Vikipedio:Projekto matematiko/Punktaj grupoj en tri dimensioj

El Vikipedio

Ĉi tiu artikolo montras stilajn aŭ/kaj gramatikajn aŭ/kaj strukturajn problemojn kaj bezonas poluradon por konformi al pli bona nivelo de kvalito. Post plibonigo movu la artikolon al
Punktaj grupoj en tri dimensioj
(eble la nomo mem bezonas korekton) Se la ligo estas ruĝa, vi povas movi la artikolon. Se la ligo estas blua, la alia artikolo pri la temo jam ekzistas kaj tiun kaj ĉi tiun artikolon necasas kunigi.

En geometrio punkta grupo en 3D estas izometria grupo en tri (dimensioj, dimensias) (tiu, ke, kiu) lasas la fonto (fiksis, neŝanĝebligita), aŭ (responde, korespondante, respektive), izometria grupo de sfero. Ĝi estas subgrupo de la perpendikulara grupa O(3), la grupo de ĉiuj (izometrioj, izometrias) kiu lasi la fonto (fiksis, neŝanĝebligita), aŭ (responde, korespondante, respektive), la grupo de perpendikularaj matricoj. O(3) sin estas subgrupo de la Eŭklida grupo E(3) de ĉiuj (izometrioj, izometrias).

Geometriaj simetriaj grupoj de (objektoj, objektas) estas izometriaj grupoj. Laŭe, analitiko de izometriaj grupoj estas analitiko de eblaj simetrioj. Ĉiuj (izometrioj, izometrias) de barita 3D objekto havi unu aŭ pli komunaj fiksaj punktoj. Ni elekti la fonto je unu de ilin.

La geometria simetria grupo de objekto estas iam ankaŭ (nomita, vokis) plena geometria simetria grupo, kiel kontraŭ ĝia rotacia grupo aŭ pozitiva geometria simetria grupo, la komunaĵo de ĝia plena geometria simetria grupo kaj la rotacia grupa So(3) de la 3D spaca sin. La rotacia grupo de objekto estas egala al ĝia plena geometria simetria grupo se kaj nur se la objekto estas _chiral_.

[redaktu] Grupa strukturo

So(3) estas subgrupo de E⁺(3), kiu konsistas de direkto (izometrioj, izometrias), kio estas, (izometrioj, izometrias) konfitanta orientiĝo; ĝi enhavas tiuj kiu lasi la fonto (fiksis, neŝanĝebligita).

O(3) estas la direkto (produkto, produto) de So(3) kaj la grupo generita per inversigo (signifis per ĝia matrico −Mi):

O(3) = So(3) × { Mi , −Mi }

Tial estas 1-al-1 rilato inter ĉiu direkto (izometrioj, izometrias) kaj ĉiuj malrekta (izometrioj, izometrias), tra inversigo. Ankaŭ estas 1-al-1 rilato inter ĉiuj (grupoj, grupas) de direkto (izometrioj, izometrias) H kaj ĉiuj (grupoj, grupas) K de (izometrioj, izometrias) kiu enhavi inversigo:

K = H × { Mi , −Mi }

H = K ∩ So(3)

Se grupo de direkto (izometrioj, izometrias) H havas subgrupo L de indekso 2, tiam, krom la (korespondanta, respektiva) grupa enhavanta inversigo estas ankaŭ (korespondanta, respektiva) grupo (tiu, ke, kiu) enhavas malrekta (izometrioj, izometrias) sed ne inversigo:

M = L ∪ ( (H \ L) × { − Mi } )

kie izometrio ( A , Mi ) estas (identigita, identigita) kun A.

Tial M estas ricevita de H per inversiganta la (izometrioj, izometrias) en H \ L. Ĉi tiu grupo M estas kiel abstrakta grupo izomorfia kun H. Male, por ĉiuj izometriaj grupoj kiu enhavi malrekta (izometrioj, izometrias) sed ne inversigo ni povas ricevi rotacia grupo per inversiganta la malrekta (izometrioj, izometrias). Ĉi tiu estas klariganta kiam _categorizing_ izometriaj grupoj, vidi pli sube.

En 2D la cikla grupo de kOblo (rotacioj, rotacias, turnadoj, turnadas) C_k estas por ĉiu pozitiva entjero k normala subgrupo de O(2,R) kaj So(2,R). Laŭe, en 3D, por ĉiu akso la cikla grupo de kOblo (rotacioj, rotacias, turnadoj, turnadas) pri (tiu, ke, kiu) akso estas normala subgrupo de la grupo de ĉiuj (rotacioj, rotacias, turnadoj, turnadas) pri (tiu, ke, kiu) akso, kaj ankaŭ de la grupo ricevis per adicianta (reflektoj, reflektas) en (planoj, ebenoj, ebenas, rabotas) tra la akso.

[redaktu] 3D (izometrioj, izometrias) kiu lasi la fonto (fiksis, neŝanĝebligita)

La (izometrioj, izometrias) de R³ kiu lasi la fonto (fiksis, neŝanĝebligita), (formante, formanta) la grupa O(3,R), povas esti _categorized_ kiel sekvas:

So(3,R):
- idento
- turnado pri akso tra la fonto per angulo ne egala al 180°
- turnado pri akso tra la fonto per angulo de 180°
la sama kun inversigo (x estas mapita al −x), kio estas respektive:
- inversigo
- turnado pri akso per angulo ne egala al 180°, kombinita kun reflekto en la ebeno tra la fonto kiu estas (perpendikularo, ortanto, orta, perpendikulara) al la akso
- reflekto en ebeno tra la fonto

La 4-a kaj 5-a en aparta, kaj en pli larĝa (senso, senco) la _6th_ ankaŭ, estas (nomita, vokis) nepropraj turnadoj.

Vidi ankaŭ la simila ĝenerala priskribo inkluzivanta (tradukoj, tradukas, translacioj, translacias).

[redaktu] _Conjugacy_

Kiam (komparanta, kontrastiganta) la simetria tipo de du (objektoj, objektas), la fonto estas elektita por ĉiu aparte, kio estas ili (bezoni, bezono, necesa) ne havi la sama centro. Ankaŭ, du (objektoj, objektas) estas (konsiderita, konsideris) al esti de la sama simetria tipo se iliaj geometriaj simetriaj grupoj estas konjugitoj de O(3) (du (subgrupoj, subgrupas) H₁, H₂ de grupo G estas konjugita, se tie ekzistas g ∈ G tia (tiu, ke, kiu) H₁=g^-1H₂g ).

Tial du 3D (objektoj, objektas) havi la sama simetria tipo:

se ambaŭ havi spegula simetrio, sed kun respekto al malsama spegula ebeno
se ambaŭ havi 3Obla turna simetrio, sed kun respekto al malsama akso

Ĉe multa spegulo (planoj, ebenoj, ebenas, rabotas) kaj/aŭ (hakiloj, hakas) de turnado, du geometriaj simetriaj grupoj aŭ de la sama simetria tipo se kaj nur se estas sola turnada surĵeto ĉi tiu tuta strukturo de la unua geometria simetria grupo al (tiu, ke, kiu) de la (sekundo, dua). La _conjugacy_ difino devus ankaŭ permesi spegula bildo de la strukturo, sed ĉi tiu estas ne (bezonata, bezonis), la struktura sin estas _achiral_. Ekzemple, se geometria simetria grupo enhavas 3Obla rotacia akso, ĝi enhavas (rotacioj, rotacias, turnadoj, turnadas) en du kontraŭa (direktoj, instrukcio). (La strukturo estas _chiral_ por 11 (paroj, paras) de spacaj grupoj kun ŝraŭba akso.)

[redaktu] Malfiniaj izometriaj grupoj

Ni limigi nin mem al izometriaj grupoj kiu estas (fermita, fermis) kiel topologia subgrupo de O(3). Ĉi tiu ekskludas ekzemple la grupo de (rotacioj, rotacias, turnadoj, turnadas) per neracionala nombro de (kurbiĝoj, kurbiĝas, turnas, tornas, kurbigas) pri akso.

La tuta O(3) estas la geometria simetria grupo de sfera simetrio; So(3) estas la (korespondanta, respektiva) rotacia grupo. La aliaj malfiniaj izometriaj grupoj konsisti el ĉiuj (rotacioj, rotacias, turnadoj, turnadas) pri akso tra la fonto, kaj tiuj kun (cetere, aldone) reflekto en la (planoj, ebenoj, ebenas, rabotas) tra la akso, kaj/aŭ reflekto en la ebeno tra la fonto, (perpendikularo, ortanto, orta, perpendikulara) al la akso. Tiuj kun reflekto en la (planoj, ebenoj, ebenas, rabotas) tra la akso, kun aŭ sen reflekto en la ebeno tra la fonto, (perpendikularo, ortanto, orta, perpendikulara) al la akso, estas la geometriaj simetriaj grupoj por la du (klavas, tipoj) de cilindra simetrio.

Vidi ankaŭ turna simetrio kun respekto al (ĉiu, iu) angulo.

[redaktu] Finiaj izometriaj grupoj

Por punktaj grupoj, estante finia korespondas al estante diskreta; malfiniaj diskretaj grupoj kiel ĉe mova simetrio kaj gliti reflekta simetrio ne apliki.

Simetrioj en 3D (tiu, ke, kiu) lasi la fonto (fiksis, neŝanĝebligita) estas plene karakterizita per simetrioj sur sfero centrita je la fonto. Por finia 3D punktaj grupoj, vidi ankaŭ sferaj geometriaj simetriaj grupoj.

Supren al _conjugacy_ la aro de finia 3D punktaj grupoj konsistas de:

7 malfinia serio kun maksimume plia-ol-2Obla turnada akso; ili estas la finiaj geometriaj simetriaj grupoj sur malfinia cilindro, aŭ ekvivalente, tiuj sur finia cilindro.
7 punktaj grupoj kun multaj 3Isto-pliObla turnado (hakiloj, hakas); ili povas ankaŭ esti karakterizita kiel punktaj grupoj kun multaj 3Obla turnado (hakiloj, hakas), ĉar ĉiuj 7 inkluzivi ĉi tiuj (hakiloj, hakas); kun estimo al 3Isto-pliObla turnado (hakiloj, hakas) la ebla (kombinaĵoj, kombinaĵas) estas:
- 4×3
- 4×3 kaj 3×4
- 10×3 kaj 6×5

(Areo, Elektado) de punktaj grupoj estas kongrua kun diskreta mova simetrio: 27 de la 7 malfinia serio, kaj 5 de la 7 aliaj, la 32 (do, tiel)-(nomita, vokis) kristalografiaj punktaj grupoj. Vidi ankaŭ la kristalografia limiga teoremo.

[redaktu] La sep malfinia serio

La malfinia serio havi indekso n, kiu povas esti (ĉiu, iu) entjero; en ĉiu serio, la n(th, -a) geometria simetria grupo enhavas nObla turna simetrio pri akso, kio estas simetrio kun respekto al turnado per angulo 360°/n. n=1 kovras la (okazoj, skatoloj, kestoj, kestas, okazas) de ne turna simetrio ajn. Estas kvar serio sen alia (hakiloj, hakas) de turna simetrio, vidi ciklaj simetrioj, kaj tri kun aldona (hakiloj, hakas) de 2Obla simetrio, vidi _dihedral_ simetrio.

Por n = $\infty$ ili esti konforma laŭ la frisaj grupoj. _Schönflies_ (notacio, skribmaniero) estas uzita, kaj, en (krampo, parantezoj), _Conway_'s _orbifold_ (notacio, skribmaniero); la lasta estas ne nur oportune rilatanta al ĝiaj propraĵoj, sed ankaŭ al la (mendi, ordo) de la grupo, vidi pli sube; ĝi estas (unueca, samspecigis) (notacio, skribmaniero), ankaŭ aplikebla por papertapetaj grupoj kaj frisaj grupoj.

La 7 malfinia serio estas:

C_n (_nn_ ) de (mendi, ordo) n - nObla turna simetrio (abstrakta grupo Z_n ); por n = 1: ne simetrio (bagatela grupo)
C_{_nh_} (n* ) de (mendi, ordo) 2n (por nepara n abstrakta grupo Z_{_2n_} = Z_n × Z₂ , por (eĉ, ebena, para) n abstrakta grupo Z_n × Z₂ )
C_{_nv_} (*_nn_ ) de (mendi, ordo) 2n - piramida simetrio (abstrakta grupo _Dih__n ); en biologio C_{_2v_} estas (nomita, vokis) _biradial_ simetrio.
D_n (22n ) de (mendi, ordo) 2n - _dihedral_ simetrio (abstrakta grupo _Dih__n )
S_{_2n_} (nx ) de (mendi, ordo) 2n (ne al esti konfuzita kun simetriaj grupoj, por kiu la sama (notacio, skribmaniero) estas uzita; abstrakta grupo Z_{_2n_} )
D_{_nh_} (*22n ) de (mendi, ordo) 4n - prisma simetrio (por nepara n abstrakta grupo _Dih__{_2n_} = _Dih__n × Z₂ ; por (eĉ, ebena, para) n abstrakta grupo _Dih__n × Z₂ )
D_{_nd_} (aŭ D_{_nv_} ) (2*n ) - _antiprismatic_ simetrio de (mendi, ordo) 4n (abstrakta grupo _Dih__{_2n_} )

La (termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas) horizontalo (h) kaj vertikala (v) estas uzitaj kun respekto al vertikala rotacia akso.

_Involutional_ simetrio (abstrakta grupo Z₂ ):

C_mi - inversiga simetrio
C₂ - 2Obla turna simetrio
C_s - reflekta simetrio, ankaŭ (nomita, vokis) ambaŭflanka simetrio.

La (sekundo, dua) de ĉi tiuj estas la unua de la _uniaxial_ (grupoj, grupas) (ciklaj grupoj) C_n de (mendi, ordo) n (ankaŭ aplikebla en 2D), kiu estas generita per sola turnado de angulo 360°/n. Aldone al ĉi tiu, unu (majo, povas) adicii spegula ebeno (perpendikularo, ortanto, orta, perpendikulara) al la akso, donanta la grupo C_{_nh_} de (mendi, ordo) 2n, aŭ aro de n spegulo (planoj, ebenoj, ebenas, rabotas) enhavanta la akso, donanta la grupo C_{_nv_}, ankaŭ de (mendi, ordo) 2n. La lasta estas la geometria simetria grupo por regula n-flankita piramido.

Se ambaŭ horizontalo kaj vertikala reflekto (planoj, ebenoj, ebenas, rabotas) estas adiciita, ilia (komunaĵoj, komunaĵas, intersekcoj, intersekcas) doni n (hakiloj, hakas) de turnado tra 180°, (do, tiel) la grupo estas jam ne _uniaxial_. Ĉi tiu nova grupo de (mendi, ordo) 4n estas (nomita, vokis) D_{_nh_}. Ĝia subgrupo de (rotacioj, rotacias, turnadoj, turnadas) estas la _dihedral_ grupo D_n de (mendi, ordo) 2n kiu ankoraŭ havas la 2Obla turnado (hakiloj, hakas) (perpendikularo, ortanto, orta, perpendikulara) al la primara turnada akso, sed ne spegulo (planoj, ebenoj, ebenas, rabotas). (Tononomo, Noto, Noti) (tiu, ke, kiu) en 2D D_n inkluzivas (reflektoj, reflektas), kiu povas ankaŭ esti vidita kiel klakanta super (plata, apartamento) (objektoj, objektas) sendistinge de antaŭo- kaj pugo, sed en 3D la du (operacioj, operacias) estas (distingita, invarianta, memkonjugita, normala, diferencigis): la grupo enhavas "klakanta super", ne (reflektoj, reflektas).

Estas plia grupo en ĉi tiu familio, (nomita, vokis) D_{_nd_} (aŭ D_{_nv_}), kiu havas vertikala spegulo (planoj, ebenoj, ebenas, rabotas) enhavanta la ĉefa turnada akso, sed anstataŭ havanta horizontala spegula ebena ĝi havas izometrio kiu estas la kombinaĵo de reflekto en la horizontala ebeno kaj turnado per angulo 180°/n. D_{_nh_} estas la geometria simetria grupo por regula n-flankita (prismoj, prismas) kaj ankaŭ por regula n-flankita dupiramido. D_{_nd_} estas la geometria simetria grupo por regula n-flankita malprismo, kaj ankaŭ por regula n-flankita _trapezohedron_. D_n estas la geometria simetria grupo de parte turnis prismo.

S_n estas generita per la kombinaĵo de reflekto en la horizontala ebeno kaj turnado per angulo 360°/n. Por n nepara ĉi tiu estas egala al la grupo generita per la du aparte, C_{_nh_} de (mendi, ordo) 2n, kaj pro tio la (notacio, skribmaniero) S_n estas ne (bezonata, bezonis); tamen, por n (eĉ, ebena, para) ĝi estas klara, kaj de (mendi, ordo) n. Ŝati D_{_nd_} ĝi enhavas nombro de nepropraj turnadoj sen enhavanta la (korespondanta, respektiva) (rotacioj, rotacias, turnadoj, turnadas).

Ĉiuj geometriaj simetriaj grupoj en la 7 malfinia serio estas malsama, krom jeno kvar (paroj, paras) de reciproke egalaj aĵoj:

C_{_1h_} kaj C_{_1v_}: grupo de (mendi, ordo) 2 kun sola reflekto (C_s )
C₂ kaj D₁_{: grupo de (mendi, ordo) 2 kun sola 180° turnado}
_{D_{_1h_} kaj C_{_2v_}: grupo de (mendi, ordo) 4 kun reflekto en ebeno kaj 180° turnado tra linio en (tiu, ke, kiu) ebeno}
D_{_1d_} kaj C_{_2h_}: grupo de (mendi, ordo) 4 kun reflekto en ebeno kaj 180° turnado tra linio (perpendikularo, ortanto, orta, perpendikulara) al (tiu, ke, kiu) ebeno

S₂ estas la grupo de (mendi, ordo) 2 kun sola inversigo (C_mi )

"Egala" estas intencita ĉi tie kiel la sama supren al _conjugacy_ en spaco. Ĉi tiu estas pli forta ol "supren al algebra izomorfio". Ekzemple, estas tri malsama (grupoj, grupas) de (mendi, ordo) du en la unua (senso, senco), sed estas nur unu en la (sekundo, dua) (senso, senco). Simile, e.g. S_{_2n_} estas algebre izomorfia kun Z_{_2n_}.

[redaktu] La sep ceteraj punktaj grupoj

La ceteraj punktaj grupoj estas dirita al esti de tre alta aŭ multedra simetrio ĉar ili havi pli ol unu turnada akso de (mendi, ordo) pli granda ol 2. Uzanta C_n al signifi rotacia akso tra 360°/n kaj S_n al signifi akso de nepropra turnado tra la sama, la (grupoj, grupas) estas:

T (332) de (mendi, ordo) 12 - _chiral_ kvaredra simetrio. Estas kvar C₃ (hakiloj, hakas), ĉiu tra du verticoj de kubo (korpaj diagonaloj) aŭ unu de regula kvaredro, kaj tri C₂ (hakiloj, hakas), tra la centroj de la kuba (vizaĝoj, edroj, vizaĝas, edras), aŭ la (mezpunktoj, mezpunktas) de la kvaredraj randoj. Ĉi tiu grupo estas izomorfia al A₄, la alterna grupo sur 4 eroj, kaj estas la rotacia grupo por regula kvaredro.

T_d (*332) de (mendi, ordo) 24 - plena kvaredra simetrio. Ĉi tiu grupo havas la sama turnado (hakiloj, hakas) kiel T, sed kun ses spegulo (planoj, ebenoj, ebenas, rabotas), ĉiu enhavanta du randoj de la kubo aŭ unu rando de la kvaredro, sola C₂ akso kaj du C₃ (hakiloj, hakas). La C₂ (hakiloj, hakas) estas nun reale S₄ (hakiloj, hakas). Ĉi tiu grupo estas la geometria simetria grupo por regula kvaredro. T_d estas izomorfia al S₄, la simetria grupo sur 4 (leteroj, literoj, leteras, literas). Vidi ankaŭ la (izometrioj, izometrias) de la regula kvaredro.

T_h (3*2) de (mendi, ordo) 24 - _pyritohedral_ simetrio. Ĉi tiu grupo havas la sama turnado (hakiloj, hakas) kiel T, kun spegulo (planoj, ebenoj, ebenas, rabotas) paralelo al la (kuboj, kubas) (vizaĝoj, edroj, vizaĝas, edras). La C₃ (hakiloj, hakas) iĝi S₆ (hakiloj, hakas), kaj estas inversiga simetrio. T_h estas izomorfia al A₄ × C₂. Ĝi estas la simetrio de kubo kun sur ĉiu (vizaĝo, edro) (segmento de linio, segmento, streko) dividanta la (vizaĝo, edro) enen du egalaj ortanguloj, tia (tiu, ke, kiu) la segmentoj de najbara (vizaĝoj, edroj, vizaĝas, edras) ne verigi je la rando. La simetrioj esti konforma laŭ la (eĉ, ebena, para) (permutoj, permutas) korpaj diagonaloj kaj la sama kombinita kun inversigo. Ĝi estas ankaŭ la simetrio de _pyritohedron_ [1], kiu estas simila al la kubo priskribis, kun ĉiu ortangulo (anstataŭigita, anstataŭigis) per kvinlatero kun unu simetria akso kaj 4 egalaj flankoj kaj 1 malsama flanko (la unu (korespondanta, respektiva) al la (segmento de linio, segmento, streko) dividanta la kuba (vizaĝo, edro)); kio estas, la kuba (vizaĝoj, edroj, vizaĝas, edras) tubero ekster je la dividanta linio kaj iĝi pli mallarĝa tie. Ĝi estas subgrupo de la plena _icosahedral_ geometria simetria grupo (kiel izometria grupo, ne (justa, ĵus) kiel abstrakta grupo), kun 4 de la 10 3Oblo (hakiloj, hakas).

O (432) de (mendi, ordo) 24 - _chiral_ okedra simetrio. Ĉi tiu grupo estas ŝati T, sed la C₂ (hakiloj, hakas) estas nun C₄ (hakiloj, hakas), kaj (cetere, aldone) estas 6 C₂ (hakiloj, hakas), tra la (mezpunktoj, mezpunktas) de la randoj de la kubo. Ĉi tiu grupo estas ankaŭ izomorfia al S₄, kaj estas la rotacia grupo de la kubo kaj okedro.

O_h (*432) de (mendi, ordo) 48 - plena okedra simetrio. Ĉi tiu grupo havas la sama turnado (hakiloj, hakas) kiel O, sed kun spegulo (planoj, ebenoj, ebenas, rabotas), ampleksanta ambaŭ la spegulo (planoj, ebenoj, ebenas, rabotas) de T_d kaj T_h. Ĉi tiu grupo estas izomorfia al S₄ × C₂, kaj estas la geometria simetria grupo de la kubo kaj okedro. Vidi ankaŭ la (izometrioj, izometrias) de la kubo.

Mi (532) de (mendi, ordo) 60 - _chiral_ _icosahedral_ simetrio; la rotacia grupo de la dudekedro kaj la dek-duedro. Ĝi estas normala subgrupo de indekso 2 en la plena grupo de simetrioj Mi_h. La grupo Mi estas izomorfia al A₅, la alterna grupo sur 5 (leteroj, literoj, leteras, literas). La grupo enhavas 10 (versioj, versias) de D₃ kaj 6 (versioj, versias) de D₅ (turnaj simetrioj ŝati (prismoj, prismas) kaj (malprismoj, malprismas)).

Mi_h (*532) de (mendi, ordo) 120 - plena _icosahedral_ simetrio; la geometria simetria grupo de la dudekedro kaj la dek-duedro. La grupo Mi_h estas izomorfia al A₅ × C₂. La grupo enhavas 10 (versioj, versias) de D_{_3d_} kaj 6 (versioj, versias) de D_{_5d_} (simetrioj ŝati (malprismoj, malprismas)).

[redaktu] Rilato inter _orbifold_ (notacio, skribmaniero) kaj (mendi, ordo)

La (mendi, ordo) de ĉiu grupo estas 2 (dividita, dividis) per la _orbifold_ Eŭlera karakterizo; la lasta estas 2 minus la (sumo, sumi) de la esprimilo (valoroj, valoras), asignita kiel sekvas:

n sen aŭ antaŭ * (grafoj, grafas) kiel (n−1)/n
n post * (grafoj, grafas) kiel (n−1)/(2n)
* kaj x grafo kiel 1

Ĉi tiu povas ankaŭ esti aplikita por papertapetaj grupoj kaj frisaj grupoj: por ilin, la (sumo, sumi) de la esprimilo (valoroj, valoras) estas 2, donanta malfinio (mendi, ordo); vidi _orbifold_ Eŭlera karakterizo por papertapetaj grupoj

[redaktu] Rotaciaj grupoj

La rotaciaj grupoj, kio estas la finia (subgrupoj, subgrupas) de So(3), estas: la ciklaj grupoj C_n (la rotacia grupo de regula piramido), la _dihedral_ (grupoj, grupas) D_n (la rotacia grupo de regula prismo, aŭ regula dupiramido), kaj la rotaciaj grupoj T, O kaj Mi de regula kvaredro, okedro/kubo kaj dudekedro/dek-duedro.

En aparta, la _dihedral_ (grupoj, grupas) D₃, D₄ kaj tiel plu estas la rotaciaj grupoj de ebeno regula (poligonoj, poligonas) enigita en tri-dimensia spaco, kaj tia (cifero, figuro) (majo, povas) esti konsiderata kiel degeneri regula prismo. Pro tia ĝi estas ankaŭ (nomita, vokis) duedro (Greko: solido kun du (vizaĝoj, edroj, vizaĝas, edras)), kiu eksplikas la nomo _dihedral_ grupo.

Objekto kun geometria simetria grupo C_n, C_{_nh_}, C_{_nv_} aŭ S_{_2n_} havas rotacia grupo C_n.
Objekto kun geometria simetria grupo D_n, D_{_nh_}, aŭ D_{_nd_} havas rotacia grupo D_n.
Objekto kun unu de la alia sep geometriaj simetriaj grupoj havas kiel rotacia grupo la (korespondanta, respektiva) unu sen suba indico: T, O aŭ Mi.

La rotacia grupo de objekto estas egala al ĝia plena geometria simetria grupo se kaj nur se la objekto estas _chiral_. En alia (vortoj, vortas), la _chiral_ (objektoj, objektas) estas tiuj kun ilia geometria simetria grupo en la listo de rotaciaj grupoj.

[redaktu] Rilato inter rotaciaj grupoj kaj alia (grupoj, grupas)

Jeno (grupoj, grupas) enhavi inversigo:

C_{_nh_} kaj D_{_nh_} por (eĉ, ebena, para) n
S_2n kaj D_{_nd_} por nepara n (S₂ = C_mi estas la grupo generita per inversigo; D_{_1d_} = C_{_2h_)}
_{T_h, O_h, kaj Mi_h}

Kiel eksplikis pli supre, estas 1-al-1 rilato inter ĉi tiuj (grupoj, grupas) kaj ĉiuj rotaciaj grupoj:

C_{_nh_} por (eĉ, ebena, para) n kaj S_2n por nepara n esti konforma laŭ C_n
D_{_nh_} por (eĉ, ebena, para) n kaj D_{_nd_} por nepara n esti konforma laŭ D_n
T_h, O_h, kaj Mi_h esti konforma laŭ T, O, kaj Mi, respektive.

La alia (grupoj, grupas) enhavi malrekta (izometrioj, izometrias), sed ne inversigo:

C_{_nv_}
C_{_nh_} kaj D_{_nh_} por nepara n
S_2n kaj D_{_nd_} por (eĉ, ebena, para) n
T_d

Ili ĉiuj esti konforma laŭ rotacia grupo H kaj subgrupo L de indekso 2 en la (senso, senco) (tiu, ke, kiu) ili estas ricevita de H per inversiganta la (izometrioj, izometrias) en H \ L, kiel eksplikis pli supre:

C_n estas subgrupo de D_n de indekso 2, donanta C_{_nv_}
C_n estas subgrupo de C_{_2n_} de indekso 2, donanta C_{_nh_} por nepara n kaj S_2n por (eĉ, ebena, para) n
D_n estas subgrupo de D_{_2n_} de indekso 2, donanta D_{_nh_} por nepara n kaj D_{_nd_} por (eĉ, ebena, para) n
T estas subgrupo de O de indekso 2, donanta T_d

[redaktu] Maksimumaj simetrioj

Estas du diskretaj punktaj grupoj kun la propraĵo (tiu, ke, kiu) ne diskreta punkta grupo havas ĝi kiel pozitiva subgrupo: O_h kaj Mi_h. Ilia plej granda komuna subgrupo estas T_h. La du (grupoj, grupas) estas ricevita de ĝi per ŝanĝanta 2Obla turna simetrio al 4Oblo, kaj adicianta 5Obla simetrio, respektive. Alternative la du (grupoj, grupas) estas generita per adicianta por ĉiu reflekta ebeno al T_h.

Estas du kristalografiaj punktaj grupoj kun la propraĵo (tiu, ke, kiu) ne kristalografia punkta grupo havas ĝi kiel pozitiva subgrupo: O_h kaj D_{_6h_}. Ilia maksimuma komuna (subgrupoj, subgrupas), dependanta sur orientiĝo, estas D_{_3d_} kaj D_{_2h_}.

[redaktu] La (grupoj, grupas) aranĝita per abstrakta grupa tipo

Pli sube la (grupoj, grupas) eksplikita pli supre estas aranĝita per abstrakta grupa tipo.

La (plej minuskla, plej malgranda) abstrakta (grupoj, grupas) kiu estas ne (ĉiu, iu) geometria simetria grupo en 3D, estas la _quaternion_ grupo (de (mendi, ordo) 8), la _dicyclic_ grupo _Dic_₃ (de (mendi, ordo) 12), kaj 10 de la 14 (grupoj, grupas) de (mendi, ordo) 16.

La kolumno "# de (mendi, ordo) 2 eroj" en jeno (baremoj, baremas, tabeloj, tabelas, tabloj, tablas) montras la tuteca nombro de izometrio (subgrupoj, subgrupas) de (klavas, tipoj) C₂ , C_mi , C_s. Ĉi tiu tuteca nombro estas unu de la (karakterizoj, karakterizas) helpanta al (distingi, diferencigi) la diversa abstrakta grupo (klavas, tipoj), dum ilia izometria tipo helpas al (distingi, diferencigi) la diversaj izometriaj grupoj de la sama abstrakta grupo.

En la eblecoj de izometriaj grupoj en 3D, estas malfinie multa abstrakta grupo (klavas, tipoj) kun 0, 1 kaj 3 eroj de (mendi, ordo) 2, estas du kun 2n + 1 eroj de (mendi, ordo) 2, kaj estas tri kun 2n + 3 eroj de (mendi, ordo) 2 (por ĉiu n ≥ 2 ). Estas neniam pozitiva (eĉ, ebena, para) nombro de eroj de (mendi, ordo) 2.

[redaktu] Geometriaj simetriaj grupoj en 3D kiu estas cikla kiel abstrakta grupo

La geometria simetria grupo por nObla turna simetrio estas C_n; ĝia abstrakta grupa tipo estas cikla grupo Z_n , kiu estas ankaŭ signifis per C_n. Tamen, estas du pli malfinia serio de geometriaj simetriaj grupoj kun ĉi tiu abstrakta grupa tipo:

Por (eĉ, ebena, para) (mendi, ordo) 2n estas la grupo S_{_2n_} (_Schoenflies_ (notacio, skribmaniero)) generita per turnado per angulo 180°/n pri akso, kombinita kun reflekto en la ebeno (perpendikularo, ortanto, orta, perpendikulara) al la akso. Por S₂ la (notacio, skribmaniero) C_mi estas uzita; ĝi estas generita per inversigo.
Por (ĉiu, iu) (mendi, ordo) 2n kie n estas nepara, ni havi C_{_nh_}; ĝi havas n-obla turnada akso, kaj (perpendikularo, ortanto, orta, perpendikulara) ebeno de reflekto. Ĝi estas generita per turnado per angulo 360°/n pri la akso, kombinita kun la reflekto. Por C_{_1h_} la (notacio, skribmaniero) C_s estas uzita; ĝi estas generita per reflekto en ebeno.

Tial ni havi, kun _bolding_ de la 10 ciklaj kristalografiaj punktaj grupoj, por kiu la kristalografia limigo aplikas:

(Mendi, Ordo)	Izometriaj grupoj	Abstrakta grupo	# de (mendi, ordo) 2 eroj
1	C₁	Z₁	0
2	C₂ , C_mi , C_s	Z₂	1
3	C₃	Z₃	0
4	C₄ , S₄	Z₄	1
5	C₅	Z₅	0
6	C₆ , S₆ , C_{_3h_}	Z₆ = Z₃ × Z₂	1
7	C₇	Z₇	0
8	C₈ , S₈	Z₈	1
9	C₉	Z₉	0
10	C₁₀ , S₁₀ , C_{_5h_}	Z₁₀ = Z₅ × Z₂	1

kaj tiel plu

[redaktu] Geometriaj simetriaj grupoj en 3D kiu estas _dihedral_ kiel abstrakta grupo

En 2D _dihedral_ grupo D_n inkluzivas (reflektoj, reflektas), kiu povas ankaŭ esti vidita kiel klakanta super (plata, apartamento) (objektoj, objektas) sendistinge de antaŭo- kaj pugo.

Tamen, en 3D la du (operacioj, operacias) estas (distingita, invarianta, memkonjugita, normala, diferencigis): la geometria simetria grupo signifis per D_n enhavas n 2Oblo (hakiloj, hakas) (perpendikularo, ortanto, orta, perpendikulara) al la nObla akso, ne (reflektoj, reflektas). D_n estas la rotacia grupo de la n-flankita prismo kun regula bazo, kaj n-flankita dupiramido kun regula bazo, kaj ankaŭ de regula, n-flankita malprismo kaj de regula, n-flankita _trapezohedron_. La grupo estas ankaŭ la plena geometria simetria grupo de tia (objektoj, objektas) post farante ilin _chiral_ per e.g. identa _chiral_ markanta sur ĉiu (vizaĝo, edro), aŭ iu ŝanĝo en la formo.

La abstrakta grupa tipo estas _dihedral_ grupo _Dih__n, kiu estas ankaŭ signifis per D_n. Tamen, estas tri pli malfinia serio de geometriaj simetriaj grupoj kun ĉi tiu abstrakta grupa tipo:

C_{_nv_} de (mendi, ordo) 2n, la geometria simetria grupo de regula n-flankita piramido
D_{_nd_} de (mendi, ordo) 4n, la geometria simetria grupo de regula n-flankita malprismo
D_{_nh_} de (mendi, ordo) 4n por nepara n. Por n = 1 ni preni D₂, jam kovris pli supre, (do, tiel) n ≥ 3.

(Tononomo, Noto, Noti) jena propraĵo:

_Dih__{_4n_+2} $\cong$ _Dih__{_2n_+1} × Z₂

Tial ni havi, kun _bolding_ de la 12 kristalografiaj punktaj grupoj, kaj skribanta D_{_1d_} kiel la ekvivalento C_{_2h_}:

(Mendi, Ordo)	Izometriaj grupoj	Abstrakta grupo	# de (mendi, ordo) 2 eroj
4	D₂ , C_{_2v_} , C_{_2h_}	_Dih_₂ = Z₂ × Z₂	3
6	D₃ , C_{_3v_}	_Dih_₃	3
8	D₄ , C_{_4v_} , D_{_2d_}	_Dih_₄	5
10	D₅ , C_{_5v_}	_Dih_₅	5
12	D₆ , C_{_6v_} , D_{_3d_} , D_{_3h_}	_Dih_₆ = _Dih_₃ × Z₂	7
14	D₇ , C_{_7v_}	_Dih_₇	7
16	D₈ , C_{_8v_} , D_{_4d_}	_Dih_₈	9
18	D₉ , C_{_9v_}	_Dih_₉	9

kaj tiel plu

[redaktu] Alia

C_{_2n_,h} de (mendi, ordo) 4n estas de abstrakta grupa tipo Z_2n × Z₂. Por n = 1 ni preni _Dih_₂ , jam kovris pli supre, (do, tiel) n ≥ 2.

Tial ni havi, kun _bolding_ de la 2 ciklaj kristalografiaj punktaj grupoj:

(Mendi, Ordo)	Izometria grupo	Abstrakta grupo	# de (mendi, ordo) 2 eroj
8	C_{_4h_}	Z₄ × Z₂	3
12	C_{_6h_}	Z₆ × Z₂ = Z₃ × Z₂ × Z₂ = Z₃ × _Dih_₂	3
16	C_{_8h_}	Z₈ × Z₂	3
20	C_{_10h_}	Z₁₀ × Z₂ = Z₅ × Z₂ × Z₂	3

kaj tiel plu

D_{_nh_} de (mendi, ordo) 4n estas de abstrakta grupa tipo _Dih__n × Z₂. Por nepara n ĉi tiu estas jam kovris pli supre, (do, tiel) ni havi ĉi tie D_{2_nh_} de (mendi, ordo) 8n, kiu estas de abstrakta grupa tipo _Dih__2n × Z₂ (n≥1).

Tial ni havi, kun _bolding_ de la 3 _dihedral_ kristalografiaj punktaj grupoj:

(Mendi, Ordo)	Izometria grupo	Abstrakta grupo	# de (mendi, ordo) 2 eroj
8	D_{_2h_}	_Dih_₂ × Z₂	7
16	D_{_4h_}	_Dih_₄ × Z₂	11
24	D_{_6h_}	_Dih_₆ × Z₂	15
32	D_{_8h_}	_Dih_₈ × Z₂	19

kaj tiel plu

La cetera sep estas, kun _bolding_ de la 5 kristalografiaj punktaj grupoj (vidi ankaŭ pli supre):

(mendi, ordo) 12: de tipo A₄ (alterna grupo): T
(mendi, ordo) 24:
- de tipo S₄ (simetria grupo, ne al esti konfuzita kun la geometria simetria grupo kun ĉi tiu (notacio, skribmaniero)): T_d, O
- de tipo A₄ × Z₂: T_h .
(mendi, ordo) 48, de tipo S₄ × Z₂: O_h
(mendi, ordo) 60, de tipo A₅: Mi
(mendi, ordo) 120, de tipo A₅ × Z₂: Mi_h

Vidi ankaŭ _icosahedral_ simetrio.

[redaktu] Neeblaj diskretaj simetrioj

Ekde la ĝenerala priskribo estas elblova, ĝi ankaŭ montras implice kio estas ne ebla kiel diskreta geometria simetria grupo. Ekzemple:

C₆ akso en unu direkto kaj C₃ en alia
C₅ akso en unu direkto kaj C₄ en alia
C₃ akso en unu direkto kaj alia C₃ akso en (perpendikularo, ortanto, orta, perpendikulara) direkto

kaj tiel plu

[redaktu] (Ekzemploj, Ekzemplas)

Tipa objekto kun geometria simetria grupo C_n aŭ D_n estas _propellor_.

[redaktu] Fundamenta domajno

La fundamenta domajno de punkta grupo estas _conic_ solido. Objekto kun donita simetrio en donita orientiĝo estas karakterizita per la fundamenta domajno. Se la objekto estas surfaca ĝi estas karakterizita per surfaco en la fundamenta domajno daŭranta al ĝia radiusa _bordal_ (vizaĝoj, edroj, vizaĝas, edras) aŭ surfaco. Se la (kopioj, kopias) de la surfaco ne adapti, radiusa (vizaĝoj, edroj, vizaĝas, edras) aŭ (surfacoj, surfacas) povas esti adiciita. Ili adapti iel se la fundamenta domajno estas barita per reflekto (planoj, ebenoj, ebenas, rabotas).

Por pluredro ĉi tiu surfaco en la fundamenta domajno povas esti parto de ajna ebeno. Ekzemple, en la _disdyakis_ _triacontahedron_ unu plena (vizaĝo, edro) estas fundamenta domajno. (Ĝustiganta, Adaptanta, Alĝustiganta) la orientiĝo de la ebeno donas diversaj eblecoj de (kombinanta, komponanta) du aŭ pli najbara (vizaĝoj, edroj, vizaĝas, edras) al unu, donantaj diversaj aliaj multedroj kun la sama simetrio. La pluredro estas konveksa se la surfaco adaptas al ĝia (kopioj, kopias) kaj la radiusa linio (perpendikularo, ortanto, orta, perpendikulara) al la ebeno estas en la fundamenta domajno.

Ankaŭ la surfaco en la fundamenta domajno (majo, povas) esti (verkita, komponita) de multaj (vizaĝoj, edroj, vizaĝas, edras).

[redaktu] Vidi ankaŭ

listo de sferaj simetriaj grupoj
punktaj grupoj en du dimensioj
simetrio
Eŭklida ebena izometrio
grupa ago
punkta grupo
kristala sistemo
spaca grupo
listo de aretoj
(en Franca)

[redaktu] Ekstera (ligoj, ligas)

Grafika (disponaĵa ĝenerala priskribo de la 32 kristalografiaj punktaj grupoj - (formo, formi) la unua (partoj, partas) (krom salti n=5) de la 7 malfinia serio kaj 5 de la 7 apartigi 3D punktaj grupoj
Ĝenerala priskribo de propraĵoj de punktaj grupoj

Elŝutita el "http://eo.wikipedia.org../../../p/r/o/Vikipedio%7EProjekto_matematiko_Punktaj_grupoj_en_tri_dimensioj_38c5.html"

Kategorioj: Artikoloj por polurado kaj movo | Eŭklidaj simetrioj | Grupa teorio

Vikipedio:Projekto matematiko/Punktaj grupoj en tri dimensioj

El Vikipedio

Enhavo

[redaktu] Grupa strukturo

[redaktu] 3D (izometrioj, izometrias) kiu lasi la fonto (fiksis, neŝanĝebligita)

[redaktu] _Conjugacy_

[redaktu] Malfiniaj izometriaj grupoj

[redaktu] Finiaj izometriaj grupoj

[redaktu] La sep malfinia serio

[redaktu] La sep ceteraj punktaj grupoj

[redaktu] Rilato inter _orbifold_ (notacio, skribmaniero) kaj (mendi, ordo)

[redaktu] Rotaciaj grupoj

[redaktu] Rilato inter rotaciaj grupoj kaj alia (grupoj, grupas)

[redaktu] Maksimumaj simetrioj

[redaktu] La (grupoj, grupas) aranĝita per abstrakta grupa tipo

[redaktu] Geometriaj simetriaj grupoj en 3D kiu estas cikla kiel abstrakta grupo

[redaktu] Geometriaj simetriaj grupoj en 3D kiu estas _dihedral_ kiel abstrakta grupo

[redaktu] Alia

[redaktu] Neeblaj diskretaj simetrioj

[redaktu] (Ekzemploj, Ekzemplas)

[redaktu] Fundamenta domajno

[redaktu] Vidi ankaŭ

[redaktu] Ekstera (ligoj, ligas)

Views

Navigado

Serĉu

Aliaj lingvoj