Vikipedio:Projekto matematiko/Disĵeta modulo

El Vikipedio

Ĉi tiu artikolo montras stilajn aŭ/kaj gramatikajn aŭ/kaj strukturajn problemojn kaj bezonas poluradon por konformi al pli bona nivelo de kvalito. Post plibonigo movu la artikolon al Disĵeta modulo (eble la nomo mem bezonas korekton) Se la ligo estas ruĝa, vi povas movi la artikolon. Se la ligo estas blua, la alia artikolo pri la temo jam ekzistas kaj tiun kaj ĉi tiun artikolon necasas kunigi.

En matematiko, disĵeta modulo estas modulo (modela teorio) Q (tiu, ke, kiu) (kotizoj, kotizas, kvotoj, kvotas, akcioj, akcias, komunigas, partoj, partas) certaj dezirindaj propraĵoj kun la Z-modulo (modela teorio) Q de ĉiuj racionalaj nombroj. Aparte, se Q estas submodulo de iu alia modulo (modela teorio), tiam ĝi estas jam direkta termo de (tiu, ke, kiu) modulo (modela teorio); ankaŭ, donita submodulo de modulo (modela teorio) Y, tiam (ĉiu, iu) modulo (modela teorio) homomorfio de ĉi tiu submodulo al Q povas esti etendita al homomorfio de ĉiuj de Y al Q. Ĉi tiu koncepto estas duala al (tiu, ke, kiu) de projekciaj moduloj. Disĵetaj moduloj estis prezentita per _Reinhold_ _Baer_ en 1940.

Enhavo 1 Difino 2 (Ekzemploj, Ekzemplas) 3 (Faktoj, Faktas) 4 Ĝeneraligo 5 Referencoj

[redaktu] Difino

Pli formale, (maldekstre, restis) modulo (modela teorio) Q super la ringo R estas (disĵeta, enjekcia) se ĝi (verigas, kontentigas) unu (kaj pro tio ĉiuj) de jenaj ekvivalentaj kondiĉoj:

• Se Q estas submodulo de iu alia (maldekstre, restis) R-modulo (modela teorio) M, tiam tie ekzistas alia submodulo K de M tia (tiu, ke, kiu) M estas la interne direkta sumo de Q kaj K, kio estas Q + K = M kaj Q ∩ K = {0}.
• Se X estas submodulo de la (maldekstre, restis) R-modulo (modela teorio) Y kaj g : X → Q estas modulo (modela teorio) homomorfio, tiam tie ekzistas modulo (modela teorio) homomorfio h : Y → Q tia (tiu, ke, kiu) h(x) = g(x) por ĉiuj x en X.
• Se X kaj Y estas (maldekstre, restita)-R (moduloj, modulas) kaj f : X → Y estas disĵeta modula homomorfio kaj g : X → Q estas ajna modulo (modela teorio) homomorfio, tiam tie ekzistas modulo (modela teorio) homomorfio h : Y → Q tia (tiu, ke, kiu) hf = g, kio estas tia (tiu, ke, kiu) jena figuro komutiĝas:

• (Ĉiu, Iu) mallonga akurata vico 0 →Q → M → K → 0 de (maldekstre, restis) R-(moduloj, modulas) (klivas, fendas, forkiĝas).
• La kontraŭvarianca _functor_ _Hom_(-,Q) de la kategorio de (maldekstre, restis) R-(moduloj, modulas) al la kategorio de komutaj grupoj estas akurata.

(Disĵeta, Enjekcia) (ĝusta, dekstra, rajto) R-(moduloj, modulas) estas difinita en plenumi analogio.

[redaktu] (Ekzemploj, Ekzemplas)

Bagatele, la nula modulo {0} estas (disĵeta, enjekcia).

Ĉiu vektora spaco Q estas (disĵeta, enjekcia). Kaŭzo: se Q estas subspaco de V, ni povas trovi bazo de Q kaj etendi ĝi al bazo de V. La novaj etendantaj bazvektoroj (naski, generi) subspaco K de V kaj V estas la interne direkta sumo de Q kaj K. (Tononomo, Noto, Noti) (tiu, ke, kiu) la direkta komplemento K de Q estas ne unike difinita per Q, kaj ankaŭ la etendanta mapo g en la pli supre difino estas tipe ne unika.

Se G estas finia grupo kaj k kampo kun karakterizo 0, tiam unu montras en la teorio de grupaj prezentoj (tiu, ke, kiu) (ĉiu, iu) _subrepresentation_ de donita unu estas jam direkta termo de la donita unu. Tradukita enen modulo (modela teorio) lingvo, ĉi tiu (meznombroj, meznombras, signifas) (tiu, ke, kiu) ĉiuj (moduloj, modulas) super la grupa algebro _kG_ estas (disĵeta, enjekcia). Se la karakterizo de k estas ne nulo, jena ekzemplo (majo, povas) helpi.

Se A estas _unital_ asocieca algebro super la kampo k kun finia dimensio super k, tiam _Hom__k(−, k) estas duvarianteco inter finie generita (maldekstre, restis) A-(moduloj, modulas) kaj finie generita (ĝusta, dekstra, rajto) A-(moduloj, modulas). Pro tio, la finie generita (disĵeta, enjekcia) (maldekstre, restis) A-(moduloj, modulas) estas precize la (moduloj, modulas) de la (formo, formi) _Hom__k(P, k) kie P estas finie generita projekcia (ĝusta, dekstra, rajto) A-modulo (modela teorio).

Super alia (ringoj, ringas, sonoras), disĵetaj moduloj estas abunda, sed ĝi estas ne facila al veni supren kun (ekzemploj, ekzemplas) sen iu teorio (menciis pli sube). La (racionaloj, racionalas) Q (kun (aldono, adicio)) (formo, formi) (disĵeta, enjekcia) komuta grupo (kio estas (disĵeta, enjekcia) Z-modulo (modela teorio)). La kvocienta grupo Z/nZ por n > 1 estas (disĵeta, enjekcia) kiel Z/nZ-modulo (modela teorio), sed ne (disĵeta, enjekcia) kiel komuta grupo.

[redaktu] (Faktoj, Faktas)

(Ĉiu, Iu) (produkto, produto) de ((eĉ, ebena, para) malfinie multaj) disĵetaj moduloj estas (disĵeta, enjekcia). Ĉiu direkta sumo de finie multaj disĵetaj moduloj estas (disĵeta, enjekcia). En ĝenerala, (submoduloj, submodulas), faktoro (moduloj, modulas) aŭ malfiniaj direktaj sumoj de disĵetaj moduloj (bezoni, bezono, necesa) ne esti (disĵeta, enjekcia).

En _Baer_'s originala papero, li (pruvita, pruvis) utila rezulto, kutime sciata kiel _Baer_'s Kriterio, por kontrolanta ĉu modulo (modela teorio) estas (disĵeta, enjekcia): (maldekstre, restis) R-modulo (modela teorio) Q estas (disĵeta, enjekcia) se kaj nur se (ĉiu, iu) homomorfio g : Mi → Q difinis sur (maldekstre, restis) idealo Mi de R povas esti etendita al ĉiuj de R.

Uzanta ĉi tiu kriterio, unu povas montri (tiu, ke, kiu) Q estas (disĵeta, enjekcia) komuta grupo (kio estas disĵeta modulo super Z). Pli ĝenerale, komuta grupo estas (disĵeta, enjekcia) se kaj nur se ĝi estas dividebla. Pli ĝenerale ankoraŭ: modulo (modela teorio) super ĉefideala domajno estas (disĵeta, enjekcia) se kaj nur se ĝi estas dividebla. Unu (majo, povas) vido la ekzemplo pri vektoraj spacoj kiel speciala okazo de ĉi tiu teoremo, kiel ĉiu vektora spaco estas dividebla.

Eble la plej grava disĵeta modulo estas la komuta grupo Q/Z. Ĝi estas disĵeta kungenerilo en la kategorio de komutaj grupoj, kiu (meznombroj, meznombras, signifas) (tiu, ke, kiu) ĝi estas (disĵeta, enjekcia) kaj (ĉiu, iu) alia modulo (modela teorio) estas enhavita en konvene granda (produkto, produto) de (kopioj, kopias) de Q/Z. (Do, Tiel) en aparta, ĉiu komuta grupo estas subgrupo de (disĵeta, enjekcia) unu. Ĝi estas sufiĉe grava (tiu, ke, kiu) ĉi tiu estas ankaŭ vera super (ĉiu, iu) ringo: ĉiu modulo (modela teorio) estas submodulo de (disĵeta, enjekcia) unu, aŭ "la kategorio de (maldekstre, restis) R-(moduloj, modulas) havas sufiĉa _injectives_." Al pruvi ĉi tiu, unu uzas la strangaj propraĵoj de la komuta grupo Q/Z al konstrui disĵeta kungenerilo en la kategorio de (maldekstre, restis) R-(moduloj, modulas).

Unu povas tiam daŭrigi al difini la disĵeta hulo de modulo (modela teorio) (esence la (plej minuskla, plej malgranda) disĵeta modulo enhavanta la donita unu). Ĉiu modulo (modela teorio) M ankaŭ havas (disĵeta, enjekcia) rezolucio: akurataj vicoj de la (formo, formi)

0 → M → Mi⁰ → Mi¹ → Mi² → ...

kie la Mi^j estas (disĵeta, enjekcia). Ĉi tiuj (disĵeta, enjekcia) (rezolucioj, rezolucias) estas uzitaj al difini la disĵeta dimensio de modulo (modela teorio) (la longo de la plej mallonga (disĵeta, enjekcia) rezolucio (randanta, finanta) en nuloj, se tia finia rezolucio ekzistas) kaj ankaŭ derivis _functors_.

Ĉiu nemalmuntebla disĵeta modulo havas loka endomorfia ringo.

[redaktu] Ĝeneraligo

Unu ankaŭ (konversacias, konversacioj, prelegoj, prelegas) pri disĵetaj objektoj en (kategorioj, kategorias) pli ĝenerala ol modulo (modela teorio) (kategorioj, kategorias), ekzemple en _functor_ (kategorioj, kategorias) aŭ en (kategorioj, kategorias) de kunligaĵoj de O_X (moduloj, modulas) super iu (ringis, sonorita) spaco (X,O_X). Jena ĝenerala difino estas uzita: objekto Q de la kategorio C estas (disĵeta, enjekcia) se por (ĉiu, iu) _monomorphism_ f : X → Y en C kaj (ĉiu, iu) strukturkonservanta transformo g : X → Q tie ekzistas strukturkonservanta transformo h : Y → Q kun hf = g.

[redaktu] Referencoj

• F.W. _Anderson_ kaj K.R. pli plena: (Ringoj, Ringas, Sonoras) kaj (Kategorioj, Kategorias) de (Moduloj, Modulas), Diplomiĝi (Tekstoj, Tekstas) en Matematiko, (Volumeno, Volumo). 13, 2-a _Ed_., _Springer_-_Verlag_, (Nov-Jorkio, Novjorko), 1992.