Vikipedio:Projekto matematiko/Libera komuta grupo
El Vikipedio
 |
Ĉi tiu artikolo montras stilajn aŭ/kaj gramatikajn aŭ/kaj strukturajn problemojn kaj bezonas poluradon por konformi al pli bona nivelo de kvalito. Post plibonigo movu la artikolon al Libera komuta grupo (eble la nomo mem bezonas korekton) Se la ligo estas ruĝa, vi povas movi la artikolon. Se la ligo estas blua, la alia artikolo pri la temo jam ekzistas kaj tiun kaj ĉi tiun artikolon necasas kunigi. |
En abstrakta algebro, libera komuta grupo estas komuta grupo (tiu, ke, kiu) havas "bazo" en la (senso, senco) (tiu, ke, kiu) ĉiu ero de la grupo povas esti skribita en ununura unu vojo kiel finia lineara kombinaĵo de eroj de la bazo, kun entjeraj koeficientoj. Malverŝajne vektoraj spacoj, ne ĉiuj komutaj grupoj havi bazo, de ĉi tie la speciala nomo por tiuj (tiu, ke, kiu) fari. Tipa ekzemplo de libera komuta grupo estas la direkta sumo Z ⊕ Z de du (kopioj, kopias) de la malfinia cikla grupo Z; bazo estas {(1,0),(0,1)}. La bagatela komuta grupo {0} estas ankaŭ (konsiderita, konsideris) al esti libera abela, kun bazo la malplena aro.
Punkto sur terminologio: libera abela grupo estas ne la sama kiel libera grupa tio estas abela; fakte la nur liberaj grupoj (tiu, ke, kiu) estas abela estas tiuj de rango 0 (la bagatela grupo) kaj rango 1 (la malfinia cikla grupo).
Se F estas libera komuta grupo kun bazo B, tiam ni havi jena universala propraĵo: por ĉiu ajna funkcio f de B al iu komuta grupo A, tie ekzistas unika grupa homomorfio de F al A kiu etendas f. Ĉi tiu universala propraĵo povas ankaŭ kutimi difini liberaj komutaj grupoj.
Por ĉiu aro B, tie ekzistas libera komuta grupo kun bazo B, kaj ĉiuj tiaj liberaj komutaj grupoj havanta B kiel bazo estas izomorfia. Unu _exemplar_ (majo, povas) esti konstruita kiel la komuta grupo de funkcioj sur B, prenante entjero (valoroj, valoras) ĉiuj sed finie multaj kies estas nulo. Ĉi tiu estas la direkta sumo de (kopioj, kopias) de Z, unu (kopio, kopii) por ĉiu ero de B. Formala (sumoj, sumas) de eroj de donita aro B estas nenio sed la eroj de la libera komuta grupo kun bazo B.
Ĉiu finie generita libera komuta grupo estas pro tio izomorfia al Zn por iu natura nombro n (nomita, vokis) la rango de la libera komuta grupo. En ĝenerala, libera komuta grupo F havas multaj malsama (bazas, bazoj), sed ĉiuj (bazas, bazoj) havi la sama kardinalo, kaj ĉi tiu kardinalo estas (nomita, vokis) la rango de F. Ĉi tiu rango de liberaj komutaj grupoj povas kutimi difini la rango de ĉiuj aliaj komutaj grupoj: vidi rango de komuta grupo.
Donita (ĉiu, iu) komuta grupo A, tie ĉiam ekzistas libera komuta grupo F kaj (surjekcia, surĵeta) grupa homomorfio de F al A. Ĉi tiu sekvas de la universala propraĵo menciis pli supre.
Grave, ĉiu subgrupo de libera komuta grupo estas libera abela. Sekve de tio, al ĉiu komuta grupo A tie ekzistas mallonga akurata vico
- 0 → G → F → A → 0
kun F kaj G estante libera abela (kiu (meznombroj, meznombras, signifas) (tiu, ke, kiu) A estas izomorfia al la kvocienta grupo F/G). Ĉi tiu estas (nomita, vokis) libera rezolucio de A. Plue, la liberaj komutaj grupoj estas precize la projekciaj objektoj en la kategorio de komutaj grupoj.
Ĉiuj liberaj komutaj grupoj estas _torsion_-libera, kaj ĉiuj finie generita _torsion_-liberaj komutaj grupoj estas libera abela. (La sama aplikas al _flatness_, ekde komuta grupo estas _torsion_-libera se kaj nur se ĝi estas (plata, apartamento).) La adicia grupo de racionalaj nombroj Q estas (ne finie generita) _torsion_-libera grupo tia ne libera abela. La kaŭzo: Q estas dividebla sed ne-nulaj liberaj komutaj grupoj estas neniam dividebla.
Liberaj komutaj grupoj estas speciala okazo de liberaj moduloj, kiel komutaj grupoj estas nenio sed (moduloj, modulas) super la ringo Z.
Ĝi povas esti surprize malfacila al difini ĉu konkrete donita grupo estas libera abela. Konsideri ekzemple la _Baer_-_Specker_ grupo ZN, la direkto (produkto, produto) de kalkuleble multaj (kopioj, kopias) de Z. R. _Baer_ (pruvita, pruvis) en 1937 (tiu, ke, kiu) ĉi tiu grupo estas ne libera abela; _Specker_ (pruvita, pruvis) en 1950 (tiu, ke, kiu) ĉiu numerebla subgrupo de ZN estas libera abela.
