Vikipedio:Projekto matematiko/Monoido

El Vikipedio

Ĉi tiu artikolo montras stilajn aŭ/kaj gramatikajn aŭ/kaj strukturajn problemojn kaj bezonas poluradon por konformi al pli bona nivelo de kvalito. Post plibonigo movu la artikolon al Monoido (eble la nomo mem bezonas korekton) Se la ligo estas ruĝa, vi povas movi la artikolon. Se la ligo estas blua, la alia artikolo pri la temo jam ekzistas kaj tiun kaj ĉi tiun artikolon necasas kunigi.

En abstrakta algebro, branĉo de matematiko, monoido estas algebra strukturo kun sola, asocieca operacio (matematiko) kaj identa ero. En alia (vortoj, vortas), ĝi estas _unital_ duongrupo.

Enhavo 1 Difino 2 (Ekzemploj, Ekzemplas) 3 Propraĵoj 4 Monoido (homomorfioj, homomorfias) 5 Rilato al teorio de kategorioj

[redaktu] Difino

monoido estas magmo (M,*), kio estas aro M kun operacio (matematiko) * : M × M → M, obeanta jeno (aksiomoj, aksiomas):

• Asocieco: por ĉiuj a, b, c en M, (a*b)*c = a*(b*c)
• Identa ero: tie ekzistas ero e en M, tia (tiu, ke, kiu) por ĉiuj a en M, a*e = e*a = a.

Unu ofte vidas la aldona aksiomo

• (Fermaĵo, Adheraĵo): por ĉiuj a, b en M, a*b estas en M

kvankam, severe parolanta, ĉi tiu _isn_'t necesa kiel ĝi estas enhavita per la nocio de operacio (matematiko).

Alternative, monoido estas duongrupo kun identa ero.

Monoido (verigas, kontentigas) ĉiu (aksiomoj, aksiomas) de grupo escepte de havanta (inversoj, inversas). Monoido kun (inversoj, inversas) estas la sama aĵo kiel grupo.

Monoido kies operacio estas komuta estas (nomita, vokis) komuta monoido (aŭ, malpli kutime, abela monoido).

[redaktu] (Ekzemploj, Ekzemplas)

• Ĉiu _singleton_ aro {x} donas pligrandiĝo al unu-ero (bagatela) monoido. Por (fiksis, neŝanĝebligita) x ĉi tiu monoido estas unika, ekde la monoido (aksiomoj, aksiomas) postuli (tiu, ke, kiu) x*x = x en ĉi tiu (kesto, okazo).
• Ĉiu grupo estas monoido kaj ĉiu komuta grupa komuta monoido.
• Ĉiu duonkrado estas kvadrategala komuta monoido.
• (Ĉiu, Iu) duongrupo S (majo, povas) esti (turnita, turnis) enen monoido simple per aliganta ero e ne en S kaj difinanta _ee_ = e kaj _es_ = s = _se_ por ĉiuj s ∈ S. Ĉi tiu povas esti farita rekursie (kio estas se S estas monoido kun idento e, unu ricevas nova monoido S ∪ {e′} kun idento e′, kaj tiel plu).
• La naturaj nombroj, N, (formo, formi) komuta monoido sub aldono (identa era nulo), aŭ multipliko (identa ero unu).
• La eroj de (ĉiu, iu) _unital_ ringo, kun aldono aŭ multipliko kiel la operacio.
  • La (entjeroj, entjeras), racionalaj nombroj, reelaj nombroj aŭ kompleksaj nombroj, kun aldono aŭ multipliko kiel operacio.
  • La aro de ĉiuj n per n matricoj super donita ringo, kun matrica adicio aŭ matrica multipliko kiel la operacio.
• La aro de ĉiuj finia (surfadenigas, kordoj, kordas, ĉenoj, ĉenas, linioj, linias) super iu (fiksis, neŝanĝebligita) alfabeto Σ (formoj, formas) monoido kun linia kunmeto kiel la operacio. La malplena linio servas kiel la identa ero. Ĉi tiu monoido estas signifita Σ^* kaj estas (nomita, vokis) la libera monoido super Σ.
• (Fiksi, Neŝanĝebligi) monoido M, kaj konsideri ĝia aro de ĉiuj subaroj P(M) konsistanta de ĉiuj (subaroj, subaras) de M. Operacio (matematiko) por tia (subaroj, subaras) povas esti difinita per S * T = {s * t : s en S kaj t en T}. Ĉi tiu (kurbiĝoj, kurbiĝas, turnas, tornas, kurbigas) P(M) enen monoido kun identa ero {e}. En la sama vojo la aro de ĉiuj subaroj de grupo G estas monoido sub la produto de subaroj de grupo.
• Estu S esti aro. La aro de ĉiuj funkcioj S → S (formoj, formas) monoido sub funkcia komponaĵo. La idento estas (justa, ĵus) la identa funkcio. Se S estas finia kun n eroj, la monoido de funkcioj sur S estas finia kun nⁿ eroj.
• Ĝeneraliganta la antaŭa ekzemplo, estu C esti kategorio kaj X objekto en C. La aro de ĉiuj (endomorfioj, endomorfias) de X, signifis Fino_C(X), (formoj, formas) monoido sub komponaĵo de strukturkonservantaj transformoj. Por pli sur la interrilato inter teorio de kategorioj kaj (monoidoj, monoidas) vidi pli sube.
• La aro de homeomorfiaj klasoj de kompakta (surfacoj, surfacas) kun la koneksa sumo. Ĝia unua ero estas la klaso de la ordinara 2-sfero. Plue, se a signifas la klaso de la toro, kaj b signifas la klaso de la projekcia ebeno, tiam ĉiu ero c de la monoido havas unika esprimo la (formo, formi) c=na+_mb_ kie n estas la entjero ≥ 0 kaj m=0,1, aŭ 2. Ni havi _3b_=a+b.

[redaktu] Propraĵoj

Rekte de la difino, unu povas montri (tiu, ke, kiu) la identa ero e estas unika. Tiam ĝi estas ebla al difini inversigeblaj eroj: ero x estas (nomita, vokis) inversigebla se tie ekzistas ero y tia x*y = e kaj y*x = e. La ero y estas (nomita, vokis) la inverso de x kaj estas kutime skribita x⁻¹. Asocieco garantias (tiu, ke, kiu) (inversoj, inversas), se ili ekzisti, estas unika. La aro de ĉiuj inversigeblaj eroj en monoido M, kaj ankaŭ la operacio *, (formoj, formas) grupo. En (tiu, ke, kiu) (senso, senco), ĉiu monoido enhavas grupo.

Tamen, ne ĉiu monoido (sidas, kovas) ene grupo. Ekzemple, ĝi estas perfekte ebla al havi monoido en kiu du eroj a kaj b ekzisti tia (tiu, ke, kiu) a*b = a tenas (ebena, para, eĉ) kvankam b estas ne la identa ero. Tia monoido ne povas esti enigita en grupo, ĉar en la grupo ni povita multipliki ambaŭ flankoj kun la inverso de a kaj devus preni (tiu, ke, kiu) b = e, kiu _isn_'t vera. Monoido (M,*) havas la _cancellation_ propraĵo (aŭ estas _cancellative_) se por ĉiuj a, b kaj c en M, a*b = a*c ĉiam (implicas, enhavas) b = c kaj b*a = c*a ĉiam (implicas, enhavas) b = c. Komuta monoido kun la _cancellation_ propraĵo povas ĉiam esti enigita en grupo. Tia kiel la (entjeroj, entjeras) (grupo kun operacio +) estas konstruita de la naturaj nombroj (komuta monoido kun operacio + kaj _cancellation_ propraĵo). Tamen, ne-komuta _cancellative_ monoido (bezoni, bezono, necesa) ne esti _embeddable_ en grupo.

Se monoido havas la _cancellation_ propraĵo kaj estas finia, tiam ĝi estas fakte grupo.

Inversa monoido, estas monoido kie por ĉiu a en M, tie ekzistas unika a^-1 en M tia (tiu, ke, kiu) a=_aa_^-1kaj a^-1=a^-1_aa_^-1.

_Submonoid_ de monoido G, estas subaro H de G enhavanta la unua ero, kaj tia (tiu, ke, kiu), se x,y∈H tiam _xy_∈H. Ĝi estas tiam klara (tiu, ke, kiu) H estas sin monoido, sub la operacio (matematiko) konkludis per (tiu, ke, kiu) de G.

[redaktu] Monoido (homomorfioj, homomorfias)

Homomorfio inter du (monoidoj, monoidas) (M, *) kaj (M′, @) estas funkcio f : M → M′ tia (tiu, ke, kiu)

• f(x*y) = f(x)@f(y) por ĉiuj x, y en M
• f(e) = e′

kie e kaj e′ estas la identoj sur M kaj M′ respektive.

Ne ĉiu magma homomorfio estas monoida homomorfio ekde ĝi (majo, povas) ne konfiti la idento. Kontrasto ĉi tiu kun la (kesto, okazo) de grupaj homomorfioj: la (aksiomoj, aksiomas) de grupa teorio certiĝi (tiu, ke, kiu) ĉiu magma homomorfio inter (grupoj, grupas) konfitas la idento. Por (monoidoj, monoidas) ĉi tiu _isn_'t ĉiam vera kaj ĝi estas necesa al (ŝtato, stato, stati) ĝi kiel apartigi bezono.

(Dissurĵeta, Bijekcia) monoida homomorfio estas (nomita, vokis) monoida izomorfio. Du (monoidoj, monoidas) estas dirita al esti izomorfia se estas izomorfio inter ilin.

[redaktu] Rilato al teorio de kategorioj

(Monoidoj, Monoidas) povas esti vidita kiel speciala klaso de (kategorioj, kategorias). Ja, la (aksiomoj, aksiomas) postulita de monoida operacio estas akurate tiuj postulis de strukturkonservanta transforma komponaĵo kiam limigis al la aro de ĉiuj strukturkonservantaj transformoj kies fonto kaj (celtabulo, celo) estas donita objekto. Tio estas,

A monoido estas, esence, la sama aĵo kiel kategorio kun sola objekto.

Pli detale, donita monoido (M,*), unu povas konstrui malgranda kategorio kun nur unu objekto kaj kies strukturkonservantaj transformoj estas la eroj de M. La komponaĵo de strukturkonservantaj transformoj estas donita per la monoida operacio *.

Ankaŭ, monoido (homomorfioj, homomorfias) estas (justa, ĵus) _functors_ inter sola objekto (kategorioj, kategorias). En ĉi tiu (senso, senco), teorio de kategorioj povas esti penso de kiel vastigaĵo de la koncepto de monoido. Multaj (difinoj, difinas) kaj (teoremoj, teoremas) pri (monoidoj, monoidas) povas esti ĝeneraligita al malgranda (kategorioj, kategorias) kun pli ol unu objekto.

(Monoidoj, Monoidas), (justa, ĵus) ŝati aliaj algebraj strukturoj, ankaŭ (formo, formi) ilia posedi kategorio, _Mon_, kies (objektoj, objektas) estas (monoidoj, monoidas) kaj kies strukturkonservantaj transformoj estas monoido (homomorfioj, homomorfias).

Estas ankaŭ nocio de monoida objekto kiu estas abstrakta difino de kio estas monoido en kategorio.