Vikipedio:Projekto matematiko/Eŭklida domajno
El Vikipedio
 |
Ĉi tiu artikolo montras stilajn aŭ/kaj gramatikajn aŭ/kaj strukturajn problemojn kaj bezonas poluradon por konformi al pli bona nivelo de kvalito. Post plibonigo movu la artikolon al Eŭklida domajno (eble la nomo mem bezonas korekton) Se la ligo estas ruĝa, vi povas movi la artikolon. Se la ligo estas blua, la alia artikolo pri la temo jam ekzistas kaj tiun kaj ĉi tiun artikolon necasas kunigi. |
En abstrakta algebro, Eŭklida domajno (ankaŭ (nomita, vokis) Eŭklida ringo) estas tipo de ringo en kiu la Eŭklida algoritmo povas esti uzita.
Pli detale, Eŭklida domajno estas integrala domajno D sur kiu povas difini funkcio v surĵetaj nenulaj eroj de D al nenegativa (entjeroj, entjeras) (tiu, ke, kiu) (verigas, kontentigas) jena divido-kun-resta propraĵo:
- Se a kaj b estas en D kaj b estas nenulo, tiam estas q kaj r en D tia (tiu, ke, kiu) a = _bq_ + r kaj ĉu r = 0 aŭ v(r) < v(b).
La funkcio v estas (nomita, vokis) _valuation_ aŭ normo aŭ kalibro kaj la ŝlosila punkto jen (tiu, ke, kiu) la resto r havas v-amplekso (pli minuskla, pli malgranda) ol la v-amplekso de la dividanto b. Proksime ĉiu algebro (lernolibroj, lernolibras) kiu (diskuti, diskuto) Eŭklidaj domajnoj inkluzivi jena superflua propraĵo en la difino: por ĉiu nenulo a kaj b en D, v(abo) ≥ v(a). Ĉi tiu propraĵo ne devi esti alprenita ekde ĝi estas ne (bezonata, bezonis) al pruvi la plej baza (faktoj, faktas) pri Eŭklidaj domajnoj (vidi pli sube). Tamen, ĉi tiu neegalaĵo povas ĉiam esti aranĝita al okazi per ŝanĝanta la elekto de v, kiel sekvas: se (D,v) estas Eŭklida domajno kiel donita pli supre tiam la funkcio w difinis sur nenulaj eroj de D per w(a) = plej malgranda valoro de v(_ax_) kiel x (kuras, rulas) super nenulaj eroj de D ankaŭ (konstruas, faras) D Eŭklida domajno laŭ la pli supre difino kaj ĝi (verigas, kontentigas) w(abo) ≥ w(a) por ĉiu nenulo a kaj b en D.
(Ekzemploj, Ekzemplas) de Eŭklidaj domajnoj inkluzivi:
- Z, la ringo de (entjeroj, entjeras). Difini v(n) = |n|, la absoluta valoro de n.
- Z[mi], la ringo de Gaŭsaj entjeroj. Difini v(a+bi) = a2+b2, la normo de la Gaŭsa entjero a+bi.
- K[X], la ringo de (polinomoj, polinomas) super kampo K. Por ĉiu nenula polinomo f, difini v(f) al esti la grado de f.
- KX, la ringo de formala potencoserio super la kampo K. Por ĉiu nenula potencoserio f, difini v(f) kiel la grado de la (plej minuskla, plej malgranda) povo de X okazanta en f.
- (Ĉiu, Iu) kampo. Difini v(x) = 1 por ĉiu nenulo x.
La (ekzemploj, ekzemplas) de polinomo kaj potencoserio (ringoj, ringas, sonoras) en unu (variablo, varianta) estas la kaŭzo (tiu, ke, kiu) la funkcio v en la difino de Eŭklida domajno estas ne alprenita al esti difinita je 0.
Ĉiu Eŭklida domajno estas ĉefideala domajno. Fakte, se Mi estas nenula idealo de Eŭklida domajno D kaj nenulo a en Mi estas elektita al minimumigi v(a) super ĉiuj eroj de Mi, tiam Mi = _aD_. La pruvo de ĉi tiu ne uzi la neegalaĵo v(abo) ≥ v(a).
La noma Eŭklida domajno venas de la fakto (tiu, ke, kiu) la etendita Eŭklida algoritmo povas esti portita ekster en (ĉiu, iu) Eŭklida domajno . La pruvo (tiu, ke, kiu) ĉi tiu algoritmo finas ne uzi la neegalaĵo v(abo) ≥ v(a).
Por ke pruvi ĉiu nenulo _nonunit_ en Eŭklida domajno estas (produkto, produto) de _irreducibles_, la neegalaĵo v(abo) ≥ v(a) estas utila por indukta argumento. Aŭ unu povita anstataŭe alvoki la pruvo de ĉi tiu sama rezulto por (ĉiu, iu) ĉefideala domajno (aŭ _Noetherian_ domajno) kaj iam denove eviti havanta al uzi la neegalaĵo v(abo) ≥ v(a).
