, kiu) la riĉigis strukturo sur _hom_-aroj estas konsekvenco de la tri (aksiomoj, aksiomas) de la unua difino.
[redaktu] (Ekzemploj, Ekzemplas)
- Kiel menciis pli supre, la kategorio de ĉiuj komutaj grupoj estas abela kategorio. La kategorio de ĉiuj finie generitaj komutaj grupoj estas ankaŭ abela kategorio, kiel estas la kategorio de ĉiuj finiaj komutaj grupoj.
- Se R estas ringo, tiam la kategorio de ĉiuj (maldekstre, restis) (aŭ (ĝusta, dekstra, rajto)) (moduloj, modulas) super R estas abela kategorio. Fakte, ĝi povas esti montrita (tiu, ke, kiu) (ĉiu, iu) malgranda abela kategorio estas ekvivalento al plena subkategorio de tia kategorio de (moduloj, modulas) (_Mitchell_'s eniga teoremo).
- Se R estas (maldekstre, restita)-_noetherian_ ringo, tiam la kategorio de finie generita (maldekstre, restis) (moduloj, modulas) super R estas abela. En aparta, la kategorio de finie generita (moduloj, modulas) super _noetherian_ komuta ringo estas abela; en tiamaniere, abelaj kategorioj montri supren en komuta algebro.
- Kiel specialaj okazoj de la du antaŭa (ekzemploj, ekzemplas): la kategorio de vektoraj spacoj super invariantokorpo k estas abela, kiel estas la kategorio de finidimensiaj vektoraj spacoj super k.
- Se X estas topologia spaco, tiam la kategorio de ĉiuj ((reala, reela) aŭ komplekso) vektoraj pakaĵoj sur X estas abela kategorio. En tiamaniere, abelaj kategorioj montri supren en diferenciala geometrio, diferenciala topologio, kaj algebra topologio.
- Se X estas topologia spaco, tiam la kategorio de ĉiuj kunligaĵoj de komutaj grupoj sur X estas abela kategorio. Pli ĝenerale, la kategorio de kunligaĵoj de komutaj grupoj sur _Grothendieck_ situo estas abela kategorio. En tiamaniere, abelaj kategorioj montri supren en algebra topologio kaj algebra geometrio.
- Se C estas malgranda kategorio kaj A estas abela kategorio, tiam la kategorio de ĉiuj _functors_ de C al A (formoj, formas) abela kategorio (la strukturkonservantaj transformoj de ĉi tiu kategorio estas la naturaj transformoj inter _functors_). Se C estas malgranda kaj _preadditive_, tiam la kategorio de ĉiuj alsuma _functors_ de C al A ankaŭ (formoj, formas) abela kategorio. La lasta estas ĝeneraligo de la R-modulo (modela teorio) ekzemplo, ekde ringo povas esti komprenita kiel _preadditive_ kategorio kun sola objekto.
[redaktu] Rudimentaj propraĵoj
Donita (ĉiu, iu) paro A, B de (objektoj, objektas) en abela kategorio, estas speciala nula strukturkonservanta transformo de A al B. Ĉi tiu povas esti difinita kiel la [[Nulo|]]nula ero de la _hom_-aro _Hom_(A,B), ekde ĉi tiu estas komuta grupo. Alternative, ĝi povas esti difinita kiel la unika komponaĵo A → 0 → B, kie 0 estas la nula objekto de la abela kategorio.
En abela kategorio, ĉiu strukturkonservanta transformo f povas esti skribita kiel la komponaĵo de _epimorphism_ sekvis per _monomorphism_. Ĉi tiu _epimorphism_ estas (nomita, vokis) la _coimage_ de f, dum la _monomorphism_ estas (nomita, vokis) la bildo de f.
(Subobjektoj, Subobjektas) kaj kvociento (objektoj, objektas) estas bone-kondutita en abelaj kategorioj. Ekzemple, la _poset_ de (subobjektoj, subobjektas) de (ĉiu, iu) donita objekto A estas barita krado.
Ĉiu abela kategorio A estas modulo (modela teorio) super la _monoidal_ kategorio de finie generitaj komutaj grupoj; tio estas, ni povas (formo, formi) tensora produto de finie generita komuta grupo G kaj (ĉiu, iu) objekto A de A. La abela kategorio estas ankaŭ _comodule_; _Hom_(G,A) povas esti interpretita kiel objekto de A. Se A estas plenumi, tiam ni povas forpreni la bezono (tiu, ke, kiu) G esti finie generita; plej ĝenerale, ni povas (formo, formi) _finitary_ riĉigis limigoj en A.
[redaktu] Rilatanta (konceptoj, konceptas)
Abelaj kategorioj estas la plej ĝenerala opcio por _homological_ algebro. Ĉiuj de la konstruoj uzita en (tiu, ke, kiu) kampo estas taŭga, kiel akurataj vicoj, kaj aparte mallongaj akurataj vicoj, kaj derivis _functors_. Grava (teoremoj, teoremas) (tiu, ke, kiu) apliki totale abelaj kategorioj inkluzivi la kvina lemo (kaj la mallonga kvina lemo kiel speciala okazo), kaj ankaŭ la serpenta lemo (kaj la naŭ lemo kiel speciala okazo).
[redaktu] Historio
Abelaj kategorioj estis prezentita per Aleksander _Grothendieck_ meze de la 1950-aj jaroj por ke samspecigi diversaj _cohomology_ (teorioj, teorias). Je la tempo, tie estis _cohomology_ teorio por kunligaĵoj, kaj _cohomology_ teorio por (grupoj, grupas). La du estita difinita plene malsame, sed ili havis formale preskaŭ identaj propraĵoj. Fakte, multa de teorio de kategorioj estis ellaborita kiel lingvo al studi ĉi tiuj (similecoj, similecas). _Grothendieck_ (administris, regita) al samspecigi la du (teorioj, teorias): ili ambaŭ ekesti kiel derivis _functors_ sur abelaj kategorioj; sur la unu mano la abela kategorio de kunligaĵoj de komutaj grupoj sur topologia spaco, aliflanke la abela kategorio de G-(moduloj, modulas) por donita grupo G.
[redaktu] Referencoj
- P. _Freyd_. Abela (Kategorioj, Kategorias), _Harper_ kaj (Linio, Vico), (Nov-Jorkio, Novjorko), 1964. Havebla surlinia.
- _Barry_ _Mitchell_: Teorio de (Kategorioj, Kategorias), (Nov-Jorkio, Novjorko), Akademia Premi, 1965.
- N. _Popescu_: Abelaj kategorioj kun aplikoj al (ringoj, ringas, sonoras) kaj (moduloj, modulas), Akademia Premi, Londono, 1973.
