Vikipedio:Projekto matematiko/Rudimenta algebro

El Vikipedio

Ĉi tiu artikolo montras stilajn aŭ/kaj gramatikajn aŭ/kaj strukturajn problemojn kaj bezonas poluradon por konformi al pli bona nivelo de kvalito. Post plibonigo movu la artikolon al
Rudimenta algebro
(eble la nomo mem bezonas korekton) Se la ligo estas ruĝa, vi povas movi la artikolon. Se la ligo estas blua, la alia artikolo pri la temo jam ekzistas kaj tiun kaj ĉi tiun artikolon necasas kunigi.

Ĉi tiu artikolo estas pri baza algebro en matematiko. Por alia uzas de la (termo, membro, flanko, termino) "algebro" vidi algebro (apartigilo).

Rudimenta algebro estas la plej baza (formo, formi) de algebro instruis al studentoj kiu estas supozita al havi ne scio de matematiko preter la baza (principoj, principas) de aritmetiko. Dum en aritmetiko nur nombroj kaj ilia aritmetika (operacioj, operacias) (kiel +, −, ×, ÷) okazi, en algebro unu ankaŭ uzas (simboloj, simbolas) (kiel a, x, y) al signifi nombroj. Ĉi tiu estas utila ĉar:

Ĝi permesas la ĝenerala formulaĵo de aritmetikaj leĝoj (kiel $a + b = b + a$ por ĉiuj a kaj b), kaj tial estas la unua (ŝtupo, paŝi) al sistema esplorado de la propraĵoj de la reela nombra sistemo.
Ĝi permesas la referenco al "nekonato" nombroj, la formulaĵo de ekvacioj kaj la studi de kiel al solvi ĉi tiuj (ekzemple "trovi nombro x tia (tiu, ke, kiu) $3 x + 1 = 10$ ).
Ĝi permesas la formulaĵo de (funkcionalo, funkcia) interrilatoj (kiel "se vi vendi x (biletoj, biletas), tiam via (profito, profiti) estos esti $3 x - 10$ (dolaroj, dolaras)").

Ĉi tiuj tri estas la ĉefa (kableroj, kableras, fadeneroj, fadeneras) de rudimenta algebro, kiu devus esti (distingita, invarianta, memkonjugita, normala, diferencigis) de abstrakta algebro, multa pli plibonigita aktualaĵo ĝenerale instruis al kolegiaj dojenoj.

En algebro, "esprimo" (majo, povas) enhavi nombroj, (variabloj, variablas) kaj aritmetika (operacioj, operacias); kelkaj (ekzemploj, ekzemplas) estas:

$x + 3\,$

$y^{2} - 3\,$

$z^{7} + a(b + x^{3}) + 42/y - \pi.\,$

"ekvacio" estas la pretendi (tiu, ke, kiu) du esprimoj estas egala. Iuj ekvacioj estas vera por ĉiuj (valoroj, valoras) de la koncernata (variabloj, variablas) (kiel $a + (b + c) = (a + b) + c$ ); ĉi tiuj estas ankaŭ sciata kiel "identoj". Aliaj ekvacioj enhavi (simboloj, simbolas) por nekonato (valoroj, valoras) kaj ni estas tiam (interezis, interesita) en trovanta tiuj (valoroj, valoras) por kiu la ekvacio iĝas vera: $x 2 - 1 = 4.$ Ĉi tiuj estas la "solvaĵoj" de la ekvacio.

[redaktu] Leĝoj de rudimenta algebro

La ordo de operacioj en matematika esprimo estas kiel sekvas:
- _groupings_ -> eksponentoj & (radikoj, radikas)-> multipliko & divido -> (aldono, adicio) & subtraho
(Aldono, Adicio) estas komuteco (du nombroj adicii al la sama aĵo kiu ajn (mendi, ordo) vi adicii ilin en).
- Subtraho estas la dorsflanko de (aldono, adicio).
- Al subtrahi estas la sama rilate adicii negativa nombro:

$a - b = a + (-b). \$

Ekzemplo: se

5 + x = 3

tiam

x = - 2.

Multipliko estas komuteco.
- Divido estas la dorsflanko de multipliko.
- Al dividi estas la sama rilate multipliki per (reciproka, reciprokaĵo, inverso):

${a \over b} = a \left( {1 \over b} \right).$

Potencigo estas ne komuteco.
- Pro tia potencigo havas paro de dorsflanko (operacioj, operacias): logaritmo kaj potencigo kun frakciaj eksponentoj (e.g. kvadrataj radikoj).
  - (Ekzemploj, Ekzemplas): se $3 x = 10$ tiam $x = log 3 10.$ Se $x 2 = 10$ tiam $x = 10 1 / 2 .$
- La kvadrataj radikoj de negativaj nombroj ne ekzisti en la reela nombra sistemo. (Vidi: kompleksa nombra sistemo)
Asocieca propraĵo de (aldono, adicio): $(a + b) + c = a + (b + c).$
Asocieca propraĵo de multipliko: $(a b) c = a (b c).$
Distribueca propraĵo de multipliko kun respekto al (aldono, adicio): $c (a + b) = c a + c b .$
Distribueca propraĵo de potencigo kun respekto al multipliko: $(a b) c = a c b c .$
Kiel al (kombini, komponi) eksponentoj: $a b a c = a b + c .$
Povo al pova propraĵo de eksponentoj: $(a b) c = a b c .$
Se $a = b$ kaj $b = c$ , tiam $a = c$ (transitiveco de egaleco).
$a = a$ (reflekteco de egaleco).
Se $a = b$ tiam $b = a$ (simetrio de egaleco).
Se a = b kaj c = d tiam a + c = b + d.
- Se $a = b$ tiam $a + c = b + c$ por (ĉiu, iu) c ((aldono, adicio) propraĵo de egaleco).
Se a = b kaj c = d tiam ac = bd.
- Se $a = b$ tiam $a c = b c$ por (ĉiu, iu) c (multiplika propraĵo de egaleco).
Se du (simboloj, simbolas) estas egala, tiam unu povas esti anstataŭigita por la alia laŭvole (anstataŭa principo).
Se $a > b$ kaj $b > c$ tiam $a > c$ (transitiveco de neegalaĵo).
Se $a > b$ tiam $a + c > b + c$ por (ĉiu, iu) c.
Se $a > b$ kaj $c > 0$ tiam $a c > b c .$
Se $a > b$ kaj $c < 0$ tiam $a c < b c .$

[redaktu] (Ekzemploj, Ekzemplas)

[redaktu] Linearaj ekvacioj

La plej simplaj ekvacioj al solvi estas linearaj ekvacioj. Ili enhavi nur konstantaj nombroj kaj sola (variablo, varianta) sen eksponento. Ekzemple:

$2x + 4 = 12. \,$

La centra tekniko estas adicii, subtrahi, multipliki, aŭ dividi ambaŭ flankoj de la ekvacio per la sama aĵo en tia vojo al eble alveni je la valoro de la nekonato (variablo, varianta). Se ni subtrahi 4 de ambaŭ flankoj en la ekvacio pli supre ni preni:

$2x = 8 \,$

kaj se ni tiam dividi ambaŭ flankoj per 2, ni preni nia solvaĵo

$x = \frac{8}{2} = 4.$

[redaktu] Kvadrataj ekvacioj

Kvadrataj ekvacioj enhavi (variabloj, variablas) altigita al la unua kaj (sekundo, dua) (kvadrato) povo, kaj povas esti solvita uzanta faktorigo aŭ la kvadrata formulo. Kiel ekzemplo de faktoranta:

$x^{2} + 3x = 0. \,$

Ĉi tiu estas la sama aĵo kiel

$x(x + 3) = 0. \,$

Opcio x al 0 aŭ -3 estos fari ĉi tiu vera. Ĉiuj kvadrataj ekvacioj estos havi du solvaĵoj en la kompleksa nombra sistemo, sed (bezoni, bezono, necesa) ne havi (ĉiu, iu) en la reela nombra sistemo. Ekzemple,

$x^{2} + 1 = 0 \,$

havas ne reela nombra solvaĵo ekde ne reela nombro (kvadratis, placita, kvadratigita) egalas -1. Iam kvadrata ekvacio havas radiko de obleco 2, kiel:

$(x + 1)^{2} = 0. \,$

Por ĉi tiu ekvacio, -1 estas radiko de obleco 2

[redaktu] Sistemo de linearaj ekvacioj

Se ni havi sistemo de linearaj ekvacioj, ekzemple, du ekvacioj en du (variabloj, variablas), ĝi estas ofte ebla al trovi du (respondoj, respondas) (tiu, ke, kiu) kontentigi ambaŭ.

$4x + 2y = 14 \,$

$2x - y = 1. \,$

Nun, multipliki la (sekundo, dua) ekvacio per 2 sur ambaŭ flankoj, kaj vi havi jenaj ekvacioj:

$4x + 2y = 14 \,$

$4x - 2y = 2. \,$

Nun ni adicii la du ekvacioj kune al preni:

$8x = 16 \,$

$x = 2. \,$

Vi povas vidi (tiu, ke, kiu) ekde ni (obligita, multiplikita) la (sekundo, dua) ekvacio per 2, ni povas (kombini, komponi) la ekvacioj kaj malmendi ekster y, kaj tiam ni povas solvi por x. (Tononomo, Noto, Noti) (tiu, ke, kiu) vi povas multipliki per (ĉiu, iu) nombroj (pozitiva aŭ negativa, sed ne nulo) ambaŭflanken de (ĉiu, iu) al preni al punkto kie (variablo, varianta) malmendas ekster kiam vi (kombini, komponi) ilin.

Al trovi y, elekti ĉu unu de la ekvacioj de la (komenco, komencanta).

$4x + 2y = 14. \,$