Vikipedio:Projekto matematiko/Sistemo de linearaj ekvacioj

El Vikipedio

Ĉi tiu artikolo montras stilajn aŭ/kaj gramatikajn aŭ/kaj strukturajn problemojn kaj bezonas poluradon por konformi al pli bona nivelo de kvalito. Post plibonigo movu la artikolon al
Sistemo de linearaj ekvacioj
(eble la nomo mem bezonas korekton) Se la ligo estas ruĝa, vi povas movi la artikolon. Se la ligo estas blua, la alia artikolo pri la temo jam ekzistas kaj tiun kaj ĉi tiun artikolon necasas kunigi.

En matematiko kaj lineara algebro, sistemo de linearaj ekvacioj estas aro de linearaj ekvacioj kiel

3x₁ + 2x₂ − x₃ = 1

2x₁ − 2x₂ + 4x₃ = −2

−x₁ + &_frac12_;x₂ − x₃ = 0.

La problemo estas al trovi tiuj (valoroj, valoras) por la (nekonatoj, nekonatas) x₁, x₂ kaj x₃ kiu kontentigi ĉiuj tri ekvacioj samtempe.

Sistemoj de linearaj ekvacioj aparteni la plej malnova (problemoj, problemas) en matematiko kaj ili havi multaj aplikoj, kiel en cifereca signal-prilaborado, proksumumo, antaŭdiranta kaj ĝenerale en lineara programado kaj en la proksimuma kalkulado de ne-lineara (problemoj, problemas) en cifereca analitiko. Kompetenta vojo al solvi sistemoj de linearaj ekvacioj estas donita per la Gaŭso-Jordana elimino aŭ per la _Cholesky_ malkomponaĵo.

En ĝenerala, sistemo kun m linearaj ekvacioj kaj n (nekonatoj, nekonatas) povas esti skribita kiel

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … + a_1nx_n = b₁

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + a_2nx_n = b₂

a_m1x₁ + a_m2x₂ + … + a_{_mn_}x_n = b_m,

kie x₁, ... ,x_n estas la (nekonatoj, nekonatas) kaj la nombroj a_{_ij_} estas la koeficientoj de la sistemo. Ni povas apartigi la koeficientoj en matrico kiel sekvas:

$\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{bmatrix}$

Se ni prezenti ĉiu matrico per sola (letero, litero), ĉi tiu iĝas

Ax = b,

kie A estas m-per-n matrico pli supre, x estas kolumna vektoro kun n elementoj kaj b estas kolumna vektoro kun m elementoj. La pli supre menciita Gaŭso-Jordana elimino aplikas al ĉiuj ĉi tiuj sistemoj, eĉ se la koeficientoj veni de ajna kampo.

Se la kampo estas malfinio (kiel ĉe la (reala, reela) aŭ kompleksaj nombroj), tiam nur jeno tri (okazoj, skatoloj, kestoj, kestas, okazas) estas ebla por (ĉiu, iu) donita sistemo de linearaj ekvacioj:

la sistemo havas ne solvaĵo (en ĉi tiu (kesto, okazo), ni diri (tiu, ke, kiu) la sistemo estas _overdetermined_)
la sistemo havas sola solvaĵo (la sistemo estas akurate difinita)
la sistemo havas malfinie multaj solvaĵoj (la sistemo estas _underdetermined_).

Sistemo de la (formo, formi)

Ax = 0

estas (nomita, vokis) homogena sistemo de linearaj ekvacioj. La aro de ĉiuj solvaĵoj de tia homogena sistemo estas (nomita, vokis) la kerno de la matrico A kaj estas skribita kiel _Nul_ A.

Aparte en vido de la pli supre aplikoj, kelkaj pli kompetenta (alternativoj, alternativas) al Gaŭso-Jordana elimino havi estas ellaborita por larĝa diverseco de specialaj okazoj. Multaj de ĉi tiuj plibonigis (algoritmoj, algoritmas) estas de komplekseca O(n²). Iu de la plej komunaj specialaj okazoj estas:

Por (problemoj, problemas) de la (formo, formi) Ax = b, kie A estas simetria _Toeplitz_ matrico, ni povas uzi Rekursio de Levinson aŭ unu de ĝiaj derivaĵoj. Unu speciala kutime uzita _Levinson_Eca derivaĵo estas _Schur_ rekursio, kiu estas uzita en multaj ciferecaj signal-prilaboradaj aplikoj.
Por (problemoj, problemas) de la (formo, formi) Ax = b, kie A estas degenera matrico aŭ proksime singularo, la matrico A estas malkomponita enen la (produkto, produto) de tri matricoj en procezo (nomita, vokis) singularo-valora malkomponaĵo. La (maldekstre, restis) kaj (ĝusta, dekstra, rajto) manaj matricoj estas (maldekstre, restita) kaj (ĝusta, dekstra, rajto) mana singularo (vektoroj, vektoras). La meza matrico estas diagonala matrico kaj enhavas la singularo (valoroj, valoras). La matrico povas tiam esti inversigita simple per dorsflankanta la (mendi, ordo) de la tri (komponantoj, komponantas), (transponanta, transponaĵanta) la singularaj vektoraj matricoj, kaj prenante la (reciproka, reciprokaĵo, inverso) de la diagonalaj eroj de la meza matrico. Se (ĉiu, iu) de la singularo (valoroj, valoras) estas ankaŭ proksime al nulo kaj pro tio proksime al estante singularo, ili estas aro al nulo.