Vikipedio:Projekto matematiko/Kvadrata ekvacio

El Vikipedio

Ĉi tiu artikolo montras stilajn aŭ/kaj gramatikajn aŭ/kaj strukturajn problemojn kaj bezonas poluradon por konformi al pli bona nivelo de kvalito. Post plibonigo movu la artikolon al
Kvadrata ekvacio
(eble la nomo mem bezonas korekton) Se la ligo estas ruĝa, vi povas movi la artikolon. Se la ligo estas blua, la alia artikolo pri la temo jam ekzistas kaj tiun kaj ĉi tiun artikolon necasas kunigi.

(Grafikaĵo, Grafeo) de kvadrata funkcio: y = x2−x−2 = (x+1)(x−2)La x-(koordinatoj, koordinatas) de la punktoj kie la (grafikaĵo, grafeo) krucoj la abscisa akso, x = −1 kaj x = 2, estas la (radikoj, radikas) de la kvadrata ekvacio: x2−x−2 = 0

(Grafikaĵo, Grafeo) de kvadrata funkcio:
y = x²−x−2 = (x+1)(x−2)

La x-(koordinatoj, koordinatas) de la punktoj kie la (grafikaĵo, grafeo) krucoj la abscisa akso, x = −1 kaj x = 2, estas la (radikoj, radikas) de la kvadrata ekvacio: x²−x−2 = 0

En matematiko, kvadrata ekvacio estas polinoma ekvacio de la (sekundo, dua) grado. La ĝeneraligis (formo, formi) estas

$ax^2+bx+c=0\mbox{ , where }a\ne 0. \,$

La (leteroj, literoj, leteras, literas) $a\,\!$ , $b\,\!$ kaj $c\,\!$ estas (nomita, vokis) koeficientoj: $a\,\!$ estas la koeficiento de $x^2\,\!$ , $b\,\!$ estas la koeficiento de $x\,\!$ , kaj $c\,\!$ estas la konstanta koeficiento, ankaŭ (nomita, vokis) la libera (termo, membro, flanko, termino).

Kvadrata ekvacio kun (reala, reela) aŭ kompleksaj koeficientoj havas du komplekso (radikoj, radikas) (kio estas, solvaĵoj por $x\,\!$ kiam $y = ax^2+bx+c\mbox{ and }y = 0\,\!$ ) kutime signifita kiel $x_1\,\!$ kaj $x_2\,\!$ , kvankam la du (radikoj, radikas) (majo, povas) esti egala. Ĉi tiuj (radikoj, radikas) povas esti komputita uzanta la kvadrata formulo.

[redaktu] Kvadrata formulo

La kvadrata formulo eksplicite donas la solvaĵoj de kvadrata ekvacio en (termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas) de la koeficientoj a, b, kaj c, kiu ni kelktempe alpreni al esti (reala, reela) (sed vidi pli sube por (ĝeneraligoj, ĝeneraligas)), kaj kun a estante ne-nulo. Ĉi tiuj solvaĵoj estas ankaŭ (nomita, vokis) la (radikoj, radikas) de la ekvacio. La formulo legas

$x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac\ }}{2a}$

{2(8)}</math> Ĉi tiu donas la solvaĵoj $x_1 = \frac{3}{2}$ kaj $x_2 = -\frac{11}{4}$ .}} La (termo, membro, flanko, termino) $\Delta = b^2 - 4ac\,\!$ estas (nomita, vokis) la diskriminanto de la kvadrata ekvacio, ĉar ĝi diskriminacias inter tri (kvalitece, kvaltece) malsama (okazoj, skatoloj, kestoj, kestas, okazas):

Se la diskriminanto estas nulo, estas ripetita solvaĵo x, kaj ĉi tiu solvaĵo estas (reala, reela). Geometrie, ĉi tiu (meznombroj, meznombras, signifas) (tiu, ke, kiu) la parabolo priskribis per la kvadrataj ekvaciaj ektuŝmanieroj la abscisa akso en sola punkto.
Se la diskriminanto estas pozitiva, estas du malsamaj solvaĵoj x, ambaŭ kies estas (reala, reela). Geometrie, ĉi tiu (meznombroj, meznombras, signifas) (tiu, ke, kiu) la parabolo sekcas la abscisa akso en du punktoj. Plue, se la diskriminanto estas perfekta kvadrato, la (radikoj, radikas) estas racionalaj nombroj—en alia (okazoj, skatoloj, kestoj, kestas, okazas) ili (majo, povas) esti kvadrata _irrationals_.
Se la diskriminanto estas negativa, estas du malsamaj solvaĵoj x, ambaŭ kies estas kompleksaj nombroj. La du solvaĵoj estas kompleksaj konjugitoj de unu la alian. En ĉi tiu (kesto, okazo), la parabolo ne sekci la abscisa akso ajn.

Kiam komputanta (radikoj, radikas) ciferece, la kutima (formo, formi) de la kvadrata formulo estas ne idealo, pro al ebla malprofito de signifeco. Alternativo (formo, formi) estas donita per

$x_{1,2}=\frac{2c}{-b \mp \sqrt {b^2-4ac\ }}$

Ĉi tiu (formo, formi) (majo, povas) esti utila en cifereca analitiko kiam alta precizeco de la (radikoj, radikas) estas postulita, aparte kiam a estas granda kaj la (radikoj, radikas) estas tre fermi kune. Tamen, ĉi tiu (formo, formi) (trudas, altrudas) la aldona bezono (tiu, ke, kiu) c ankaŭ esti nenulo. Se c estis nulo, la alternativa formulo estos ĝuste doni nulo kiel radiko, sed estos manki al doni la ne-nula radiko ĉar ĝi precizigas divido de nulo. (Tononomo, Noto, Noti) ankaŭ (tiu, ke, kiu) la signoj (distinganta, diferenciganta) la du (radikoj, radikas) estas dorsflankita.

[redaktu] Derivaĵo

La kvadrata formulo estas derivita per la maniero de plenigo de kvadrato.

$ax^2+bx+c=0 \,\!$

Dividanta nia kvadrata ekvacio per $a\,\!$ (kiu estas permesita ĉar $a\,\!$ estas ne-nulo), ni havi

$x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a}=0$

kiu estas ekvivalento al

$x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}.$

La ekvacio estas nun en (formo, formi) en kiu ni povas oportune plenumi la kvadrato. Al "plenumi la kvadrato" estas al adicii konstanto (kio estas, en ĉi tiu (kesto, okazo), kvanto (tiu, ke, kiu) ne dependi sur $x\,\!$ ) al la esprimo maldekstren de " $=\,\!$ ", (tiu, ke, kiu) estos fari ĝia perfekta kvadrata tritermo de la (formo, formi) $x^2+2xy+y^2\,\!$ . Ekde $2xy\,\!$ en ĉi tiu (kesto, okazo) estas $\frac{b}{a} x$ , ni devas havi $y = \frac{b}{2a}$ , (do, tiel) ni adicii la kvadrato de $\frac{b}{2a}$ ambaŭflanken, prenanta

$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2}=-\frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2}.$

La maldekstra flanko estas nun perfekta kvadrato; ĝi estas la kvadrato de $\left(x + \frac{b}{2a}\right)$ . La (ĝusta, dekstra, rajto) flanko povas esti skribita kiel sola frakcio; la komuna denominatoro estas $4a^2\,\!$ . Ni preni

$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}.$

Prenante kvadrataj radikoj de ambaŭ flanka rendimento

$\left|x+\frac{b}{2a}\right| = \frac{\sqrt{b^2-4ac\ }}{|2a|}\Leftrightarrow$ $x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a}$

Subtrahanta $\frac{b}{2a}$ de ambaŭ flankoj, ni preni

$x=-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a}.$

[redaktu] Alternativa esprimo

La alternativa esprimo por la kvadrataj formulaj rezultoj de multiplikante la supro kaj funda esprimo pli supre kun la konjugita de la numeratoro:

$x_{1,2}= \frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac\ }}{2a} = \frac{\left ( -b \pm \sqrt {b^2-4ac\ } \right ) \left ( -b \mp \sqrt {b^2-4ac\ } \right )}{2a \left ( -b \mp \sqrt {b^2-4ac\ } \right )} = \frac{4ac}{2a \left ( -b \mp \sqrt {b^2-4ac} \right ) }$

$x_{1,2}=\frac{2c}{-b \pm \sqrt {b^2-4ac\ }}$

[redaktu] (Ĝeneraligoj, Ĝeneraligas)

La formulo kaj ĝia pruvo resti (ĝusta, ĝustigi, korekti) se la koeficientoj $a\,\!$ , $b\,\!$ kaj $c\,\!$ estas kompleksaj nombroj, aŭ pli ĝenerale (membroj, membras) de (ĉiu, iu) kampo kies karakterizo estas ne $2\,\!$ . (En kampo de karakterizo $2\,\!$ , la ero $2a\,\!$ estas nulo kaj ĝi estas neebla al dividi per ĝi.)

La simbolo

$\pm \sqrt {b^2-4ac }$

en la formulo devus esti komprenita kiel "ĉu de la du eroj kies kvadrato estas $b^2 - 4ac\,\!$ , se tiaj eroj ekzisti". En iuj kampoj, iuj eroj havi ne kvadrataj radikoj kaj iu havi du; nur nulo havas nur unu kvadrata radiko, escepti en kampoj de karakterizo $2\,\!$ .

[redaktu] _Viète_'s (formuloj, formulas)

_Viète_'s (formuloj, formulas) doni simpla rilato inter la (radikoj, radikas) de polinomo kaj ĝiaj koeficientoj. Ĉe kvadrata polinomo, ili preni jeno (formo, formi):

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$

$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Ĉi tiu rendimenta oportuna esprimo kiam (grafikaĵanta, grafeanta, grafanta) kvadrata funkcio. Ekde la (grafikaĵo, grafeo) estas simetria vertikale pri la vertico, kiam estas du (reala, reela) (radikoj, radikas) la vertico’s (absciso, x-koordinato) estas situita je la averaĝa de la (radikoj, radikas) (aŭ (detranĉoj, detranĉas, fortranĉas)). Tial la (absciso, x-koordinato) de la vertico estas donita per la esprimo:

$x_V = \frac {x_1 + x_2} {2} = \frac {\frac{-b + \sqrt {b^2-4ac\ }}{2a} + \frac{-b - \sqrt {b^2-4ac\ }}{2a}}{2} = -\frac{b}{2a}$

La (ordinato, y-koordinato) povas esti ricevita per anstataŭiganta la pli supre rezulto enen la funkcio.

$y_V = - \frac{ \Delta} {4a}$

$V = (x_V,y_V) = \left( -\frac{b}{2a}, - \frac{ \Delta} {4a} \right)$

[redaktu] Solvantaj Ekvacioj de pli alta Grado

Certa pli alta-gradaj ekvacioj (majo, povas) esti kvadrata en (formo, formi), kiel:

$2x^6+3x^3+5=0 \,\!$ .

(Tononomo, Noto, Noti) (tiu, ke, kiu) la plej alta eksponento estas dufoje la valoro de la eksponento de la mezo (termo, membro, flanko, termino). Ĉi tiu ekvacio (majo, povas) esti malkomponita rekte aŭ kun simpla anstataŭo, uzanta la manieroj (tiu, ke, kiu) estas havebla por la kvadrata, kiel faktoranta (ankaŭ (nomita, vokis) _factorising_), la kvadrata formulo, aŭ plenigo de kvadrato.

[redaktu] Historio

Sur argilaj tablojdoj (datis, rendevuita, daktilarbita, daktilujita, daktita) inter 1800 Antaŭ kristo kaj (1600, Kategorio:1600) Antaŭ kristo, la antikva _Babylonians_ unuaj esploritaj kvadrataj ekvacioj kaj ankaŭ donis fruaj manieroj por solvantaj ilin. Hinda matematikisto _Baudhayana_ kiu skribis _Sulba_ Sutro en antikva Barato _circa_ 8-a jarcento a.K. unuaj uzitaj kvadrataj ekvacioj de la (formo, formi) _ax_² = c kaj _ax_² + _bx_ = c kaj ankaŭ donis manieroj por solvantaj ilin.

Babilona (matematikistoj, matematikistas) de _circa_ 400 Antaŭ kristo kaj Ĉinia (matematikistoj, matematikistas) de _circa_ -200 uzita la maniero de plenigo de kvadrato al solvi kvadrataj ekvacioj kun pozitiva (radikoj, radikas), sed farita ne havi ĝenerala formulo. Eŭklido produktis pli abstrakta geometria maniero ĉirkaŭ -300. La _Bakshali_ Manuskripto skribita en Barato inter -200 kaj 400 _CE_ prezentis la ĝenerala algebra formulo por solvantaj kvadrataj ekvacioj, kaj ankaŭ prezentis kvadrataj argumentaj ekvacioj (fonto de tipo _ax_/c = y).

La unua matematikisto al havi fundamenti negativaj solvaĵoj kun la la ĝenerala algebra formulo, estis Brahmagupta-a (Barato, 7-a jarcento). _Al_-_Khwarizmi_ (Irano, 9-a jarcento) ellaborita aro de formuloj (tiu, ke, kiu) laboris por pozitivaj solvaĵoj. Abraham (mezuro, drinkejo, bari) _Hiyya_ Ha-_Nasi_ (ankaŭ sciata per la Latina nomo _Savasorda_) prezentis la plenumi solvaĵo al Eŭropo en lia libro _Liber_ _embadorum_ en la 12-a jarcento. _Bhaskara_ II (Barato, 12-a jarcento) solvis kvadrataj ekvacioj kun pli ol unu nekonato.

_Shridhara_ (Barato, 9-a jarcento) estis unu de la unua (matematikistoj, matematikistas) al doni ĝenerala regulo por solvanta kvadrata ekvacio. Lia originala laboro estas perdita sed _Bhaskara_ II poste citas _Shridhara_'s regulo:

Multipliki ambaŭ flankoj de la ekvacio per sciata kvanto egala al kvar (tempoj, tempas) la koeficiento de la kvadrato de la nekonato; adicii ambaŭflanken sciata kvanto egala al la kvadrato de la koeficiento de la nekonato; tiam preni la kvadrata radiko. [1]