Vikipedio:Projekto matematiko/Aro de ĉiuj subaroj

El Vikipedio

Ĉi tiu artikolo montras stilajn aŭ/kaj gramatikajn aŭ/kaj strukturajn problemojn kaj bezonas poluradon por konformi al pli bona nivelo de kvalito. Post plibonigo movu la artikolon al
Aro de ĉiuj subaroj
(eble la nomo mem bezonas korekton) Se la ligo estas ruĝa, vi povas movi la artikolon. Se la ligo estas blua, la alia artikolo pri la temo jam ekzistas kaj tiun kaj ĉi tiun artikolon necasas kunigi.

En matematiko, donita aro S, la aro de ĉiuj subaroj (aŭ potencaro) de S, skribita $\mathcal{P}(S)$ aŭ 2^S, estas la aro de ĉiuj subaroj de S. En aksioma aroteorio (kiel ellaborita e.g. en la ZFC (aksiomoj, aksiomas)), la ekzisto de la aro de ĉiuj subaroj de (ĉiu, iu) aro estas postulatita per la aksiomo de aro de ĉiuj subaroj.

(Ĉiu, Iu) subaro F de $\mathcal{P}(S)$ estas (nomita, vokis) familio de aroj super S.

Ekzemple, se S estas la aro {A, B, C} tiam la plenumi listo de subaroj, subaras de S estas kiel sekvas:

{} (la malplena aro)
{A}
{B}
{C}
{A, B}
{A, C}
{B, C}
{A, B, C}

kaj de ĉi tie la aro de ĉiuj subaroj de S estas

$\mathcal{P}(S) = \{$ {}, {A}, {B}, {C}, {A, B}, {A, C}, {B, C}, {A, B, C} $\}\,\!$

Se S estas finia aro kun |S|=n eroj, tiam la aro de ĉiuj subaroj de S enhavas $|\mathcal{P}(S)| = 2^n$ erojn. (Oni povas - kaj komputiloj reale faras - prezenti la erojn de $\mathcal{P}(S)$ kiel n-malmultajn nombrojn; la n-a malmulto koncernas la ekziston aŭ foreston de la n-a ero de S. Estas 2ⁿ tiaj nombroj.)

Oni povas ankaŭ konsideri la aron de ĉiuj subaroj de malfiniaj aroj. Diagonala argumento de Cantor montras, ke la aro de ĉiuj subaroj de aro (malfinio ĉu ne) ĉiam havas severe pli altan kardinalon ol la aro mem (neformale la aro de ĉiuj subaroj devas esti 'pli granda' ol la originala aro). La aro de ĉiuj subaroj de la aro de naturaj nombroj ekzemple povas enmetiĝi (bijekcia, dissurĵeta) rilato kun la aro de reelaj nombroj. Ni prezentu subaron de la naturaj nombroj per duuma nombro inter 0 kaj 1 inkluziva. Ekzemple, la ara aro {1,3} havas prezento 0.10100..., kun 1's je la ciferoj kun indeksoj en la subaro kaj 0's aliloke. Ni povas tiam sendi ĉi tiu aro (kiu estas [0,1] en la reelaj nombroj) al la tuta reala linio facile (diri, per surĵeto $x$ al $\tan\left(\pi(x-0.5)\right)$ )

La aro de ĉiuj subaroj de aro S, kaj ankaŭ la operacioj de unio, komunaĵo kaj komplemento (formoj, formas) la pratipa ekzemplo de bulea algebro. Fakte, unu povas montri (tiu, ke, kiu) (ĉiu, iu) finia bulea algebro estas izomorfia al la bulea algebro de la aro de ĉiuj subaroj de finia aro. Por malfinio buleaj algebroj ĉi tiu estas jam ne vera, sed ĉiu malfinia bulea algebro estas subalgebro de aro de ĉiu subara bulea algebro.

La aro de ĉiuj subaroj de aro S formas komutan grupon kiam konsiderita kun la operacio de simetria diferenco (kun la malplena aro kiel ĝia unuo kaj ĉiu aro estante ĝia posedi inverso) kaj komuta duongrupo kiam konsiderita kun la operacio de komunaĵo. Ĝi povas de ĉi tie esti montrita (per pruvo de la distribuecaj leĝoj), ke la aro de ĉiuj subaroj konsideritaj kaj ankaŭ ambaŭ de ĉi tiuj operacioj formas komutan rringon.

[redaktu] La skribmaniero 2^S

En aroteorio, X^Y estas la aro de ĉiuj funkcioj de Y al X. Kiel 2 povas esti difinita kiel {0,1} (vidi natura nombro), 2^S estas la aro de ĉiuj funkcioj de S al {0,1}. Per identiganta funkcio en 2^S kun la (korespondanta, respektiva) antaŭbildo de 1, ni vidi, (ke, kiu) estas reciproke unuvalora surĵeto inter 2^S kaj $\mathcal{P}(S)$ , kie ĉiu funkcio estas la karakteriza funkcio de la subaro en $\mathcal{P}(S)$ kun kiu ĝi estas identigita. De ĉi tie 2^S kaj $\mathcal{P}(S)$ povita esti konsiderata identa arteorie.