Vikipedio:Projekto matematiko/Normala subgrupo

El Vikipedio

Ĉi tiu artikolo montras stilajn aŭ/kaj gramatikajn aŭ/kaj strukturajn problemojn kaj bezonas poluradon por konformi al pli bona nivelo de kvalito. Post plibonigo movu la artikolon al Normala subgrupo (eble la nomo mem bezonas korekton) Se la ligo estas ruĝa, vi povas movi la artikolon. Se la ligo estas blua, la alia artikolo pri la temo jam ekzistas kaj tiun kaj ĉi tiun artikolon necasas kunigi.

En matematiko, normala subgrupo N de grupo G estas subgrupa invarianto sub konjugo; tio estas, por ĉiu ero n en N kaj ĉiu g en G, la ero _gng_⁻¹ estas ankoraŭ en N. La (propozicio, frazo, ordono) N estas normala subgrupo de G estas skribita:

.

Estas nombro de kondiĉoj kiu estas ekvivalento al postulanta (tiu, ke, kiu) subgrupo N esti normala en G. (Ĉiu, Iu) unu de ilin (majo, povas) esti prenita kiel la difino:

1. Por ĉiuj g en G, _gNg_⁻¹ ⊆ N.
2. Por ĉiuj g en G, _gNg_⁻¹ = N.
3. La aroj de (maldekstre, restis) kaj dekstraj klasoj de N en G koincidi.
4. Por ĉiu g en G, _gN_ = _Ng_.
5. N estas unio de _conjugacy_ klasoj de G.
6. Estas iu homomorfio sur G por kiu N estas la kerno.

(Tononomo, Noto, Noti) (tiu, ke, kiu) kondiĉo (1) estas logike (pli lama, pli malforta) ol kondiĉo (2), kaj kondiĉo (3) estas logike (pli lama, pli malforta) ol kondiĉo (4). Por ĉi tiu kaŭzo, kondiĉoj (1) kaj (3) estas ofte kutima pruvi (tiu, ke, kiu) N estas normala en G, dum kondiĉoj (2) kaj (4) estas uzitaj al pruvi konsekvencoj de la normaleco de N en G.

{e} kaj G estas ĉiam normalaj subgrupoj de G. Se ĉi tiuj estas la nur aĵoj, tiam G estas dirita al esti simpla.

Ĉiuj (subgrupoj, subgrupas) N de komuta grupo G estas normala, ĉar g(_Ng_⁻¹) = g(g⁻¹N) = (_gg_⁻¹)N = N. Grupo (tiu, ke, kiu) estas ne Abela sed por kiu ĉiu subgrupo estas normala estas (termita, membrita, flankita, terminita) _Hamiltonian_ grupo.

La normalaj subgrupoj de (ĉiu, iu) grupo G (formo, formi) krado sub inkluziveco. La minimumo kaj maksimumaj eroj estas {e} kaj G, la infimo de du normalaj subgrupoj N₁ kaj N₂ estas ilia komunaĵo kaj ilia supremo estas ilia grupo (produkto, produto), difinis kiel la aro (en G) de (produktoj, produktas, produktaĵoj, produktaĵas, produtoj, produtas) kiu estas grupo ĉar unu de la (faktoroj, faktoras) (N₁ aŭ N₂) en la grupo (produkto, produto) estas normala subgrupo.

_Évariste_ Galezo estis la unua al kompreni la graveco de la ekzisto de normalaj subgrupoj.

Enhavo 1 Ekzemplo 2 Normalaj subgrupoj kaj (homomorfioj, homomorfias) 3 (Atribuas, Atributoj, Atributas) de normaleco 4 Vidi ankaŭ

[redaktu] Ekzemplo

La traduka grupo en (ĉiu, iu) dimensio estas normala subgrupo de la Eŭklida grupo; ekzemple en 3D:

• turnanta, (tradukanta, translingviganta), kaj turnantaj dorsaj rezultoj en nur traduko; ankaŭ reflektanta, (tradukanta, translingviganta), kaj reflektanta denove rezultoj en nur traduko (traduko vidita en spegulo (aspektas, aspektoj, rigardas) ŝati traduko, kun reflektis traduka vektoro)
• la (tradukoj, tradukas, translacioj, translacias) per donita distanco en (ĉiu, iu) direkto (formo, formi) _conjugacy_ klaso; la traduka grupo estas la unio de tiuj por ĉiuj (distancoj, distancas)

[redaktu] Normalaj subgrupoj kaj (homomorfioj, homomorfias)

Normalaj subgrupoj estas de aferkoncerneco ĉar se N estas normala, tiam la kvocienta grupo G/N (majo, povas) esti (formita, formularita, knedita): se N estas normala, ni povas difini multipliko sur flankaj klasoj per

(a₁N)(a₂N) := (a₁a₂)N

Ĉi tiu (kurbiĝoj, kurbiĝas, turnas, tornas, kurbigas) la aro de flankaj klasoj enen grupo (nomita, vokis) la kvocienta grupo G/N. Estas natura homomorfio f : G → G/N donita per f(a) = _aN_. La bildo f(N) konsistas nur de la identa ero de G/N, la flanka klaso en = N.

En ĝenerala, grupa homomorfio f: G → H sendas (subgrupoj, subgrupas) de G al (subgrupoj, subgrupas) de H. Ankaŭ, la antaŭbildo de (ĉiu, iu) subgrupo de H estas subgrupo de G. Ni (voko, voki) la antaŭbildo de la bagatela grupo {e} en H la kerno de la homomorfio kaj signifi ĝi per _ker_(f). Kiel ĝi (kurbiĝoj, kurbiĝas, turnas, tornas, kurbigas) ekster, la kerno estas ĉiam normala kaj la bildo f(G) de G estas ĉiam izomorfia al G/_ker_(f). Fakte, ĉi tiu rilato estas reciproke unuvalora surĵeto inter la aro de ĉiuj kvocientaj grupoj G/N de G kaj la aro de ĉiuj homomorfiaj bildoj de G (supren al izomorfio). Ĝi estas ankaŭ facila al vidi (tiu, ke, kiu) la kerno de la kvocienta mapo, f: G → G/N, estas N sin, (do, tiel) ni havi montrita (tiu, ke, kiu) la normalaj subgrupoj estas precize la (kernoj, kernas) de (homomorfioj, homomorfias) kun domajno G.

[redaktu] (Atribuas, Atributoj, Atributas) de normaleco

• La komunaĵo de familio de normalaj subgrupoj estas normala
• La subgrupo generita per familio de normalaj subgrupoj estas normala
• Normaleco estas konfitita sur (surjekcia, surĵeta) (homomorfioj, homomorfias), kaj estas ankaŭ konfitis sur prenante inversaj bildoj.
• Normaleco estas konfitita sur prenante direkto (produktoj, produktas, produktaĵoj, produktaĵas, produtoj, produtas)
• Normala subgrupo de normala subgrupo (bezoni, bezono, necesa) ne esti normala. Tio estas, normaleco estas ne transitiva propraĵo. Tamen, karakteriza subgrupo de normala subgrupo estas normala. Ankaŭ, normala subgrupo de centra faktoro estas normala. En aparta, normala subgrupo de direkta faktoro estas normala.
• Ĉiu subgrupo de indekso 2 estas normala. Pli ĝenerale, subgrupo H de finia indekso n en G enhavas subgrupo K normala en G kaj de indekso dividanta n!.
• (Eĉ, Ebena, Para) pli ĝenerale, se p estas la (plej minuskla, plej malgranda) primo dividanta la (mendi, ordo) de G, tiam ĉiu subgrupo de indekso p estas normala.

[redaktu] Vidi ankaŭ

(Operacioj, Operacias) prenante (subgrupoj, subgrupas) al (subgrupoj, subgrupas):

• normaligilo
• normala (fermaĵo, adheraĵo)
• normala kerno

Subgrupaj propraĵoj pli forta ol normaleco:

• karakteriza subgrupo
• plene karakteriza subgrupo

Subgrupaj propraĵoj (pli lama, pli malforta) ol normaleco:

• subnormala subgrupo
• _ascendant_ subgrupo
• posteula subgrupo
• seriaĵa subgrupo
• kvazaŭnormala subgrupo
• duonnormala subgrupo
• konjugita permutebla subgrupo
• modula subgrupo
• _pronormal_ subgrupo
• _paranormal_ subgrupo
• _polynormal_ subgrupo
• c normala subgrupo

Subgrupaj propraĵoj komplementa (aŭ kontraŭa) al normaleco:

• _malnormal_ subgrupo
• _contranormal_ subgrupo
• nenormala subgrupo
• (mem, sin)-ununormiganta subgrupo

Rilatanta (komprenaĵoj, nocioj, nocias) en algebro: