Vikipedio:Projekto matematiko/Solvebla grupo

El Vikipedio

Ĉi tiu artikolo montras stilajn aŭ/kaj gramatikajn aŭ/kaj strukturajn problemojn kaj bezonas poluradon por konformi al pli bona nivelo de kvalito. Post plibonigo movu la artikolon al Solvebla grupo (eble la nomo mem bezonas korekton) Se la ligo estas ruĝa, vi povas movi la artikolon. Se la ligo estas blua, la alia artikolo pri la temo jam ekzistas kaj tiun kaj ĉi tiun artikolon necasas kunigi.

En la historio de matematiko, la fontoj de grupa teorio (mensogi, kuŝi) en la (serĉi, serĉo) por pruvo de la ĝenerala _unsolvability_ de _quintic_ kaj pli altaj ekvacioj, fine komprenis per Galeza teorio. La koncepto de solvebla (aŭ solvebla) (grupoj, grupas) aperita al priskribi propraĵo komunigita per la aŭtomorfiaj grupoj de tiuj (polinomoj, polinomas) kies (radikoj, radikas) povas esti esprimita uzanta nur radikaloj (kvadrataj radikoj, kubaj radikoj, kaj tiel plu, kaj ilia (sumoj, sumas) kaj (produktoj, produktas, produktaĵoj, produktaĵas, produtoj, produtas)).

Grupo estas (nomita, vokis) solvebla se ĝi havas normala serio kies kvocientaj grupoj estas ĉiuj abela. Aŭ ekvivalente, se la descendanta normala serio

kie ĉiu subgrupo estas la derivis subgrupo de la antaŭa unu, iam atingopovoj la bagatela subgrupo {1} de G. Ĉi tiuj du (difinoj, difinas) estas ekvivalento, ekde por ĉiu grupo H kaj ĉiu normala subgrupo N de H, la kvociento H/N estas abela se kaj nur se N inkluzivas H⁽¹⁾.

Por finiaj grupoj, ekvivalenta difino estas (tiu, ke, kiu) solvebla grupo estas grupo kun komponaĵa serio kies (faktoroj, faktoras) estas ĉiuj ciklaj grupoj de primo (mendi, ordo). Ĉi tiu estas ekvivalento ĉar ĉiu simpla komuta grupo estas cikla de primo (mendi, ordo). La (Jordanio, Jordano, Jordan)-_Hölder_ teoremo garantias (tiu, ke, kiu) se unu komponaĵa serio havas ĉi tiu propraĵo, tiam ĉiu komponaĵa serio estos havi ĉi tiu propraĵo kiel bone. Por la Galezagrupo de polinomo, ĉi tiuj ciklaj grupoj esti konforma laŭ n(th, -a) (radikoj, radikas) (radikaloj) super iu kampo. La ekvivalento ne bezone teni por malfinio (grupoj, grupas): ekzemple, ekde ĉiu netriviala subgrupo de la grupo Z de (entjeroj, entjeras) sub (aldono, adicio) estas izomorfia al Z sin, ĝi havas ne komponaĵa serio, sed la normala serio {0,Z}, kun ĝia nur kvocienta grupo izomorfia al Z, (demonstras, pruvas) (tiu, ke, kiu) ĝi estas fakte solvebla.

En konservanta kun Georgo _Pólya_'s _dictum_ (tiu, ke, kiu) "se tie's problemo vi povas't (cifero, figuro) ekster, tie's pli simpla problemo vi povas (cifero, figuro) ekster", solveblaj grupoj estas ofte utila por reduktanta konjekto pri komplika grupo, enen konjekto pri serio de (grupoj, grupas) kun simpla strukturo: komutaj grupoj (kaj en la finia (kesto, okazo), ciklaj grupoj de primo (mendi, ordo)).

Ĉiuj komutaj grupoj estas solvebla - la kvociento A/B estos ĉiam esti abela se A estas abela. Sed ne-komutaj grupoj (majo, povas) aŭ (majo, povas) ne esti solvebla.

Malgranda ekzemplo de solvebla, ne-komuta grupo estas la simetria grupo S₃. Fakte, kiel la (plej minuskla, plej malgranda) simpla ne-komuta grupo estas A₅, (la alterna grupo de grado 5) ĝi sekvas (tiu, ke, kiu) ĉiu grupo kun (mendi, ordo) malpli ol 60 estas solvebla.

La grupo S₅ estas ne solvebla — ĝi havas komponaĵa serio {E, A₅, S₅} (kaj la (Jordanio, Jordano, Jordan)-_Hölder_ teoremaj ŝtatoj (tiu, ke, kiu) ĉiu alia komponaĵa serio estas ekvivalento al tiu), donantaj kvocientaj grupoj izomorfia al A₅ kaj C₂; kaj A₅ estas ne abela. Ĝeneraliganta ĉi tiu argumento, (duopis, kuplita, parita) kun la fakto (tiu, ke, kiu) A_n estas normala, maksimuma, ne-abela simpla subgrupo de S_n por n > 4, ni vidi (tiu, ke, kiu) S_n estas ne solvebla por n > 4, ŝlosilo (ŝtupo, paŝi) en la pruvo (tiu, ke, kiu) por ĉiu n > 4 estas (polinomoj, polinomas) de grado n kiu estas ne solvebla per radikaloj.

La propraĵo de solvebleco estas en iu (sensoj, sensas, sencoj, sencas) _inheritable_, ekde:

• Se G estas solvebla, kaj H estas subgrupo de G, tiam H estas solvebla.
• Se G estas solvebla, kaj H estas normala subgrupo de G, tiam G/H estas solvebla.
• Se G estas solvebla, kaj estas homomorfio de G sur H, tiam H estas solvebla.
• Se H kaj G/H estas solvebla, tiam (do, tiel) estas G.
• Se G kaj H estas solvebla, la direkto (produkto, produto) G × H estas solvebla.

[redaktu] _Supersolvable_ grupo

Kiel fortikiganta de solvebleco, grupo G estas (nomita, vokis) _supersolvable_ se ĝi havas invarianto normala serio kies (faktoroj, faktoras) estas ĉiuj cikla; en alia (vortoj, vortas), se ĝi estas solvebla kun ĉiu A_mi ankaŭ estante normala subgrupo de G, kaj ĉiu A_mi+1/A_mi estas ne (justa, ĵus) abela, sed ankaŭ cikla (eble de malfinio (mendi, ordo)). Ekde normala serio havas finia longo per difino, nekalkuleblaj komutaj grupoj estas ne _supersolvable_. Fakte, ĉiuj _supersolvable_ (grupoj, grupas) estas finie generita, kaj komuta grupo estas _supersolvable_ se kaj nur se ĝi estas finie generita.

Se ni limigi nin mem al finie generita (grupoj, grupas), ni povas konsideri jena ordigo de klasoj de (grupoj, grupas):