Vikipedio:Projekto matematiko/Karakteriza subgrupo

El Vikipedio

Ĉi tiu artikolo montras stilajn aŭ/kaj gramatikajn aŭ/kaj strukturajn problemojn kaj bezonas poluradon por konformi al pli bona nivelo de kvalito. Post plibonigo movu la artikolon al Karakteriza subgrupo (eble la nomo mem bezonas korekton) Se la ligo estas ruĝa, vi povas movi la artikolon. Se la ligo estas blua, la alia artikolo pri la temo jam ekzistas kaj tiun kaj ĉi tiun artikolon necasas kunigi.

En matematiko, karakteriza subgrupo de grupo G estas subgrupo H tio estas invarianto sub ĉiu aŭtomorfio de G. Tio estas, se φ : G → G estas grupa aŭtomorfio ((dissurĵeta, bijekcia) homomorfio de la grupo G al sin), tiam por ĉiu x en H ni havi φ(x) ∈ H:

Ĝi sekvas (tiu, ke, kiu)

En (simboloj, simbolas), unu signifas la fakto (tiu, ke, kiu) H estas karakteriza subgrupo de G per

En aparta, karakterizaj subgrupoj estas invarianto sub internaj aŭtomorfioj, (do, tiel) ili estas normalaj subgrupoj. Tamen, la konversacii estas ne vera; ekzemple, konsideri la Klein-a grupo V₄. Ĉiu subgrupo de ĉi tiu grupo estas normala; sed ĉiuj 6 (permutoj, permutas) de la 3 ne-identaj eroj estas (aŭtomorfioj, aŭtomorfias), (do, tiel) la 3 (subgrupoj, subgrupas) de (mendi, ordo) 2 estas ne karakterizo.

Aliflanke, se H estas normala subgrupo de G, kaj estas ne alia (subgrupoj, subgrupas) de la sama (mendi, ordo), tiam H devas esti karakterizo; ekde (aŭtomorfioj, aŭtomorfias) estas (mendi, ordo)-konfitanta.

Rilatanta koncepto estas (tiu, ke, kiu) de (distingis, invarianta, memkonjugita, normala, diferencigis) subgrupo. En ĉi tiu (kesto, okazo) la subgrupo H estas invarianto sub la aplikoj de (surjekcia, surĵeta) (endomorfioj, endomorfias). Por finia grupo ĉi tiu estas la sama, ĉar _surjectivity_ (implicas, enhavas) _injectivity_, sed ne por malfinia grupo: (surjekcia, surĵeta) endomorfio estas ne bezone aŭtomorfio.

Por (eĉ, ebena, para) pli forta limigo, plene karakteriza subgrupo (ankaŭ (nomita, vokis) plene invarianta subgrupo) H de grupo G estas grupa cetera invarianto sub ĉiu endomorfio de G; en alia (vortoj, vortas), se f : G → G estas (ĉiu, iu) homomorfio, tiam f(H) estas subgrupo de H.

Ĉiu plene karakteriza subgrupo estas karakteriza subgrupo; sed karakteriza subgrupo (bezoni, bezono, necesa) ne esti plene karakterizo. La centro de grupo estas ĉiam (distingis, invarianta, memkonjugita, normala, diferencigis) subgrupo, sed ne ĉiam plene karakterizo.

Ekzemplo:

Konsideri la grupo _Dih_₃ × Z₂ (la grupo de (mendi, ordo) 12 kiu estas la direkto (produkto, produto) de la _dihedral_ grupo de (mendi, ordo) 6 kaj cikla grupo de (mendi, ordo) 2).

Skribanta la eroj de _Dih_₃ kiel (permutoj, permutas), kun identa permuto e, ni povas mapo:

• la idento, ((123),0), kaj ((132),0) al la idento
• (e,1), ((123),1), kaj ((132),1) al ((12),0)
• ((12),0), ((13),0), kaj ((23),0) al (e,1)
• ((12),1), ((13),1), kaj ((23),1) al ((12),1)

Ĉi tiu estas endomorfio. Tamen, la centro {idento, (e,1)} estas mapita al {idento, ((12),0)}, (do, tiel) ĝi estas ne plene karakteriza subgrupo.

La derivis subgrupo (aŭ komutila subgrupo) de grupo estas ĉiam plene karakteriza subgrupo, kiel estas la _torsion_ subgrupo de komuta grupo.

La propraĵo de estante karakterizo aŭ plene karakterizo estas transitiva; se H estas (plene) karakteriza subgrupo de K, kaj K estas (plene) karakteriza subgrupo de G, tiam H estas (plene) karakteriza subgrupo de G.

Ankaŭ, dum ĝi estas ne vera (tiu, ke, kiu) ĉiu normala subgrupo de normala subgrupo estas normala, ĝi estas vera (tiu, ke, kiu) ĉiu karakteriza subgrupo de normala subgrupo estas normala. Simile, dum ĝi estas ne vera (tiu, ke, kiu) ĉiu (distingis, invarianta, memkonjugita, normala, diferencigis) subgrupo de (distingis, invarianta, memkonjugita, normala, diferencigis) subgrupo estas (distingita, invarianta, memkonjugita, normala, diferencigis), ĝi estas vera (tiu, ke, kiu) ĉiu plene karakteriza subgrupo de (distingis, invarianta, memkonjugita, normala, diferencigis) subgrupo estas (distingita, invarianta, memkonjugita, normala, diferencigis).

La interrilato _amongst_ ĉi tiuj subgrupaj propraĵoj povas esti esprimita kiel:

subgrupo ← normala subgrupo ← karakteriza subgrupo ← (distingis, invarianta, memkonjugita, normala, diferencigis) subgrupo ← plene karakteriza subgrupo

Vidi ankaŭ: _characteristically_ simpla grupo.