Vikipedio:Projekto matematiko/Akurata vico

El Vikipedio

Ĉi tiu artikolo montras stilajn aŭ/kaj gramatikajn aŭ/kaj strukturajn problemojn kaj bezonas poluradon por konformi al pli bona nivelo de kvalito. Post plibonigo movu la artikolon al
Akurata vico
(eble la nomo mem bezonas korekton) Se la ligo estas ruĝa, vi povas movi la artikolon. Se la ligo estas blua, la alia artikolo pri la temo jam ekzistas kaj tiun kaj ĉi tiun artikolon necasas kunigi.

En matematiko, aparte en _homological_ algebro kaj aliaj aplikoj de Abela kategoria teorio, kaj ankaŭ en grupa teorio, akurata vico estas (finia aŭ malfinio) vico de (objektoj, objektas) kaj strukturkonservantaj transformoj inter ilin tia (tiu, ke, kiu) la bildo de unu strukturkonservanta transformo egalas la kerno de la venonta.

[redaktu] Difino

Al esti preciza, (fiksi, neŝanĝebligi) Abela kategorio (kiel la kategorio de Komutaj grupoj aŭ la kategorio de vektoraj spacoj super donita kampo) aŭ iu alia kategorio kun (kernoj, kernas) kaj (kunnukleoj, kunnukleas) (kiel la kategorio de ĉiuj (grupoj, grupas)). Elekti indeksa aro de najbara (entjeroj, entjeras). Tiam por ĉiu entjero mi en la indeksa aro, estu A_mi esti objekto en la kategorio kaj estu f_mi esti strukturkonservanta transformo de A_mi al A_mi+1. Ĉi tiu difinas vico de (objektoj, objektas) kaj strukturkonservantaj transformoj.

La vico estas akurata je A_mi se la bildo de f_mi−1 estas egala al la kerno de f_mi:

_im_ f_mi−1 = _ker_ f_mi.

La vica sin estas akurata se ĝi estas akurata je ĉiu objekto (escepti eble je la tre unua kaj la tre lasta objekto, kie precizeco ne fari (senso, senco)).

[redaktu] Ekzemplo

Konsideri jena vico de komutaj grupoj:

$0\to \Bbb{Z} \to \Bbb{Z} \to \Bbb{Z}/2\Bbb{Z}\to 0$

kie 0 signifas la bagatela komuta grupo kun sola ero, la mapo de Z al Z estas multipliko per 2, kaj la mapo de Z al la kvocienta grupo Z/2Z estas donita per reduktanta (entjeroj, entjeras) module 2. Ĉi tiu estas ja akurata vico:

la bildo de la mapo 0→Z estas {0}, kaj la kerno de multipliko per 2 estas ankaŭ {0}, (do, tiel) la vico estas akurata je la unua Z.
la bildo de multipliko per 2 estas 2Z, kaj la kerno de reduktanta module 2 estas ankaŭ 2Z, (do, tiel) la vico estas akurata je la (sekundo, dua) Z.
la bildo de reduktanta module 2 estas ĉiuj de Z/2Z, kaj la kerno de la nula mapo estas ankaŭ ĉiuj de Z/2Z, (do, tiel) la vico estas akurata je la pozicio Z/2Z

[redaktu] Specialaj okazoj

Al fari (senso, senco) de la difino, ĝi estas helpema al konsideri kia ĝi (meznombroj, meznombras, signifas) en relative simpla (okazoj, skatoloj, kestoj, kestas, okazas) kie la vico estas finia kaj (komenciĝoj, komenciĝas, komencas) aŭ (randoj, randas, finoj, finas) kun 0.

La vico 0 → A → B estas akurata je A se kaj nur se la mapo de A al B havas kerno {0}, kio estas se kaj nur se (tiu, ke, kiu) mapo estas _monomorphism_.
Duale, la vico B → C → 0 estas akurata je C se kaj nur se la bildo de la mapo de B al C estas ĉiuj de C, kio estas se kaj nur se (tiu, ke, kiu) mapo estas _epimorphism_.
A konsekvenco de ĉi tiuj lasta du (faktoj, faktas) estas (tiu, ke, kiu) la vico 0 → X → Y → 0 estas akurata se kaj nur se la mapo de X al Y estas izomorfio.

Kiam kontraktanta kun akurataj vicoj de (grupoj, grupas), ĝi estas komuna al skribi 1 anstataŭ 0 por la bagatela grupo kun sola ero.

Grava estas mallongaj akurataj vicoj, kiu estas akurataj vicoj de la (formo, formi)

Per la pli supre, ni scii (tiu, ke, kiu) por (ĉiu, iu) tia mallonga akurata vico, f estas _monomorphism_ kaj g estas _epimorphism_. Plue, la bildo de f estas egala al la kerno de g. Ĝi estas helpema al (opinii, pensi) de A kiel subobjekto de B kun f estante la enigo de A enen B, kaj de C kiel la (korespondanta, respektiva) faktora objekto B/A, kun la mapo g estante la natura projekcio de B al B/A (kies kerno estas akurate A).

[redaktu] (Faktoj, Faktas)

La forkiĝaj lemaj ŝtatoj (tiu, ke, kiu) se la pli supre mallonga akurata vico konsentas strukturkonservanta transformo t: B → A tia (tiu, ke, kiu) t o f estas la idento sur A aŭ strukturkonservanta transformo u: C → B tia (tiu, ke, kiu) g o u estas la idento sur C, tiam B estas tordita direkta sumo de A kaj C. (Por (grupoj, grupas), tordita direkta sumo estas duonrekta (produkto, produto); en Abela kategorio, ĉiu tordis direkta sumo estas ordinara direkta sumo.) En ĉi tiu (kesto, okazo), ni diri (tiu, ke, kiu) la mallonga akurata vico (klivas, fendas, forkiĝas).

La serpenta lemo montras kiel komuta figuro kun du akurata (linioj, vicoj, linias, vicas) donas pligrandiĝo al pli longa akurata vico. La naŭ lemo estas speciala okazo.

La kvina lemo donas kondiĉoj sub kiu la meza mapo en komuta figuro kun akurata (linioj, vicoj, linias, vicas) de longo 5 estas izomorfio; la mallonga kvina lemo estas speciala okazo _thereof_ aplikanta al mallongaj akurataj vicoj.

La graveco de mallongaj akurataj vicoj estas substrekita per la fakto (tiu, ke, kiu) ĉiuj akurataj vicaj rezultoj de "(teksanta, teksaranĝanta) kune" kelkaj parte kovrantaj mallongaj akurataj vicoj. Konsideri ekzemple la akurata vico

$A_1\to A_2\to A_3\to A_4\to A_5\to A_6$

kaj difini

$C_k = \ker (A_k\to A_{k+1})= \operatorname{im} (A_{k-1}\to A_k) = \operatorname{coker} (A_{k-2}\to A_{k-1})$

Tiam ni ricevi komuta figuro en kiuj ĉiuj diagonaloj estas mallongaj akurataj vicoj:

Male, donita (ĉiu, iu) listo de parte kovrantaj mallongaj akurataj vicoj, ilia mezo (termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas) (formo, formi) akurata vico en la sama maniero.

[redaktu] Aplikoj de akurataj vicoj

En la teorio de abelaj kategorioj, mallongaj akurataj vicoj estas ofte uzita kiel oportuna lingvo al (konversacii, konversacio, prelego) pri sub- kaj faktoro (objektoj, objektas).

La vastigaĵa problemo estas esence la demando, donita la fino (termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas) A kaj C de mallonga akurata vico, kiaj eblecoj ekzisti por la mezo (termo, membro, flanko, termino) B? En la kategorio de grupoj, ĉi tiu estas ekvivalento al la demando, kio (grupoj, grupas) B havi A kiel normala subgrupo kaj C kiel la (korespondanta, respektiva) kvocienta grupo? Ĉi tiu problemo estas grava en la klasifiko de (grupoj, grupas).

(Rimarki, Avizo) (tiu, ke, kiu) en akurata vico, la komponaĵo f_mi+1 o f_mi (mapoj, mapas) A_mi al 0 en A_mi+2, (do, tiel) ĉiu akurata vico estas ĉena komplekso. Plue, nur f_mi-bildoj de eroj de A_mi estas mapita al 0 per f_mi+1, (do, tiel) la homologeco de ĉi tiu ĉena komplekso estas bagatela. Pli (lakone, koncize):

Akurataj vicoj estas precize tiuj ĉenaj kompleksoj kiu estas necikla.

Donita (ĉiu, iu) ĉena komplekso, ĝia homologeco povas pro tio esti penso de kiel mezuri de la grado al kiu ĝi mankas al esti akurata.

Se ni preni serio de mallongaj akurataj vicoj (ĉeneris, ligita, bindita) per ĉenaj kompleksoj (tio estas, mallonga akurata vico de ĉenaj kompleksoj, aŭ de alia punkto de vido, ĉena komplekso de mallongaj akurataj vicoj), tiam ni povas derivi de ĉi tiu longa akurata vico (kio estas akurata vico (indeksis, indicita) per la naturaj nombroj) per ripetis apliko de la serpenta lemo. Ĉi tiu estas eksplikita en la artikolo sur homologeco. Ĝi venas supren en algebra topologio en la studi de relativa homologeco; la _Mayer_-_Vietoris_ vico estas alia ekzemplo. Longaj akurataj vicoj konkludis per mallongaj akurataj vicoj estas ankaŭ karakterizo de derivis _functors_.

Akurata _functors_ estas _functors_ (tiu, ke, kiu) (konverti, konverto) akurataj vicoj enen akurataj vicoj.

Elŝutita el "http://eo.wikipedia.org../../../p/r/o/Vikipedio%7EProjekto_matematiko_Akurata_vico_8586.html"

Kategorioj: Artikoloj por polurado kaj movo | Algebro | Abstrakta algebro | Algebra topologio