Vikipedio:Projekto matematiko/Dualo

El Vikipedio

Ĉi tiu artikolo montras stilajn aŭ/kaj gramatikajn aŭ/kaj strukturajn problemojn kaj bezonas poluradon por konformi al pli bona nivelo de kvalito. Post plibonigo movu la artikolon al Dualo (eble la nomo mem bezonas korekton) Se la ligo estas ruĝa, vi povas movi la artikolon. Se la ligo estas blua, la alia artikolo pri la temo jam ekzistas kaj tiun kaj ĉi tiun artikolon necasas kunigi.

En matematiko, la ekzisto de duala vektora spaco reflektas en abstrakta vojo la interrilato inter (linio, vico) (vektoroj, vektoras) (1×n) kaj kolumno (vektoroj, vektoras) (n×1). La konstruado povas ankaŭ preni loko por malfinidimensia (spacoj, kosmoj, spacetoj) kaj donas pligrandiĝo al grava (vojoj, vojas) de (aspektanta, rigardanta) je (mezuras, kriterioj, kriterias, mezuroj), distribuoj, kaj Hilberta spaco. La uzi de la dualo en iu (modo, maniero) estas tial karakterizo de funkcionala analitiko. Ĝi estas ankaŭ imanenta en la Konverto de Fourier.

Enhavo 1 Algebra dualo 1.1 (Ekzemploj, Ekzemplas) 1.2 Dulineara (produktoj, produktas, produktaĵoj, produktaĵas, produtoj, produtas) kaj dualoj 1.3 Injekto enen la duopa-duala 1.4 Transponi de lineara surĵeto 2 Kontinua dualo 2.1 (Ekzemploj, Ekzemplas) 2.2 Plui propraĵoj

[redaktu] Algebra dualo

Donita (ĉiu, iu) vektora spaco V super iu kampo F, ni difini la dualo V* al esti la aro de ĉiuj linearaj funkcionaloj sur V, kio estas, skalaro-valoraj linearaj transformoj sur V (en ĉi tiu ĉirkaŭteksto, "skalaro" estas membro de la bazo-kampo F). V* sin iĝas vektora spaco super F sub jena difino de aldono kaj skalara multipliko:

por ĉiuj φ, ψ en V*, a en F kaj x en V. En la lingvo de (tensoroj, tensoras), eroj de V estas iam (nomita, vokis) _covariant_ (vektoroj, vektoras), kaj eroj de V*, _contravariant_ (vektoroj, vektoras), _covectors_ aŭ (unu-formoj, unu-formas).

[redaktu] (Ekzemploj, Ekzemplas)

Se la dimensio de V estas finia, tiam V* havas la sama dimensio kiel V; se {e₁,...,e_n} estas bazo por V, tiam la asociita duala bazo {e¹,...,eⁿ} de V* estas donita per

Ĉe R², ĝia bazo estas B={e₁=(1,0),e₂=(0,1)}.Tiam, e¹ estas unu-formo (funkcio kiu (mapoj, mapas) vektoro al skalaro) tia (tiu, ke, kiu) e¹(e₁)=1, kaj e¹(e₂)=0. Simileco por e².

Konkrete, se ni interpreti Rⁿ kiel spaco de kolumnoj de n reelaj nombroj, ĝia dualo estas tipe skribita kiel la spaco de (linioj, vicoj, linias, vicas) de n reelaj nombroj. Tia (linio, vico) (agoj, agas, operacias, aktoj, aktas) sur Rⁿ kiel lineara funkcionalo per ordinara matrica multipliko.

Se V konsistas de la spaco de geometria (vektoroj, vektoras) ((sagoj, sagas)) en la ebeno, tiam la eroj de la duala V* povas esti intuicie (prezentita, prezentis) kiel (kolektoj, kolektas) de paraleloj. Tia kolekto de linioj povas esti aplikita al vektoro al cedi nombro en jena vojo: unu (grafoj, grafas) kiom de la linioj la vektoraj krucoj.

Se V estas malfinidimensia, tiam la pli supre konstruado de e^mi ne produkti bazo por V* kaj la dimensio de V* estas pli granda ol (tiu, ke, kiu) de V. Konsideri ekzemple la spaco R^(ω), kies eroj estas tiuj (vicoj, vicas) de reelaj nombroj kiu havi nur finie multaj ne-nulaj elementoj (dimensio estas kalkuleble malfinio). La duala de ĉi tiu spaco estas R^ω, la spaco de ĉiuj (vicoj, vicas) de reelaj nombroj (dimensio estas nekalkulebla malfinio). Tia vico (a_n) estas aplikita al ero (x_n) de R^(ω) al doni la nombro ∑_na_nx_n.

[redaktu] Dulineara (produktoj, produktas, produktaĵoj, produktaĵas, produtoj, produtas) kaj dualoj

Kiel ni (vidita, segilo, segi) pli supre, se V estas finidimensia, tiam V estas izomorfia al V*, sed la izomorfio estas ne natura kaj dependas sur la bazo de V ni startita ekster kun. Fakte, (ĉiu, iu) izomorfio Φ de V al V* difinas unika ne-degeneri dulineara formo sur V per

kaj male ĉiu tia ne-degeneri dulineara (produkto, produto) sur finidimensia spaco donas pligrandiĝo al izomorfio de V al V*.

[redaktu] Injekto enen la duopa-duala

Estas natura homomorfio Ψ de V enen la (dudualo, duobla dualo) V**, difinis per (Ψ(v))(φ) = φ(v) por ĉiuj v en V, φ en V*. Ĉi tiu mapo Ψ estas ĉiam (disĵeta, enjekcia); ĝi estas izomorfio se kaj nur se V estas finidimensia.

[redaktu] Transponi de lineara surĵeto

Se estas lineara surĵeto, ni (majo, povas) difini ĝia transponi (ankaŭ sciata kiel malantaŭentiro, signifis f^*) per

   kie φ estas en W * .

La asigno produktas (disĵeta, enjekcia) homomorfio inter la spaco de linearaj operatoroj de V al W kaj la spaco de linearaj operatoroj de W* al V*; ĉi tiu homomorfio estas izomorfio se kaj nur se W estas finidimensia. Se la lineara surĵeto f estas (prezentita, prezentis) per la matrico A kun respekto al du (bazas, bazoj) de V kaj W, tiam ^tf estas (prezentita, prezentis) per la (transponis, transponaĵita) matrico ^tA kun respekto al la duala (bazas, bazoj) de W* kaj V*. Se g: W → X estas alia lineara surĵeto, ni havi . En la lingvo de teorio de kategorioj, prenante la duala de vektoraj spacoj kaj la transponi de linearaj surĵetoj estas pro tio _contravariant_ _functor_ de la kategorio de vektoraj spacoj super F al sin. Ankaŭ, (transponanta, transponaĵanta) dufoje donas la originala mapo, al esti pli preciza : ψ_W(f(v)) = ^t(^tf)(ψ_V(v))

[redaktu] Kontinua dualo

Kiam kontraktanta kun topologiaj vektoraj spacoj, unu estas tipe nur (interezis, interesita) en la kontinuaj linearaj funkcionaloj de la spaco enen la baza kampo. Ĉi tiu donas pligrandiĝo al la nocio de la kontinua dualo kiu estas lineara subspaco de la algebra dualo. La kontinua duala de vektora spaco V estas signifita V′. Kiam la ĉirkaŭteksto estas klara, la kontinua duala (majo, povas) (justa, ĵus) nomiĝi la duala.

La kontinua duala V′ de normigita vektora spaco V (e.g., Banaĥa spaco aŭ Hilberta spaco) (formoj, formas) normigita vektora spaco. La normo ||φ|| de kontinua lineara funkcionalo sur V estas difinita per

Ĉi tiu (kurbiĝoj, kurbiĝas, turnas, tornas, kurbigas) la kontinua duala enen normigita vektora spaco, ja enen Banaĥa spaca ĝisrevido kiel la suba kampo estas plenumi kiu estas ofte inkluzivita en la difino de la normigita vektora spaco. En alia (vortoj, vortas), la duala de (normohava spaco, normita spaco) super plenumi kampo estas bezone plenumi.

Por (ĉiu, iu) finidimensia normigita vektora spaco aŭ topologia vektora spaco, kiel Eŭklida n-spaco, la kontinua duala kaj la algebra duala koincidi. Ĉi tiu estas tamen malvera por (ĉiu, iu) malfinidimensia (normohava spaco, normita spaco), kiel montrita per la ekzemplo de nekontinua lineara surĵeto.

[redaktu] (Ekzemploj, Ekzemplas)

Estu 1 < p < ∞ esti reela nombro kaj konsideri la Banaĥa spaco L^p de ĉiuj (vicoj, vicas) a = (a_n) por kiu

estas finia. Difini la nombro q per 1/p + 1/q = 1. Tiam la kontinua duala de L^p estas (naive, krude, nature) (identigis, identigita) kun L^q: donita ero φ ∈ (L^p)', la (korespondanta, respektiva) ero de L^q estas la vico (φ(e_n)) kie e_n signifas la vico kies n(th, -a) (termo, membro, flanko, termino) estas 1 kaj ĉiuj aliaj estas nulo. Male, donita ero a = (a_n) ∈ L^q, la (korespondanta, respektiva) kontinua lineara funkcionalo φ sur L^p estas difinita per φ(b) = ∑_n a_n b_n por ĉiuj b = (b_n) ∈ L^p (vidi _Hölder_'s neegalaĵo).

En simila maniero, la kontinua duala de L¹ estas (naive, krude, nature) (identigis, identigita) kun L^∞. Plue, la kontinua _duals_ de la Banaĥaj spacoj c (konsistanta de ĉiuj konverĝa (vicoj, vicas), kun la preciza supra randa normo) kaj c₀ (la (vicoj, vicas) konverĝanta al nulo) estas ambaŭ (naive, krude, nature) (identigis, identigita) kun L¹.

[redaktu] Plui propraĵoj

Se V estas Hilberta spaco, tiam ĝia kontinua duala estas Hilberta spaco kiu estas kontraŭ-izomorfia al V. Ĉi tiu estas la enhavo de la _Riesz_ prezenta teoremo, kaj donas pligrandiĝo al la mamzono-_ket_ skribmaniero uzita per (fizikistoj, fizikistas) en la matematika formulaĵo de kvantummekaniko.

En analogio kun la (kesto, okazo) de la algebra (dudualo, duobla dualo), estas ĉiam (naive, krude, nature) difinis (disĵeta, enjekcia) kontinua lineara operatoro Ψ : V → V '' de V enen ĝia kontinua (dudualo, duobla dualo) V ''. Ĉi tiu mapo estas fakte izometrio, signifo ||Ψ(x)|| = ||x|| por ĉiuj x en V. (Spacoj, Kosmoj, Spacetoj) por kiu la mapo Ψ estas reciproke unuvalora surĵeto estas (nomita, vokis) refleksiva.

La kontinua duala povas kutimi difini nova topologio sur V, (nomita, vokis) la malforta topologio.

Se la duala de V estas apartigebla, tiam (do, tiel) estas la spaco V sin. La konversacii estas ne vera; la spaco l₁ estas apartigebla, sed ĝia duala estas l_∞, kiu estas ne apartigebla.