Vikipedio:Projekto matematiko/Kuba ekvacio

El Vikipedio

Ĉi tiu artikolo montras stilajn aŭ/kaj gramatikajn aŭ/kaj strukturajn problemojn kaj bezonas poluradon por konformi al pli bona nivelo de kvalito. Post plibonigo movu la artikolon al
Kuba ekvacio
(eble la nomo mem bezonas korekton) Se la ligo estas ruĝa, vi povas movi la artikolon. Se la ligo estas blua, la alia artikolo pri la temo jam ekzistas kaj tiun kaj ĉi tiun artikolon necasas kunigi.

(Grafikaĵo, Grafeo) de kuba polinomo:y = x3/4 + 3x2/4 − 3x/2 − 2 = (1/4)(x + 4)(x + 1)(x − 2)

(Grafikaĵo, Grafeo) de kuba polinomo:
y = x³/4 + 3x²/4 − 3x/2 − 2
= (1/4)(x + 4)(x + 1)(x − 2)

En matematiko, kuba ekvacio estas polinoma ekvacio en kiu la plej alta okazanta povo de la nekonato estas la tria povo. Ekzemplo estas la ekvacio

2x³ − 4x² + 3x − 4 = 0

kaj la ĝenerala (formo, formi) (majo, povas) esti skribita kiel:

α₃x³ + α₂x² + α₁x + α₀ = 0.

Kutime, la koeficientoj α₀, ..., α₃ estas reelaj nombroj. Tamen, la plejparto de la teorio estas ankaŭ valida se ili aparteni kampo de karakterizo escepte du aŭ tri. Ni estos ĉiam alpreni (tiu, ke, kiu) α₃ estas ne-nulo (alie ĝi estas kvadrata ekvacio).

Solvantaj kubaj ekvaciaj kvantoj al trovanta la (radikoj, radikas) de kuba funkcio.

(Ĉi tiuj artikolaj diskutaj kubaj ekvacioj en unu (variablo, varianta). Por diskuto de kubaj ekvacioj en du (variabloj, variablas), vidi elipsa kurbo.)

[redaktu] Historio

Kubaj ekvacioj estis unua esplorita per _Jaina_ (matematikistoj, matematikistas) en antikva Barato iam inter 400 Antaŭ kristo kaj 200 _CE_.

La Persa matematikisto Omar Kajjam (1048–1123) konstruis solvaĵoj de kubaj ekvacioj per sekcanta koniko kun cirklo. Li montris kiel ĉi tiu geometria solvaĵo povis kutimi preni cifereca (respondo, respondi) per konsultanta trigonometria (baremoj, baremas, tabeloj, tabelas, tabloj, tablas).

En la frua 16-a jarcento, la Itala matematikisto _Scipione_ _del_ _Ferro_ fundamenti maniero por solvanta klaso de kubaj ekvacioj, nome tiuj x³ + _mx_ = n. Fakte, ĉiuj kubaj ekvacioj povas reduktiĝi al ĉi tiu (formo, formi) se ni permesi m kaj n al esti negativa, sed negativaj nombroj estis ne sciata tiam. _Dal_ _Ferro_ konservita lia atinga sekreto ĝis (justa, ĵus) antaŭ lia morto, kiam lia dirita lia studento pri ĝi. _Tartaglia_ aŭdita pri ĉi tiu kaj baldaŭ fundamenti maniera sin. Li (senvualigis, rivelita) lia maniero al Gerolama Cardano, kiu (publikigita, publikigis) ĝi en _Ars_ _Magna_ (1545, Kategorio:1545).

_Cardano_ (rimarkis, avizita) (tiu, ke, kiu) _Tartaglia_'s maniero iam postulis lin al ekstrakti la kvadrata radiko de negativa nombro. Li (eĉ, ebena, para) inkluzivis kalkulo kun ĉi tiuj kompleksaj nombroj en _Ars_ _Magna_, sed li farita ne (reale, reele) kompreni ĝi. _Rafael_ _Bombelli_ studita ĉi tiu (eldoni, eligo) detale kaj estas pro tio ofte (konsiderita, konsideris) kiel la _discoverer_ de kompleksaj nombroj.

[redaktu] La naturo de la (radikoj, radikas)

Ĉiu kuba ekvacio kun (reala, reela) koeficientoj havas almenaŭ unu solvaĵo x inter la reelaj nombroj; ĉi tiu estas konsekvenco de la intera valora teoremo. Ni povas (distingi, diferencigi) kelkaj ebla (okazoj, skatoloj, kestoj, kestas, okazas) uzanta la diskriminanto,

$\Delta = 4\alpha_1^3\alpha_3 - \alpha_1^2\alpha_2^2 + 4\alpha_0\alpha_2^3 - 18\alpha_0\alpha_1\alpha_2\alpha_3 + 27\alpha_0^2\alpha_3^2.$

Jeno (okazoj, skatoloj, kestoj, kestas, okazas) (bezoni, bezono, necesa) al esti konsiderata.

Se Δ < 0, tiam la ekvacio havas tri klara (reala, reela) (radikoj, radikas).
Se Δ > 0, tiam la ekvacio havas unu (reala, reela) radiko kaj paro de kompleksa konjugito (radikoj, radikas).
Se Δ = 0, tiam (almenaŭ) du (radikoj, radikas) koincidi. Al decidi kiom klara (radikoj, radikas) estas, ni difini

$\Delta_2 = 2\alpha_2^3 - 9\alpha_1\alpha_2\alpha_3 + 27\alpha_0\alpha_3^2,$

kaj konsideri du plui (okazoj, skatoloj, kestoj, kestas, okazas).

Se Δ₂ = 0, tiam ĉiuj tri (radikoj, radikas) koincidi kaj ni havi triopo (reala, reela) radiko.
Alie, la ekvacio havas duopa (reala, reela) radiko kaj sola (reala, reela) radiko.

La nombro Δ₂ estas la rezulta de la kuba kaj ĝia (sekundo, dua) derivaĵo.

Vidi ankaŭ: obleco de radiko de polinomo

[redaktu] _Cardano_'s maniero

La solvaĵoj povas troviĝi kun jena maniero pro al _Scipione_ _dal_ _Ferro_ kaj _Tartaglia_, (publikigita, publikigis) per Gerolama Cardano en (1545, Kategorio:1545).

Ni unua dividi la donita ekvacio per α₃ al alveni je ekvacio de la (formo, formi)

$x^3 + ax^2 + bx +c = 0. \qquad (1)$

La anstataŭo x = t - a/3 eliminas la kvadrata (termo, membro, flanko, termino); fakte, ni preni la ekvacio

$t^3 + pt + q = 0, \quad\mbox{where } p = b - \frac{a^2}3 \quad\mbox{and}\quad q = c + \frac{2a^3-9ab}{27}. \qquad (2)$

Ĉi tiu estas (nomita, vokis) la deprimis kuba.

Supozi (tiu, ke, kiu) ni povas trovi nombroj u kaj v tia (tiu, ke, kiu)

$u^3-v^3 = q \quad\mbox{and}\quad uv = \frac{p}{3}. \qquad (3)$

Solvaĵo al nia ekvacio estas tiam donita per

$t = v - u, \,$

kiel povas esti (kontrolita, kontrolis) per rekte anstataŭiganta ĉi tiu valoro por t en (2), sekve de tio de la tria (mendi, ordo) duterma idento

$(v-u)^3+3uv(v-u)+(u^3-v^3)=0 \ .$

La sistemo (3) povas esti solvita per solvanta la (sekundo, dua) ekvacio por v, kiu donas

$v = \frac{p}{3u}.$

Anstataŭiganta ĉi tiu en la unua ekvacio en (3) rendimento

$u^3 - \frac{p^3}{27u^3} = q.$

Ĉi tiu povas vidiĝi kiel kvadrata ekvacio por u³. Se ni solvi ĉi tiu ekvacio, ni trovi (tiu, ke, kiu)

$u=\sqrt[3]{{q\over 2}\pm \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}}}. \qquad (4)$

Ekde t = v − u kaj t = x + a/3, ni trovi

$x=\frac{p}{3u}-u-{a\over 3}.$

(Tononomo, Noto, Noti) (tiu, ke, kiu) estas ses eblecoj en komputanta u kun (4), ekde estas du solvaĵoj al la kvadrata radiko ( $\pm$ ), kaj tri kompleksaj solvaĵoj al la kuba radiko (la ĉefa radiko kaj la ĉefa radiko (obligis, multiplikita) per $-1/2 \pm i\sqrt{3}/2$ ). Tamen, kiu signo de la kvadrata radiko estas elektita ne afekti la fina rezultanta x, kvankam (zorgi, zorgo) devas esti preztrompita du specialaj okazoj al eviti dividoj per nulo. Unua, se p = 0, tiam unu devus elekti la signo de la kvadrata radiko (tiu, ke, kiu) donas nenula valoro por u, kio estas $u = \sqrt[3]{q}$ . (Sekundo, Dua), se p = q = 0, tiam ni havi la triopo (reala, reela) radiko x = −a/3.

[redaktu] Lagrange-a _resolvents_

La simetria grupo S₃ de (mendi, ordo) tri havas la cikla grupo de (mendi, ordo) tri kiel normala subgrupo, kiu (pensigas, sugestas) farante uzi de la diskreta fourier-a konverto de la (radikoj, radikas), ideo pro al Lagrange-a. Supozi (tiu, ke, kiu) r₀, r₁ kaj r₂ estas la (radikoj, radikas) de ekvacio (1), kaj difini $\zeta = (-1+i\sqrt{3})/2$ , tiel ke ζ estas primitiva tria radiko de unu. Ni nun aro

$s_0 = r_0 + r_1 + r_2,\,$

$s_1 = r_0 + \zeta r_1 + \zeta^2 r_2,\,$

$s_2 = r_0 + \zeta^2 r_1 + \zeta r_2.\,$

La (radikoj, radikas) (majo, povas) tiam esti reakirita de la tri s_mi per inversiganta la pli supre lineara transformo, donanta

$r_0 = (s_0 + s_1 + s_2)/3,\,$

$r_1 = (s_0 + \zeta^2 s_1 + \zeta s_2)/3,\,$

$r_2 = (s_0 + \zeta s_1 + \zeta^2 s_2)/3.\,$

Ni jam scii la valoro s₀ = −a, (do, tiel) ni nur (bezoni, bezono, necesa) al (strebi, kandidati) (valoroj, valoras) por la alia du. Tamen, se ni preni la (kuboj, kubas), cikla permuto lasas la (kuboj, kubas) invarianto, kaj transpono de du (radikoj, radikas) interŝanĝas s₁³ kaj s₂³, de ĉi tie la polinomo

$(z-s_1^3)(z-s_2^3) \qquad (5)$

estas invarianto sub (permutoj, permutas) de la (radikoj, radikas), kaj (do, tiel) havas koeficientoj esprimebla en (termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas) de (1). Uzantaj kalkuloj engaĝante simetriaj funkcioj aŭ alternative kampaj vastigaĵoj, ni povas kalkuli (5) al esti

${z}^{2}+ \left( -9\,ba+2\,{a}^{3}+27\,c \right) z+ \left( {a}^{2}-3\,b\right)^{3}.$

La (radikoj, radikas) de ĉi tiu kvadrata ekvacio estas

$\frac92\,ab-{a}^{3}- \frac{27}{2}\,c \pm \frac32\,\sqrt{3\Delta},$

kie Δ estas la diskriminanto difinis pli supre. Prenante kubaj radikoj doni ni s₁ kaj s₂, de kiu ni povas reakiri la (radikoj, radikas) r_mi de (1).

[redaktu] Faktorigo

Se r estas (ĉiu, iu) radiko de (1), tiam ni (majo, povas) faktoro uzanta r al ricevi

(x - r)(x 2 + (a + r) x + b + a r + r 2) = x 3 + a x 2 + b x + c .

De ĉi tie se ni scii unu radiko ni povas trovi la alia du per solvanta kvadrata ekvacio, donanta

$\frac12 \left(-a-r \pm \sqrt{-3r^2-2ar+a^2-4b}\right)$

por la alia du (radikoj, radikas). Se ni estas trovanta la (radikoj, radikas) de polinomo kun (reala, reela) koeficientoj kaj unu (reala, reela) radiko, ni povas trovi la (reala, reela) radiko pure en (termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas) de la (reala, reela) (iom ol komplekso) kuba radika funkcio, aŭ alternative komencita ni povas trovi la radiko per ekstraktantaj kubaj radikoj nur de pozitiva (kvantoj, kvantas). La kompleksa konjugito (radikoj, radikas) povas tiam troviĝi kiel pli supre.

[redaktu] Ĉebiŝev-aj radikaloj

La kuba radika funkcio estas en iu (respektoj, respektas) ne bone-kondutita funkcio, aŭ unu oportuna por la (celoj, celas) de trovanta la (radikoj, radikas) de kuba ekvacio. Dum kubaj radikoj estas konata kaj tradicia, ĝi estas ebla al uzi aliaj algebraj funkcioj al difini la (radikoj, radikas), kaj eviti iu de la (problemoj, problemas) de kubaj radikoj. La kuba radika funkcio havas branĉa specialaĵo je nulo, sekve de kiu la (reala, reela) kuba radika funkcio ne etendi bonguste al kompleksa kuba radika funkcio. Ankaŭ, kiam uzantaj kubaj radikoj al trovi la (radikoj, radikas) de polinomo kun tri (reala, reela) (radikoj, radikas) ni devas radikigas de kompleksaj nombroj, kiu prezentas kompleksaj nombroj enen situacio kiu ne, fakte, postuli ilin.

Ni povas preni ĉirkaŭ ĉi tiuj (problemoj, problemas) per uzanta Ĉebiŝev-aj kubaj radikoj anstataŭ ordinaraj kubaj radikoj. La polinomo $C 3 = x 3 - 3 x$ estas la tria Ĉebiŝev-a polinomo ununormigita al ricevi _monic_ polinomo. La Ĉebiŝev-a kuba radiko estas tiam difinis kiel (konvene elektita) radiko (dependanta sur t) de la polinoma ekvacio

$x^3 - 3x = t \ .$

La polinomo $C 3 (x)$ (verigas, kontentigas) la tria (mendi, ordo) (aldono, adicio) rilatoj

$\, 2\,\cos(3x)= C_3(2 \cos x)$

kaj (kiel $\, 2\cos(ix)=2\cosh(x)$ )

$2\,\cosh(3x)=C_3(2\cosh x) \ .$

Se t estas (prezentita, prezentis) kiel $t = 2cos y$ , tiam la polinoma ekvacio $x 3 - 3 x = t$ povas nun esti konvertita enen

$t=2\,\cos y=C_3(2\cos (y/3)) \ .$

La funkcio $C_{1\over3}(t)$ estas tiam difinis kiel (branĉo de) la algebra funkcio de la tria (mendi, ordo) kiu (konvertas, konvertoj) $2cos(x)$ enen $2cos(x / 3)$ . Ĝi estas donita (inversiganta la rilato $t = 2cos(x)$ al $x = arccos(t / 2)$ ) kiel

$C_{1\over3}(t) = 2 \,\operatorname{cos}\left(\operatorname{arccos}\left({t\over2}\right)/3\right) ,$

se t (mensogoj, mensogas, kuŝas) en la (reala, reela) intervalo [−2, 2]. Se t (mensogoj, mensogas, kuŝas) en la intervalo $[2,\infty]$ , tiam la Ĉebiŝev-a radiko estas donita kiel

$C_{1\over3}(t) = 2 \,\operatorname{cosh}\left(\operatorname{arccosh}\left({t\over2}\right)/3\right) \ .$

La branĉo estas unike difinita per la valoro je $t = 0$ , kiu estas $2\, \operatorname{cos}\left(\operatorname{arccos}(0)/3\right)=2\, \operatorname{cos}(\pi/6)=\sqrt{3}$ , (korespondanta, respektiva) al la pozitiva solvaĵo de $x 3 - 3 x = x (x 2 - 3) = 0$ .

Ĉi tiu proceduro estas precize analoga al la difino de la kuba radiko en (termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas) de (logaritmoj, logaritmas) kaj (eksponentoj, eksponentas, eksponentaj funkcioj), kun _arccosh_(x/2) _resp_. _arccos_(x/2) en la loko de _ln_(x), kaj _2cosh_(x) _resp_. _2cos_(x) en la loko de (eksp, exp)(x). La Ĉebiŝev-a kuba radiko povas esti konstruita kiel analitika funkcio sur la tranĉi ebeno $\mathbb{C}\setminus [-\infty,-2]$ kaj estas la unika branĉo de la algebra funkcio $C_{1\over3}(t)$ kun ĉi tiu propraĵo. En la domajno $D_1 := \{z \in \mathbb{C}\, | \, \Re{z}>2\}$ ĝi povas esti difinita kiel

$C_{1\over3}(t)= 2\,\operatorname{cosh}\left(\operatorname{arccosh}\left({t\over2}\right)/3\right)$

kie $\operatorname{arccosh}(z/2)=\ln{{z+\sqrt{z^2-4}}\over 2},$ uzanta la branĉo de la logaritmo kiu estas (reala, reela) sur la pozitiva reela linio kaj la branĉo de la kvadrata radiko kiu estas pozitiva sur la (reala, reela) akso. Sur la domajno $D_2 :=\mathbb{C}\setminus{\{[-\infty,-2] \cup [2,\infty]\}}$ ĝi povas esti difinita kiel

$C_{1\over3}(t)= 2 \,\operatorname{cos}\left(\operatorname{arccos}\left({t\over2}\right)/3\right)$ ,

kie $\operatorname{arccos}(z/2)={\pi \over 2}+i\ln{{iz+\sqrt{4-z^2}}\over 2} \ .$ Ambaŭ D₁ kaj D₂ estas simple-koneksaj domajnoj en $\mathbb{C}$ sur kiu la funkcioj $\operatorname{arccos}(z)$ kaj $\operatorname{arccosh}(z)$ estas bone-difinitaj analitikaj funkcioj (ĉar la kvadrataj radikoj $\sqrt{\pm (z^2-4)}$ ekzisti kiel analitikaj funkcioj sur D₁ _resp_. D₂ kaj la argumentaj funkcioj ${z+\sqrt{z^2-4}}\over 2$ kaj ${iz+\sqrt{4-z^2}}\over 2$ de la logaritmo ne nuliĝi sur ĉiu domajno). Ambaŭ (parte parte kovranta) (difinoj, difinas) de la Ĉebiŝev-a kuba radiko sur la domajnoj D₁ kaj D₂ povas esti arigi al difini la Ĉebiŝev-a kuba radiko unusence kiel analitika funkcio sur la pli granda domajno $D= \mathbb{C}\setminus [-\infty,-2]$ . Fakte, se unu (manieroj, proksimiĝoj) la kritika valoro $t = 2$ de ĉu la (maldekstre, restis) aŭ la (ĝusta, dekstra, rajto) sur la (reala, reela) akso la valoro de ĉiu prezentanto estos flegi 2. Ĉar $x = 2$ estas simpla radiko de la polinomo $x 3 - 3 x - 2$ la branĉo de la Ĉebiŝev-a radiko (difinis kiel la algebra funkcio F(t)=2+G(t) (veriganta, kontentiganta)

$\, F(t)^3-3F(t)-2=9G(t)+6G(t)^2+G(t)^3=0$

kaj $F (2) = 2$ ekzistas loke kiel an analitika funkcio en (sufiĉe malgranda) najbaraĵo U de $t = 2$ (laŭ la (komplekso-analitiko ) inversa funkcia teoremo) kaj prenas (reala, reela) (valoroj, valoras) se $t=2\pm \epsilon, \,\epsilon >0$ . Tiam ĝi devas koincidi (sur la komunaĵo $U \cap D_1$ kaj $U \cap D_2$ ) kun ĉiu de la du (delegatoj, prezentantoj, prezentantas) (en (termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas) de _arccos_ z _resp_. _arccosh_ z) konstruis pli supre. Pro tio la Ĉebiŝev-a kuba radiko estas fakte analitika funkcio entute de la domajna Don/Doña

Alternativa konstruado de la Ĉebiŝev-a kuba radiko en (termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas) de supergeometriaj funkcioj estas skizita en la venonta _subsection_.

La Ĉebiŝev-a kuba radiko kiel supergeometria funkcio

La esprimo

$2 \,\operatorname{cos}\left(\operatorname{arccos}\left({t\over2}\right)/3\right)=2\,\operatorname{cos}\left({\pi\over 6}-\operatorname{arcsin}\left({t\over2}\right)/3\right)$

povas esti konvertita (uzanta la diferenco-al-(produkto, produto) trigonometria idento por la kosinuso) enen la prezento

$\sqrt{3} \,\operatorname{cos}\left(\operatorname{arcsin}\left({t\over2}\right)/3\right)+ \operatorname{sin }\left(\operatorname{arcsin}\left({t\over2}\right)/3\right) \ .$

Por ĝenerala kompleksa parametro $\lambda \ne 0$ la funkcioj $2\,\operatorname{cos}\,(\lambda\, \operatorname{arcsin}(x/2))$ kaj $2\,\operatorname{sin}\,(\lambda \,\operatorname{arcsin}(x/2))$ estas du lineare sendependaj solvaĵoj de la (sekundo, dua)-(mendi, ordo) lineara diferenciala ekvacio

$\, (4-x^2)y''-xy'+\lambda^2 y=0$

kiu povas esti ricevita per (diferencialanta, derivanta) la (funkcionalo, funkcia) rilatoj $\, f(2\sin x)=2\sin(\lambda x)$ _resp_. $\, f(2\sin x)=2\cos(\lambda x)$ dufoje kun respekto al x. La diferenciala ekvacio

$\, (4-x^2)y''-xy'+\lambda^2 y=0$

estas ekvivalento (sub la afina anstataŭo $x \mapsto (2-4x)$ ) al la supergeometria diferenciala ekvacio

$x(1-x) \,y''+{{1-2x}\over 2}\,y'+\lambda^2 y=0$

kun (parametroj, parametras) $c={1\over 2},\, a=\lambda,\, b=-\lambda$ . Laŭ la ĝenerala teorio de la supergeometria ekvacia ĝi havas (se ne c estas nulo aŭ negativa entjero) unike difinis solvaĵo g kiu estas analitiko en x=0 kaj (verigas, kontentigas) $\,g(0)=1$ . Ĝi estas donita per la supergeometria serio (vidi supergeometria funkcio)

$\,F(a,b,c;z):=\,_2F_1 (a,b;c;z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(a)_n(b)_n}{(c)_n} \, \frac {z^n} {n!} \ .$

Konvertanta dorso al la originala diferenciala ekvacio unu trovas solvaĵo $g(x)=F(\lambda,-\lambda,{1\over2} ;{{2-x}\over 4})$ de la diferenciala ekvacio

$\, (4-x^2)y''-xy'+\lambda^2 y=0$

kiu estas analitiko je $x = 2$ (unika supren al skalaro multaj). La prezento

$C_{{1\over 3}}(t)= \sqrt{3} \,\operatorname{cos}\left(\operatorname{arcsin}\left({t\over2}\right)/3\right)+ \operatorname{sin}\left(\operatorname{arcsin}\left({t\over2}\right)/3\right)$

ricevita pli supre montras (tiu, ke, kiu) la Ĉebiŝev-a kuba radiko estas solvaĵo de la diferenciala ekvacio

$\, (4-x^2)y''-xy'+\lambda^2 y=0$

por $\lambda={1\over 3}$ kiu estas analitiko je $x = 2$ . Ĝi devas esti proporcie kun la argumento-(skipis, ŝovita) supergeometria serio kaj tial

$C_{{1\over 3}}(t)=2F({1\over 3},-{1\over 3},{1\over2} ;{{2-t}\over 4}) = \sum_{n=0}^\infty \frac{2}{1-3n} {3n \choose n}\left(\frac{2-t}{27}\right)^n\ ,$

kie la lasta serio konverĝas se $| t - 2 | < 4$ . Ĉiuj tri (radikoj, radikas) $r 1, r 2, r 3$ de la ekvacio $x 3 - 3 x - t = 0$ estas linearaj kombinaĵoj de la du funkcioj $f_1(t)=2\operatorname{sin}\,\left({1\over 3} \operatorname{arcsin}{t\over2}\right)$ kaj $f_2(t)=2\operatorname{cos}\,\left({1\over 3} \operatorname{arcsin}{t\over2}\right) \ .$ Per konstruado

$r_1=C_{{1\over 3}}(t)=\sqrt{3} \,\operatorname{cos}\left(\operatorname{arcsin}\left({t\over2}\right)/3\right)+ \operatorname{sin}\,\left(\operatorname{arcsin}\left({t\over2}\right)/3\right)\, ,$

la alia du (radikoj, radikas) estas

$r_2=-C_{{1\over 3}}(-t)=-\sqrt{3} \,\operatorname{cos}\left(\operatorname{arcsin}\left({t\over2}\right)/3\right)+ \operatorname{sin}\,\left(\operatorname{arcsin}\left({t\over2}\right)/3\right)$

kaj

$r_3=-r_1-r_2= -2 \,\operatorname{sin}\left(\operatorname{arcsin}\left({t\over2}\right)/3\right) \ .$

Unu derivas la plui rilatoj

$r_1={\sqrt{3}\over 2}\sqrt{4-r_3^2}-{r_3\over 2} , \qquad r_2=-{\sqrt{3}\over 2} \sqrt{4-r_3^2}- {r_3\over 2}$

kiu povas esti kontrolita sendepende per kalkulanta la alia du (radikoj, radikas) ( ĉi tie $r 1, r 2$ ) donita unu radiko (ĉi tie $r 3$ ) per la rilato

$t=x^3-3x=y^3-3y \Longrightarrow (y-x)(y^2+xy+x^2-3)=0,$

solvanta la kvadrata ekvacio $\, y^2+xy+(x^2-3)=0$ por y, donita x.

Solvantaj ĝeneralaj kubaj ekvaciaj uzantaj Ĉebiŝev-aj kubaj radikoj

Se ni havi kuba ekvacio kiu estas jam en deprimis (formo, formi), ni (majo, povas) skribi ĝi kiel $\,x^3 - 3px - q = 0$ . Anstataŭiganta $x = \sqrt{p} z$ ni ricevi $z^3 - 3z - p^{-\frac{3}{2}}q = 0$ aŭ ekvivalente

$z^3 - 3z = p^{-\frac{3}{2}}q \ .$

De ĉi tiu ni ricevi solvaĵoj al nia originala ekvacio en (termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas) de la Ĉebiŝev-a kuba radiko kiel

$r_1 = \sqrt{p}\,C_{1\over3}(p^{-\frac{3}{2}}q),\,$

$r_2 = -\sqrt{p}\,C_{1\over3}(-p^{-\frac{3}{2}}q),\,$

$r_3 = -r_1 - r_2 \ .$

Se nun ni starti de ĝenerala ekvacio

$x^3 + ax^2 + bx +c = 0 \qquad (1)$

kaj redukti ĝi al la deprimis (formo, formi) sub la anstataŭo x = t − a/3, ni havi $\, p = (a^2-3b)/9$ kaj $\, q = -(2a^3-9ab+27c)/27$ , kondukante al

$t_{a;b;c} = p^{-\frac{3}{2}}q = -\frac{2a^3-9ab+27c}{(a^2-3b)^{3/2}}.$

Ĉi tiu donas ni la solvaĵoj al (1) kiel

$r_1 = \sqrt{p}\,C_{1\over3}(t_{a;b;c})-{a\over 3} ,\,$

$r_2 = -\sqrt{p}\,C_{1\over3}(-t_{a;b;c})-{a\over 3},\,$

$r_3 = -r_1 - r_2 - {a\over 3}\ .$

La (kesto, okazo) de (reala, reela) ekvacio

Supozi la koeficientoj de (1) estas (reala, reela). Se s estas la kvanto q/r de la sekcio sur (reala, reela) (radikoj, radikas), tiam s = t²; de ĉi tie 0 < s < 4 estas ekvivalento al −2 < t < 2, kaj en ĉi tiu (kesto, okazo) ni havi polinomo kun tri klara (reala, reela) (radikoj, radikas), esprimita en (termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas) de (reala, reela) funkcio de (reala, reela) (variablo, varianta), sufiĉe malverŝajne la situacio kiam uzantaj kubaj radikoj. Se s > 4 tiam ĉu t > 2 kaj $C_{1\over3}(t)$ estas la (plando, plandumo) (reala, reela) radiko, aŭ t < −2 kaj $-C_{1\over3}(-t)$ estas la (plando, plandumo) (reala, reela) radiko. Se s < 0 tiam la malpligrandiĝo al Ĉebiŝev-a polinomo (formo, formi) havas donita t kiu estas pure imaginara nombro; en ĉi tiu (kesto, okazo) $iC_{1\over3}(-it)-iC_{1\over3}(it)$ estas la (plando, plandumo) (reala, reela) radiko. Ni estas nun (komputanta, pritaksanta) (reala, reela) radiko per funkcio de pure imaginara argumento; tamen ni povas eviti ĉi tiu per uzanta la funkcio

$S_{1\over3}(t) = iC_{1\over3}(-it)-iC_{1\over3}(it) = 2 \operatorname{sinh}\left(\operatorname{arcsinh}\left({t\over2}\right)/3\right),\,$

kiu estas (reala, reela) funkcio de (reala, reela) (variablo, varianta) sen (kuriozecoj, specialaĵoj, specialaĵas) laŭ la (reala, reela) akso. Se polinomo povas reduktiĝi al la (formo, formi) $x 3 + 3 x - t$ kun (reala, reela) t, ĉi tiu estas oportuna vojo al solvi por ĝia (radikoj, radikas).