Vikipedio:Projekto matematiko/Platona solido

El Vikipedio

Ĉi tiu artikolo montras stilajn aŭ/kaj gramatikajn aŭ/kaj strukturajn problemojn kaj bezonas poluradon por konformi al pli bona nivelo de kvalito. Post plibonigo movu la artikolon al
Platona solido
(eble la nomo mem bezonas korekton) Se la ligo estas ruĝa, vi povas movi la artikolon. Se la ligo estas blua, la alia artikolo pri la temo jam ekzistas kaj tiun kaj ĉi tiun artikolon necasas kunigi.

En geometrio, Platona solido estas konveksa regula pluredro. Ĉi tiuj estas la tri-dimensia (analogaj, analogoj) de la konveksaj regulaj plurlateroj. Estas precize kvin tia (ciferoj, ciferas, geometriaj figuroj, figuroj, figuras) (montrita pli sube). Ili estas unika en (tiu, ke, kiu) la flankoj, randoj kaj anguloj estas ĉiuj kongrua.

La Kvin Konveksaj Regulaj Pluredroj (Platonaj solidoj)
Kvaredro	Sesedro aŭ Kubo	Okedro	Dekduedro	Dudekedro
()	()	()	()	()

La nomo de ĉiu (cifero, figuro) estas derivita de la nombro de ĝia (vizaĝoj, edroj): respektive 4, 6, 8, 12, kaj 20. <_ref_> En la ĉirkaŭteksto de solido (geometrio) la vorto regula estas enhavita kaj kutime nefaris. La vorto malregula estas ankaŭ uzita por klarigi (tiu, ke, kiu) pluredro estas ne regula, kvankam ankoraŭ alprenis al havi la sama topologio kiel la regula (formo, formi). Alia plene malsama topologia (formoj, formas), tiaj la romba dek-duedro kiu havas 12 romba (vizaĝoj, edroj), aŭ nekonveksa stela pluredro, ŝati la granda dek-duedro, estas neniam donita kun mallongigis (nomoj, nomas). </_ref_>

Pro al ilia estetika belo kaj simetrio, la Platonaj solidoj havi estas favorata subjekto de (geometriistoj, geometriistas) por miloj de jaroj. Ili estas nomita por la antikva Greka filozofa Platono kiu teorigita la klasikaj eroj estis konstruita de la regulaj solidoj.

[redaktu] Historio

La Platonaj solidoj havi estas sciata ekde antikveco. La kvin solidoj estis certe sciata al la antikvaj Grekoj kaj estas indikaĵo (tiu, ke, kiu) ĉi tiuj (ciferoj, ciferas, geometriaj figuroj, figuroj, figuras) estita sciata longa antaŭ tiam. La neolitika popolo de Skotlando konstruis ŝtono (modelas, modeloj) de ĉiuj kvin solidoj almenaŭ 1000 jaroj antaŭ Platono (_Atiyah_ kaj _Sutcliffe_ 2003). Ĉi tiuj (modelas, modeloj) estas konservita je la Muzeo Ashmolean en Oksfordo.

En estimo al Greka matematiko, iuj fontoj (tiaj _Proclus_) kredita Pitagoro kun la malkovro de la kvin konveksaj regulaj pluredroj. Alia indikaĵo (pensigas, sugestas) li (majo, povas) havi nur estas familiara kun la kvaredro, kubo, kaj dekduedro, kaj (tiu, ke, kiu) la malkovro de la okedro kaj dudekedro aparteni _Theaetetus_, moderna de Platono. Ĉiukaze, _Theaetetus_ donita matematika priskribo de ĉiuj kvin kaj (majo, povas) havi estas (responda, respondeca) por la unua sciata pruvo (tiu, ke, kiu) estas ne aliaj konveksaj regulaj pluredroj.

La Platona solida esprimilo elstare en la filozofio de Platono por de kiuj ili estas nomita. Platono skribis pri ilin en la dialogo _Timaeus_ c.360 B.C. en kiu li asociita ĉiu de la kvar klasikaj eroj (tero, aero, akvo, kaj fajro) kun regula solido. Tero estis asociita kun la kubo, aero kun la okedro, akvo kun la dudekedro, kaj fajro kun la kvaredro. Tie estita intuicia (alkadrigo, pliĝustigo) por ĉi tiuj (asocioj, asocias): la varmo de fajro (palpas, sentas) akra kaj enpikanta (ŝati malgranda kvaredra). Aero estas el la okedro; ĝia (minusklo, minuskla) (komponantoj, komponantas) estas (do, tiel) glata tiu povas apenaŭ senti ĝi. Akvo, la dudekedro, (fluas, fluoj) el unu's mano kiam (pikis, prenita) supren, kvazaŭ ĝi estas el liliputa malgranda (pilkoj, pilkas, globoj, globas, sferoj, sferas, buloj, bulas, baloj, balas). Per kontrasto, alte un-sfera solido, la sesedro (kubo) prezentas tero. Ĉi tiu plumpa malgranda solida kaŭza koto al ĉifi kaj rompas kiam (pikis, prenita) supren, en _stark_ diferenco al la glata (flui, fluo) akva. La kvina Platona solido, la dekduedro, Platono obskure mallaŭdoj, "...la dio uzita por aranĝanta la (konstelacioj, konstelacias) entute paradizo". Aristotelo adiciis kvina ero, _aithêr_ (_aether_ en Latina, "etero" angle) kaj postulatis (tiu, ke, kiu) la (paradizoj, paradizas) estita el ĉi tiu ero, sed li havis ne (interezo, interesi) en (alumetanta, svatanta, maĉanta, konkursanta, kongruanta) ĝi kun Platona kvina solido.

Keplera Platona solido (modeli, modelo) de la sunsistemo de _Mysterium_ _Cosmographicum_ (1596)

Eŭklido donis plenumi matematika priskribo de la Platonaj solidoj en la Eroj; la lasta libro (Libro _XIII_) kies estas konsekrita al iliaj propraĵoj. (Propozicioj, Propozicias) 13–17 en Libro _XIII_ priskribi la konstruado de la kvaredro, okedro, kubo, dudekedro, kaj dekduedro en (tiu, ke, kiu) (mendi, ordo). Por ĉiu solida Eŭklido trovas la rilatumo de la diametro de la (ĉirkaŭskribis, ĉirkaŭskribita) sfero al la randa longo. En Propozicio 18 li (vortobatalas, argumentas) (tiu, ke, kiu) estas ne plui konveksaj regulaj pluredroj. Multa de la informo en Libro _XIII_ estas verŝajne derivita de la laboro de _Theaetetus_.

En la 16-a jarcento, la Germana astronoma Keplero provis al trovi rilato inter la kvin sciata (planedoj, planedas) tiam (ekskludanta la Tero) kaj la kvin Platonaj solidoj. En _Mysterium_ _Cosmographicum_, (publikigita, publikigis) en 1596, Keplero _laid_ ekster (modeli, modelo) de la sunsistemo en kiu la kvin solidoj estis aro ene unu la alian kaj apartigita per serio de enskribita kaj (ĉirkaŭskribis, ĉirkaŭskribita) sferoj. La ses sferoj ĉiu korespondis al unu de la (planedoj, planedas) ((Hidrargo, Merkuro), Venuso, Tero, Marso, Jupitero, kaj Saturno). La solidoj estis (mendita, ordita) kun la _innermost_ estante la okedro, sekvis per la dudekedro, dekduedro, kvaredro, kaj fine la kubo. En tiamaniere la strukturo de la sunsistemo kaj la distancaj interrilatoj inter la (planedoj, planedas) estita diktita per la Platonaj solidoj. En la fino, Keplera originala ideo havis al esti forlasita, sed el lia esplori venita la malkovro de la Kepleraj solidoj, la kompreno (tiu, ke, kiu) la (orbitoj, orbitas) de (planedoj, planedas) estas ne cirkloj, kaj Leĝoj de Kepler por kiu li estas nun fama.

[redaktu] Kombinaj propraĵoj

Konveksa pluredro estas Platona solido se kaj nur se

ĉiuj ĝia (vizaĝoj, edroj) estas kongruaj konveksaj regulaj plurlateroj,
neniu de ĝia (vizaĝoj, edroj) sekci escepti je iliaj randoj, kaj
la sama nombro de (vizaĝoj, edroj) verigi je ĉiu de ĝiaj verticoj.

Ĉiu Platona solido povas pro tio esti signifita per simbolo {p, q} kie

p = la nombro de flankoj de ĉiu (vizaĝo, edro) (aŭ la nombro de verticoj de ĉiu (vizaĝo, edro)) kaj

q = la nombro de (vizaĝoj, edroj) (konferenco, veriganta) je ĉiu vertico (aŭ la nombro de randoj (konferenco, veriganta) je ĉiu vertico).

La simbolo {p, q}, nomita la Simbolo de Schläfli, donas kombina priskribo de la pluredro. La (Simboloj de Schläfli, Simbolo de Schläflas) de la kvin Platonaj solidoj estas donita en la (baremo, tabelo, tablo) pli sube.

Pluredro	Verticoj	Randoj	(Vizaĝoj, Edroj)	Simbolo de Schläfli	Vertico (konfigur(aĵ)o, konfiguro)
kvaredro	4	6	4	{3, 3}	3.3.3
kubo	8	12	6	{4, 3}	4.4.4
okedro	6	12	8	{3, 4}	3.3.3.3
dekduedro	20	30	12	{5, 3}	5.5.5
dudekedro	12	30	20	{3, 5}	3.3.3.3.3

Ĉiu alia kombina informo pri ĉi tiuj solidoj, tia tuteca nombro de verticoj (V), randoj (E), kaj (vizaĝoj, edroj) (F), povas esti difinita de p kaj q. Ekde (ĉiu, iu) rando (aniĝas, aligas, aliĝas) du verticoj kaj havas du najbara (vizaĝoj, edroj) ni devas havi:

$pF = 2E = qV.\,$

La alia interrilato inter ĉi tiuj valoroj estas donita per Eŭlera formulo:

$V - E + F = 2.\,$

Ĉi tiu netriviala fakto povas esti (pruvita, pruvis) en granda (diversaj, diversaĵo) de (vojoj, vojas) (en algebra topologia ĝi sekvas de la fakto (tiu, ke, kiu) la Eŭlera karakterizo de la sfero estas 2). Kune ĉi tiuj tri interrilatoj plene difini V, E, kaj F:

$V = \frac{4p}{4 - (p-2)(q-2)},\quad E = \frac{2pq}{4 - (p-2)(q-2)},\quad F = \frac{4q}{4 - (p-2)(q-2)}.$

(Tononomo, Noto, Noti) (tiu, ke, kiu) (svopanta, interŝanĝanta) p kaj q interŝanĝas F kaj V dum lasanta E neŝanĝita (Por geometria interpretado de ĉi tiu fakto vidi la sekcio sur dualaj pluredroj pli sube).

[redaktu] Klasifiko

Ĝi estas klasika rezulto (tiu, ke, kiu) estas nur kvin konveksaj regulaj pluredroj. Du komuna (argumentoj, argumentas) estas donita pli sube. Ambaŭ de ĉi tiuj (argumentoj, argumentas) nur montri (tiu, ke, kiu) tie povas esti apenaŭ kvin Platonaj solidoj. (Tiu, Ke, Kiu) ĉiuj kvin reale ekzisti estas apartigi demando—unu (tiu, ke, kiu) povas esti respondita per eksplicita konstruado.

[redaktu] Geometria pruvo

Jena geometria argumento estas tre simila al la unu donita per Eŭklido en la Eroj:

Ĉiu vertico de la solido devas koincidi kun unu vertico ĉiu de almenaŭ tri (vizaĝoj, edroj).
Je ĉiu vertico de la solido, la tuteca, inter la najbara (vizaĝoj, edroj), de la anguloj inter iliaj respektivaj najbaraj flankoj devas esti malpli ol 360°.
La anguloj ajn verticoj de ĉiuj (vizaĝoj, edroj) de Platona solido estas identa, (do, tiel) ĉiu vertico de ĉiu (vizaĝo, edro) devas (kotizi, kontribui) malpli ol 360°/3=120°.
Regulaj plurlateroj de ses aŭ pli flankoj havi nur anguloj de 120° aŭ pli, (do, tiel) la komuna (vizaĝo, edro) devas esti la triangulo, kvadrato, aŭ kvinlatero. Kaj por:
- Triangula (vizaĝoj, edroj): ĉiu vertico de regula triangulo estas 60°, (do, tiel) (geometria figuro, formo) (majo, povas) havi 3, 4, aŭ 5 trianguloj (konferenco, veriganta) je vertico; ĉi tiuj estas la kvaredro, okedro, kaj dudekedro respektive.
- Kvadrato (vizaĝoj, edroj): ĉiu vertico de kvadrato estas 90°, (do, tiel) estas nur unu ordigo ebla kun tri (vizaĝoj, edroj) je vertico, la kubo.
- Kvinlatera (vizaĝoj, edroj): ĉiu vertico estas 108°; denove, nur unu ordigo, de tri (vizaĝoj, edroj) je vertico estas ebla, la dekduedro.

[redaktu] Topologia pruvo

Pure topologia pruvo povas esti farita uzanta nur kombina informo pri la solidoj. La ŝlosilo estas Eŭlera formulo, $V - E + F = 2$ , kaj la fakto (tiu, ke, kiu) $p F = 2 E = q V$ . (Kombinanta, Komponanta) ĉi tiuj ekvacioj unu ricevas la ekvacio

$\frac{2E}{q} - E + \frac{2E}{p} = 2.$

Simpla algebra rego tiam donas

${1 \over q} + {1 \over p}= {1 \over 2} + {1 \over E}.$

Ekde $E$ estas severe pozitiva ni devas havi

$\frac{1}{q} + \frac{1}{p} > \frac{1}{2}.$

Uzanta la fakto (tiu, ke, kiu) p kaj q devas ambaŭ esti almenaŭ 3, unu povas facile vidi (tiu, ke, kiu) estas nur kvin eblecoj por {p, q}:

$\{3, 3\},\quad \{4, 3\},\quad \{3, 4\},\quad \{5, 3\},\quad \{3,5\}.$

[redaktu] Geometriaj propraĵoj

[redaktu] Anguloj

Estas nombro de anguloj asociita kun ĉiu Platona solido. La duedra angulo estas la ena angulo inter (ĉiu, iu) du (vizaĝo, edro) (planoj, ebenoj). La duedra angulo, θ, de la solido {p,q} estas donita per la formulo

$\sin{\theta\over 2} = \frac{\cos(\pi/q)}{\sin(\pi/p)}.$

Ĉi tiu estas iam pli oportune esprimita en (termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas) de la tangento per

$\tan{\theta\over 2} = \frac{\cos(\pi/q)}{\sin(\pi/h)}.$

La kvanto h estas 4, 6, 6, 10, kaj 10 por la kvaredro, kubo, okedro, dekduedro, kaj dudekedro respektive.

La angula _deficiency_ je la vertico de pluredro estas la diferenco inter la (sumo, sumi) de la (vizaĝo, edro)-anguloj je (tiu, ke, kiu) vertico kaj 2π. La difekti, δ, je (ĉiu, iu) vertico de la Platonaj solidoj {p,q} estas

$\delta = 2\pi - q\pi\left(1-{2\over p}\right).$

Per Kartezio' teoremo, ĉi tiu estas egala al 4π (dividita, dividis) per la nombro de verticoj (kio estas la tuteca difekti ajn verticoj estas 4π).

La 3-dimensia analoga de ebena angulo estas solida angulo. La solida angulo, Ω, je la vertico de Platona solido estas donita en (termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas) de la duedra angulo per

$\Omega = q\theta - (q-2)\pi.\,$

Ĉi tiu sekvas de la sfera krompaga formulo por sfera plurlatero kaj la fakto (tiu, ke, kiu) la vertica figuro de la pluredro {p,q} estas regula q-graduso.

La diversaj anguloj asociita kun la Platonaj solidoj estas _tabulated_ pli sube. La ciferecaj valoroj de la solidaj anguloj estas donita en (steradianoj, steradianas). La konstanto φ = (1+√5)/2 estas la ora proporcio.

Pluredro	Duedra angulo $(\theta)\,$	$\tan\frac{\theta}{2}$	Difekti $(\delta)\,$	Solida angulo $(\Omega)\,$
kvaredro	70.53°	$1\over{\sqrt 2}$	$\pi\,$	$2\tan^{-1}\left(\frac{\sqrt 2}{5}\right)$	$\approx 0.551286$
kubo	90°	$1\,$	$\pi\over 2$	$\frac{\pi}{2}$	$\approx 1.57080$
okedro	109.47°	$\sqrt 2$	${2\pi}\over 3$	$4\sin^{-1}\left({1\over 3}\right)$	$\approx 1.35935$
dekduedro	116.56°	$\varphi\,$	$\pi\over 5$	$2\tan^{-1}\varphi^5$	$\approx 2.96174$
dudekedro	138.19°	$\varphi^2\,$	$\pi\over 3$	$2\pi - 5\sin^{-1}\left({2\over 3}\right)$	$\approx 2.63455$

[redaktu] _Radii_, areo, kaj volumeno

Alia virto de reguleco estas (tiu, ke, kiu) la Platonaj solidoj ĉiuj posedi tri samcentraj sferoj:

la (ĉirkaŭskribis, ĉirkaŭskribita) sferaj kiuj pasejoj tra ĉiuj verticoj,
la _midsphere_ kiu estas tangento al ĉiu rando je la mezpunkto de la rando, kaj
la enskribita sfero kiu estas tangento al ĉiu (vizaĝo, edro) je la centro de la (vizaĝo, edro).

La _radii_ de ĉi tiuj sferoj estas nomita la _circumradius_, la _midradius_, kaj la _inradius_. Ĉi tiuj estas la (distancoj, distancas) de la centro de la pluredro al la verticoj, rando (mezpunktoj, mezpunktas), kaj (vizaĝo, edro) centroj respektive. La _circumradius_ R kaj la _inradius_ r de la solido {p, q} kun randa longo a estas donita per

$R = \left({a\over 2}\right)\tan\frac{\pi}{q}\tan\frac{\theta}{2}$

$r = \left({a\over 2}\right)\cot\frac{\pi}{p}\tan\frac{\theta}{2}$

kie θ estas la duedra angulo. La _midradius_ ρ estas donita per

$\rho = \left({a\over 2}\right)\frac{\cos(\pi/p)}{\sin(\pi/h)}$

kie h estas la kvanto uzita pli supre en la difino de la duedra angulo (h = 4, 6, 6, 10, aŭ 10). (Tononomo, Noto, Noti) (tiu, ke, kiu) la rilatumo de la _circumradius_ al la _inradius_ estas simetria en p kaj q:

${R\over r} = \tan\frac{\pi}{p}\tan\frac{\pi}{q}.$

La surfaca areo, A, de Platona solido {p, q} estas facile komputita kiel areo de regula p-graduso (tempoj, tempas) la nombro de (vizaĝoj, edroj) F. Ĉi tiu estas:

$A = \left({a\over 2}\right)^2 Fp\cot\frac{\pi}{p}.$

La volumeno estas komputita kiel F (tempoj, tempas) la volumeno de la piramido kies bazo estas regula p-graduso kaj kies alto estas la _inradius_ r. Tio estas,

$V = {1\over 3}rA.$

Jeno (baremo, tabelo, tablo) (listoj, listas) la diversaj _radii_ de la Platonaj solidoj kaj ankaŭ ilia surfaca areo kaj volumeno. La entute amplekso estas (fiksita, neŝanĝebligita) per prenante la randa longo, a, al esti egala al 2.

Pluredro (a = 2)	r	ρ	R	A	V
kvaredro	$1\over {\sqrt 6}$	$1\over {\sqrt 2}$	$\sqrt{3\over 2}$	$4\sqrt 3$	$\frac{2\sqrt 2}{3}$
kubo	$1\,$	$\sqrt 2$	$\sqrt 3$	$24\,$	$8\,$
okedro	$\sqrt{2\over 3}$	$1\,$	$\sqrt 2$	$8\sqrt 3$	$\frac{8\sqrt 2}{3}$
dekduedro	$\frac{\varphi^2}{\xi}$	$\varphi^2$	$\sqrt 3\,\varphi$	$60\frac{\varphi}{\xi}$	$20\frac{\varphi^3}{\xi^2}$
dudekedro	$\frac{\varphi^2}{\sqrt 3}$	$\varphi$	$\xi\varphi$	$20\sqrt 3$	$\frac{20\varphi^2}{3}$

La (konstantoj, konstantas, konstantaj) φ kaj ξ en la pli supre estas donita per

$\varphi = 2\cos{\pi\over 5} = \frac{1+\sqrt 5}{2}\qquad\xi = 2\sin{\pi\over 5} = \sqrt{\frac{5-\sqrt 5}{2}} = 5^{1/4}\varphi^{-1/2}.$

Inter la Platonaj solidoj, ĉu la dekduedro aŭ la dudekedro (majo, povas) vidiĝi kiel la plej bona proksimuma kalkulado al la sfero. La dudekedro havas la plej granda nombro de (vizaĝoj, edroj), la plej granda duedra angulo, kaj ĝi ĉirkaŭbrakas ĝia enskribita sfero la plej strikta. La dekduedro, aliflanke, havas la (plej minuskla, plej malgranda) angula difekti, la plej granda vertica solida angulo, kaj ĝi enspacas ekster ĝia (ĉirkaŭskribis, ĉirkaŭskribita) sfero la plej.

[redaktu] Simetrio

[redaktu] Dualaj pluredroj

Duala kubo-okedro.

Ĉiu pluredro havas duala pluredro kun (vizaĝoj, edroj) kaj verticoj interŝanĝis. La duala de ĉiu Platona solido estas alia Platona solido, tiel ke ni povas aranĝi la kvin solidoj enen dualaj paroj.

La kvaredro estas (mem, sin)-duala (kio estas ĝia duala estas alia kvaredro).
La kubo kaj la okedro (formo, formi) duala paro.
La dekduedro kaj la dudekedro (formo, formi) duala paro.

Se pluredro havas Simbolo de Schläfli {p, q}, tiam ĝia duala havas la simbolo {q, p}. Ja ĉiu kombina propraĵo de unu Platona solido povas esti interpretita kiel alia kombina propraĵo de la duala.

Unu povas konstrui la duala pluredro per prenante la verticoj de la duala al esti la centroj de la (vizaĝoj, edroj) de la originala (cifero, figuro). La randoj de la duala estas formita per trakonektanta la centroj de najbara (vizaĝoj, edroj) en la originala. En tiamaniere, la nombro de (vizaĝoj, edroj) kaj verticoj estas interŝanĝita, dum la nombro de randoj restas la sama.

Pli ĝenerale, unu povas _dualize_ Platona solido kun respekto al sfero de radiuso d samcentra kun la solido. La _radii_ (R, ρ, r) de solido kaj tiuj de ĝia duala (R*, ρ*, r*) estas rilatanta per

$d^2 = R^\ast r = r^\ast R = \rho^\ast\rho.$

Ĝi estas ofte oportuna al _dualize_ kun respekto al la _midsphere_ (d = ρ) ekde ĝi havas la sama interrilato al ambaŭ pluredroj. Prenante d² = Rr donas duala solido kun la sama _circumradius_ kaj _inradius_ (kio estas R* = R kaj r* = r).

[redaktu] Geometriaj simetriaj grupoj

En matematiko, la koncepto de simetrio estas studita kun la nocio de matematika grupo. Ĉiu pluredro havas asociita geometria simetria grupo, kiu estas la aro de ĉiuj (transformoj, transformas) (Eŭklida (izometrioj, izometrias)) kiu lasi la pluredra invarianto. La (mendi, ordo) de la geometria simetria grupo estas la nombro de simetrioj de la pluredro. Unu ofte diferencigas inter la plena geometria simetria grupo, kiu inkluzivas (reflektoj, reflektas), kaj la pozitiva geometria simetria grupo, kiu inkluzivas nur (rotacioj, rotacias, turnadoj, turnadas).

La geometriaj simetriaj grupoj de la Platonaj solidoj estas sciata kiel pluredra (grupoj, grupas) (kiu estas speciala klaso de la punktaj grupoj en tri dimensioj). La alta grado de simetrio de la Platonaj solidoj povas esti interpretita en nombro de (vojoj, vojas). Plej grave, la verticoj de ĉiu solido estas ĉiu ekvivalento sub la ago de la geometria simetria grupo, kiel estas la randoj kaj (vizaĝoj, edroj). Unu diras la ago de la geometria simetria grupo estas transitiva sur la verticoj, randoj, kaj (vizaĝoj, edroj). Fakte, ĉi tiu estas alia vojo de difinanta reguleco de pluredro: pluredro estas regula se kaj nur se ĝi estas vertico-uniformo, rando-uniformo, kaj (vizaĝo, edro)-uniformo.

Estas nur tri geometriaj simetriaj grupoj asociita kun la Platonaj solidoj iom ol kvin, ekde la geometria simetria grupo de (ĉiu, iu) pluredro koincidas kun tio de ĝia duala. Ĉi tiu estas facile vidita per _examing_ la konstruado de la duala pluredro. (Ĉiu, Iu) simetrio de la originala devas esti simetrio de la duala kaj inverse. La tri pluredra (grupoj, grupas) estas:

la kvaredra grupo T,
la okedra grupo O (kiu estas ankaŭ la geometria simetria grupo de la kubo), kaj
la dudekedra grupo Mi (kiu estas ankaŭ la geometria simetria grupo de la dekduedro).

La (mendas, ordoj) de la pozitiva (turnado) (grupoj, grupas) estas 12, 24, kaj 60 respektive — precize dufoje la nombro de randoj en la respektivaj pluredroj. La (mendas, ordoj) de la plenaj geometriaj simetriaj grupoj estas dufoje kiel multa denove (24, 48, kaj 120). Vidi (_Coxeter_ 1973) por derivaĵo de ĉi tiuj (faktoj, faktas).

Jeno (baremo, tabelo, tablo) (listoj, listas) la diversaj simetriaj propraĵoj de la Platonaj solidoj. La geometriaj simetriaj grupoj listis estas la plena (grupoj, grupas) kun la turnado (subgrupoj, subgrupas) donita en (parentezo, krampo) (ankaŭ por la nombro de simetrioj). _Wythoff_'s kalejdoskopa konstruado estas maniero por konstruantaj pluredroj rekte de iliaj geometriaj simetriaj grupoj. Ni listo por referenco _Wythoff_'s simbolo por ĉiu de la Platonaj solidoj.

Pluredro	Simbolo de Schläfli	Simbolo de Wythoff	Duala pluredro	Simetrioj	Geometria simetria grupo
kvaredro	{3, 3}	3 \| 2 3	kvaredro	24 (12)	T_d (T)
kubo	{4, 3}	3 \| 2 4	okedro	48 (24)	O_h (O)
okedro	{3, 4}	4 \| 2 3	kubo
dekduedro	{5, 3}	3 \| 2 5	dudekedro	120 (60)	Mi_h (Mi)
dudekedro	{3, 5}	5 \| 2 3	dekduedro

[redaktu] En naturo kaj (teknologio, tekniko)

La kvaredro, kubo, kaj okedro ĉiuj okazi (naive, krude, nature) en kristalsistemoj. Ĉi tiuj neniel _exhaust_ la nombroj de ebla (formoj, formas) de (kristaloj, kristalas). Tamen, neniu la regula dudekedro nek la regula dekduedro estas _amongst_ ilin. Unu de la (formoj, formas), nomita la _pyritohedron_ (nomis por la grupo de (mineraloj, mineralas) kies ĝi estas tipa) havas (dek du, dekdu) kvinlatera (vizaĝoj, edroj), aranĝis en la sama ŝablono kiel la (vizaĝoj, edroj) de la regula dekduedro. La (vizaĝoj, edroj) de la _pyritohedron_ estas, tamen, ne regula, (do, tiel) la _pyritohedron_ estas ankaŭ ne regula.

_Circogonia_ _icosahedra_, specoj de _Radiolaria_, formis ŝati regula dudekedro.

En la frua 20-a jarcento, Ernst Haeckel priskribis (_Haeckel_, 1904) nombro de specoj de _Radiolaria_, iu de kies (skeletaj sistemoj, ostaroj, ostaras, skeletoj, skeletas) estas formita ŝati diversaj regulaj pluredroj. (Ekzemploj, Ekzemplas) inkluzivi _Circoporus_ _octahedrus_, _Circogonia_ _icosahedra_, _Lithocubus_ _geometricus_ kaj _Circorrhegma_ _dodecahedra_. La (geometriaj figuroj, formoj, formas) de ĉi tiuj estuloj devus esti evidenta de ilia (nomoj, nomas).

Multaj virusoj, tiaj la herpeto (viruso (biologio), viruso), havi la (geometria figuro, formo) de regula dudekedro. _Viral_ (strukturoj, strukturas) estas konstruita de ripetis identa proteino _subunits_ kaj la dudekedro estas la plej facila (geometria figuro, formo) asembli uzanta ĉi tiuj _subunits_. Regula pluredro estas uzita ĉar ĝi povas esti konstruita de sola baza unua proteino uzita super kaj super denove; ĉi tiu (konservas, savas) spaco en la _viral_ genomo.

En meteologio kaj _climatology_, malloka cifereca (modelas, modeloj) de atmosfera (flui, fluo) estas de pligrandiĝanta (interezo, interesi) kiu dungi (kradoj, kradas) (tiu, ke, kiu) estas bazita sur dudekedro (rafinis per triangulado) anstataŭ la pli kutime uzita longitudo/latituda krado. Ĉi tiu havas la avantaĝo de (ebene, pare) distribuis spaca rezolucio sen (kuriozecoj, specialaĵoj, specialaĵas) (kio estas la (polusoj, polusas)) je la elspezo de io pli granda cifereca malfacilaĵo.

Geometrio de framaj strukturoj estas ofte bazita sur platonaj solidoj. En _MERO_ sistemo, Platonaj solidoj estas uzitaj por nomanta konvencio de diversa frama strukturo (konfigur(aĵ)oj, konfiguroj, konfiguras). Ekzemple ½O+T (ligas, referas) al (konfigur(aĵ)o, konfiguro) el duono de okedro kaj kvaredro.

Platonaj solidoj estas ofte uzita por fari ĵetkubo, ĉar ĵetkubo de ĉi tiuj (geometriaj figuroj, formoj, formas) povas esti farita (foiro, honesta). 6-flankita ĵetkubo estas tre komuna, sed la aliaj nombroj estas kutime uzita en rolludoj. Tia ĵetkubo estas kutime referita al kiel dn kie n estas la nombro de (vizaĝoj, edroj) (d8, d20, kaj tiel plu); vidi ĵetkubo (notacio, skribmaniero) por pli (detaloj, detalas).

Pluredra ĵetkubo estas ofte uzita en rolludoj.

Ĉi tiuj (geometriaj figuroj, formoj, formas) ofte montri supren en alia (ludoj, ludas) aŭ (enigmoj, enigmas). (Enigmoj, Enigmas) simila al Kubo de Rubik veni totale kvin (geometriaj figuroj, formoj, formas) — vidi magiaj pluredroj.

[redaktu] Rilatantaj pluredroj kaj (hipermultedroj, hipermultedras, hiperpluredroj, hiperpluredras)

[redaktu] Uniformaj pluredroj

Tie ekzisti kvar regulaj pluredroj kiu estas ne konveksa, nomitaj Solidoj de Keplero-Poinsot. Ĉi tiuj ĉiuj havi dudekedra simetrio kaj (majo, povas) esti ricevita kiel steligoj de la dekduedro kaj la dudekedro.

kubokedro

dudek-dekduedro

La venonta plej regulaj konveksaj pluredroj post la Platonaj solidoj estas la kubokedro, kiu estas _rectification_ de la kubo kaj la okedro, kaj la dudek-dekduedro, kiu estas _rectification_ de la dekduedro kaj la dudekedro (la _rectification_ de la (mem, sin)-duala kvaredro estas regula okedro). Ĉi tiuj estas ambaŭ kvazaŭ-regula signifo (tiu, ke, kiu) ili estas vertico- kaj rando-uniformo kaj havi regula (vizaĝoj, edroj), sed la (vizaĝoj, edroj) estas ne ĉiuj kongrua (venanta en du malsamaj klasoj). Ili (formo, formi) du de la dek tri Arĥimedaj solidoj, kiu estas la konveksaj uniformaj pluredroj kun pluredra simetrio.

La uniformaj pluredroj (formo, formi) multa pli larĝa klaso de pluredroj. Ĉi tiuj (ciferoj, ciferas, geometriaj figuroj, figuroj, figuras) estas vertico-uniformo kaj havi unu aŭ pli (klavas, specoj) de regula aŭ stelaj plurlateroj por (vizaĝoj, edroj). Ĉi tiuj inkluzivi ĉiuj pluredroj menciis pli supre kaj ankaŭ malfinia aro de prismoj, malfinia aro de malprismoj, kaj 53 alia ne-konveksa (formoj, formas).

La _Johnson_ solidoj estas konveksaj pluredroj kiu havi regula (vizaĝoj, edroj) sed estas ne uniformo.

[redaktu] _Tessellations_

La tri regula _tessellations_ de la ebeno estas proksime rilatanta al la Platonaj solidoj. Ja, unu povas vido la Platonaj solidoj kiel la kvin regula _tessellations_ de la sfero. Ĉi tiu estas farita per (projekcianta, projektanta) ĉiu solido sur samcentra sfero. La (vizaĝoj, edroj) (projekcii, projekto) sur regulaj sferaj plurlateroj kiu akurate kovri la sfero. Unu povas montri (tiu, ke, kiu) ĉiu regula _tessellation_ de la sfero estas karakterizita per paro de (entjeroj, entjeras, entjeraj) {p, q} kun 1/p + 1/q > 1/2. Ankaŭ, regula _tessellation_ de la ebeno estas karakterizita la kondiĉo 1/p + 1/q = 1/2. Estas tri eblecoj:

{4, 4} kiu kvadrato (kahelanta, kahelado),
{3, 6} kiu estas triangula (kahelanta, kahelado), kaj
{6, 3} kiu estas seslatera (kahelanta, kahelado) (duala al la triangula (kahelanta, kahelado)).

En simila maniero unu povas konsideri regula _tessellations_ de la hiperbola ebeno. Ĉi tiuj estas karakterizita la kondiĉo 1/p + 1/q < 1/2. Estas malfinia nombro de tia _tessellations_.

[redaktu] pli alta (dimensioj, dimensias)

En pli ol tri (dimensioj, dimensias), pluredroj ĝeneraligi al (hipermultedroj, hipermultedras). En la _mid_-19-a jarcento la (Svisa, Sviso) matematikisto _Ludwig_ Schläfli-a esplorita la kvar-dimensia analogaj de la Platonaj solidoj, nomita konveksa regula 4-(hipermultedroj, hipermultedras, hiperpluredroj, hiperpluredras). Estas akurate ses de ĉi tiuj (ciferoj, ciferas, geometriaj figuroj, figuroj, figuras); kvin estas analoga al la Platonaj solidoj, dum la sesa unu, la 24-ĉelo, havas ne suba-dimensia analoga.

En (dimensioj, dimensias) pli alta ol kvar, estas nur tri konveksa regula (hipermultedroj, hipermultedras, hiperpluredroj, hiperpluredras): la simpleco, la mezuri hiperpluredro, kaj la kruci-hiperpluredro. En tri (dimensioj, dimensias), ĉi tiuj koincidi kun la kvaredro, la kubo, kaj la okedro.

[redaktu] Vidu ankaŭ

Regula (hipermultedroj, hipermultedras, hiperpluredroj, hiperpluredras)
Listo de regula (hipermultedroj, hipermultedras, hiperpluredroj, hiperpluredras)
_Metatron_'s Kubo - simbolo de kiu la platonaj solidoj (majo, povas) esti derivita
Floro de Vivo - historia kaj religia simbolo de kiu _metatron_'s kubo (majo, povas) esti derivita

[redaktu] (Tononomoj, Notoj, Notas)

[redaktu] Referencoj

_Atiyah_, (Mikaelo, Miĥaelo); kaj _Sutcliffe_, (Paŭlo, Bono) (2003). "Polyhedra in Physics, Chemistry and Geometry - Pluredroj en Fiziko, Kemio kaj Geometrio". Milan J. Math - Milano J. Math 71: 33–58.
_Carl_, _Boyer_; _Merzbach_, _Uta_ (1989). A History of Mathematics - Historio de Matematiko, 2-a ed., Wiley - _Wiley_. ISBN 0-471-54397-7.
_Coxeter_, H. S. Sinjoro (1973). Regular Polytopes - Regula (Hipermultedroj, Hipermultedras, Hiperpluredroj, Hiperpluredras), 3-a ed., (Nov-Jorkio, Novjorko): Dover Publications - Dovero (Eldonoj, Eldonas). ISBN 0-486-61480-8.
Eŭklido (1956). Erikejo, Tomaso L.: The Thirteen Books of Euclid's Elements, Books 10–13 - La Dek tri (Libroj, Mendas) de Elementoj de Eŭklido, (Libroj, Mendas) 10–13, 2-a _unabr_. ed., (Nov-Jorkio, Novjorko): Dover Publications - Dovero (Eldonoj, Eldonas). ISBN 0-486-60090-4.
_Haeckel_, E. (1904). _Kunstformen_ _der_ _Natur_. Havebla kiel _Haeckel_, E. (1998); Arto (formoj, formas) en naturo, _Prestel_ Usono. ISBN 3-7913-1990-6, aŭ surlinia je [1].
_Weyl_, _Hermann_ (1952). Symmetry - Simetrio. _Princeton_, NJ: Princeton University Press - Universitata Princeton Premi. ISBN 0-691-02374-3.

[redaktu] Eksteraj ligiloj

Ŝablono:Mathworld
Libro _XIII_ de Eŭklida Eroj.
Interaga 3D Pluredroj en Javo
Platonaj Solidoj Interaga (desegnita filmo, animacio).
Platonaj Solidoj Papero (modelas, modeloj)(retoj)
Kleriga ludila sistemo de Platonaj Solidoj magneta (baras, ŝtipoj, ŝtipas, kojnoj, kojnas, blokoj, blokas)

Elŝutita el "http://eo.wikipedia.org../../../p/r/o/Vikipedio%7EProjekto_matematiko_Platona_solido_9e6b.html"

Kategorioj: Artikoloj por polurado kaj movo | Platonaj solidoj | Pluredroj