Vikipedio:Projekto matematiko/Faktoreca domajno

El Vikipedio

Ĉi tiu artikolo montras stilajn aŭ/kaj gramatikajn aŭ/kaj strukturajn problemojn kaj bezonas poluradon por konformi al pli bona nivelo de kvalito. Post plibonigo movu la artikolon al
Faktoreca domajno
(eble la nomo mem bezonas korekton) Se la ligo estas ruĝa, vi povas movi la artikolon. Se la ligo estas blua, la alia artikolo pri la temo jam ekzistas kaj tiun kaj ĉi tiun artikolon necasas kunigi.

En matematiko, faktoreca domajno (_UFD_) estas, malglate parolanta, komuta ringo en kiu ĉiu ero povas esti unike skribita kiel (produkto, produto) de primaj eroj, analoga al la fundamenta teoremo de aritmetiko por la (entjeroj, entjeras). _UFDs_ estas iam (nomita, vokis) faktorialo (ringoj, ringas, sonoras), sekva la terminologio de _Bourbaki_.

Formale, faktoreca domajno estas difinita al esti integrala domajno R en kiu ĉiu ne-nula ne-unuo x de R povas esti skribita kiel (produkto, produto) de neredukteblaj eroj de R:

x = p₁ p₂ ... p_n

kaj ĉi tiu prezento estas unika en jeno (senso, senco): se q₁,...,q_m estas neredukteblaj eroj de R tia (tiu, ke, kiu)

x = q₁ q₂ ... q_m,

tiam m = n kaj tie ekzistas reciproke unuvalora surĵeto φ : {1,...,n} <tajpeska tiparo TTF>-></tajpeska tiparo TTF> {1,...,n} tia (tiu, ke, kiu) p_mi estas asociita al q_φ(mi) por mi = 1, ..., n.

La unikeca parto estas iam peza al kontroli, kiu estas kial jena ekvivalenta difino estas utila: faktoreca domajno estas integrala domajno R en kiu ĉiu ne-nula ne-unuo povas esti skribita kiel (produkto, produto) de primaj eroj de R.

[redaktu] (Ekzemploj, Ekzemplas)

Plej (ringoj, ringas, sonoras) familiara de rudimenta matematiko estas _UFD_'s:

la (entjeroj, entjeras). Ĉi tiu estas la fundamenta teoremo de aritmetiko.
(ĉiu, iu) kampo; ĉi tiu inkluzivas la kampoj de racionalaj nombroj, reelaj nombroj, kaj kompleksaj nombroj.
Se R estas _UFD_, tiam (do, tiel) estas R[x], la ringo de (polinomoj, polinomas) kun koeficientoj en R. Speciala okazo de ĉi tiu, pro al la pli supre, estas (tiu, ke, kiu) la polinomringo super (ĉiu, iu) kampo estas _UFD_.

Jen iu pli (ekzemploj, ekzemplas) de _UFDs_:

La Gaŭsaj entjeroj, Z[mi].
La formala potencoseria ringo KX₁,...,X_n super kampo K.
La ringo de funkcioj en n komplekso (variabloj, variablas) holomorfa je la fonto estas _UFD_.

Malgraŭ ĉi tiuj (ekzemploj, ekzemplas), tre kelkaj integralaj domajnoj estas _UFDs_. Jen kontraŭekzemplo:

La ringo $\mathbb Z[\sqrt{-5}]$ de ĉiuj kompleksaj nombroj de la (formo, formi) $a+b\sqrt{-5}$ , kie a kaj b estas (entjeroj, entjeras). Tiam 6 (faktoroj, faktoras) kiel ambaŭ (2)(3) kaj kiel $\left(1+\sqrt{-5}\right)\left(1-\sqrt{-5}\right)$ . Ĉi tiuj vere estas malsama (faktorigoj, faktorigas), ĉar la nur (unuoj, unuas) en ĉi tiu ringo estas 1 kaj −1; tial, neniu de 2, 3, $1+\sqrt{-5}$ , kaj $1-\sqrt{-5}$ estas (asociito, asociano, kompaniano). Ĝi estas ne peza al montri (tiu, ke, kiu) ĉiuj kvar (faktoroj, faktoras) estas nereduktebla kiel bone, kvankam ĉi tiu (majo, povas) ne esti evidenta. Vidi ankaŭ algebra entjero.

Plej faktoraj ringoj de polinomringo estas ne _UFDs_. Jen ekzemplo:

Estu R esti (ĉiu, iu) komuta ringo. Tiam R[X,Y,Z,W]/(_XY_−_ZW_) estas ne _UFD_. Ĝi estas klara (tiu, ke, kiu) X, Y, Z, kaj W estas ĉiuj _irreducibles_, (do, tiel) la ero _XY_−_ZW_ havas du (faktorigoj, faktorigas) enen neredukteblaj eroj.

[redaktu] Propraĵoj

Aldona (ekzemploj, ekzemplas) de _UFDs_ povas esti konstruita kiel sekvas:

Ĉiuj ĉefidealaj domajnoj estas _UFDs_.

Se R estas _UFD_, tiam (do, tiel) estas la polinomringo R[X]. Per indukto, ni povas montri (tiu, ke, kiu) la polinomringoj Z[X₁, ..., X_n] kaj ankaŭ K[X₁, ..., X_n] (K kampo) estas _UFD_'s. ((Ĉiu, Iu) polinomringo kun pli ol unu (variablo, varianta) estas ekzemplo de _UFD_ tio estas ne ĉefideala domajno.)

Iu (konceptoj, konceptas) difinita por (entjeroj, entjeras) povas esti ĝeneraligita al _UFDs_:

En _UFD_'s, ĉiu nereduktebla ero estas primo. (En (ĉiu, iu) integrala domajno, ĉiu prima ero estas nereduktebla, sed la konversacii ne ĉiam teni.)

(Ĉiu, Iu) du (aŭ finie multaj) eroj de _UFD_ havi plej granda komuna divizoro kaj plej malgranda komuna oblo. Ĉi tie, plej granda komuna divizoro de a kaj b estas ero d kiu (akvodislimoj, akvodislimas, divizoras, dividas) ambaŭ a kaj b, kaj tia (tiu, ke, kiu) ĉiu alia komuna dividanto de a kaj b (akvodislimoj, akvodislimas, divizoras, dividas) d. Ĉiuj plej grandaj komunaj divizoroj de a kaj b estas asociita.

[redaktu] Ekvivalentaj kondiĉoj por ringo al esti _UFD_

Sub iu (cirkonstancoj, kondiĉoj), ĝi estas ebla al doni ekvivalentaj kondiĉoj por ringo al esti _UFD_.

A _Noetherian_ integrala domajno estas _UFD_ se kaj nur se ĉiu alto 1 prima idealo estas ĉefa.

An integrala domajno estas _UFD_ se kaj nur se la ascendanta ĉena kondiĉo tenas por ĉefa (idealoj, idealas), kaj (ĉiu, iu) du eroj de A havi plej malgranda komuna oblo.