Vikipedio:Projekto matematiko/Subgrupo
El Vikipedio
 |
Ĉi tiu artikolo montras stilajn aŭ/kaj gramatikajn aŭ/kaj strukturajn problemojn kaj bezonas poluradon por konformi al pli bona nivelo de kvalito. Post plibonigo movu la artikolon al Subgrupo (eble la nomo mem bezonas korekton) Se la ligo estas ruĝa, vi povas movi la artikolon. Se la ligo estas blua, la alia artikolo pri la temo jam ekzistas kaj tiun kaj ĉi tiun artikolon necasas kunigi. |
En grupa teorio, donita grupo G sub operacio (matematiko) *, ni diri (tiu, ke) iu subaro H de G estas subgrupo de G se H ankaŭ (formoj, formas) grupo sub la operacio *. Pli detale, H estas subgrupo de G se la limigo de * al H estas grupa operacio sur H.
pozitiva subgrupo de grupo G estas subgrupo H kiu estas pozitiva subaro de G (kio estas H ≠ G). La bagatela subgrupo de (ĉiu, iu) grupo estas la subgrupo {e} konsistanta de (justa, ĵus) la identa ero. Se H estas subgrupo de G, tiam G estas iam (nomita, vokis) _overgroup_ de H.
La sama (difinoj, difinas) apliki pli ĝenerale kiam G estas ajna duongrupo, sed ĉi tiu artikolo estos nur alpaŝi (subgrupoj, subgrupas) de (grupoj, grupas). La grupo G estas iam signifis per la ordigita duopo (G,*), kutime al emfazi la operacio * kiam G portas multaj algebra aŭ alia (strukturoj, strukturas).
En jeno, ni sekvi la kutima konvencio de gutanta * kaj skribanta la (produkto, produto) A*b kiel simple abo.
Enhavo |
[redaktu] Bazaj propraĵoj de (subgrupoj, subgrupas)
- H estas subgrupo de la grupo G se kaj nur se ĝi estas nemalplena kaj (fermita, fermis) sub (produktoj, produktas, produktaĵoj, produktaĵas, produtoj, produtas) kaj (inversoj, inversas). (La (fermaĵo, adheraĵo) kondiĉoj (meznombro, signifi) jeno: ĉiam A kaj b estas en H, tiam abo kaj A−1 estas ankaŭ en H. Ĉi tiuj du kondiĉoj povas esti kombinita enen unu ekvivalenta kondiĉo: ĉiam A kaj b estas en H, tiam abo−1 estas ankaŭ en H.) En la (kesto, okazo) (tiu, ke) H estas finia, tiam H estas subgrupo (se kaj nur se, se... kaj nur tiam) H estas (fermita, fermis) sub (produktoj, produktas, produktaĵoj, produktaĵas, produtoj, produtas). (En ĉi tiu (kesto, okazo), ĉiu ero A de H (generas, naskas) finia cikla subgrupo de H, kaj la inverso de A estas tiam A−1 = An − 1, kie n estas la (mendi, ordo) de A.
- La pli supre kondiĉo povas esti komencita en (termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas) de homomorfio; tio estas, H estas subgrupo de grupo G se kaj nur se H estas subaro de G kaj estas inkluziveca homomorfio (kio estas, mi(A) = A por ĉiu A) de H al G.
- La idento de subgrupo estas la idento de la grupo: se G estas grupo kun idento eG, kaj H estas subgrupo de G kun idento eH, tiam eH = eG.
- La inverso de ero en subgrupo estas la inverso de la ero en la grupo: se H estas subgrupo de grupo G, kaj A kaj b estas eroj de H tia (tiu, ke) abo = _ba_ = eH, tiam abo = _ba_ = eG.
- La komunaĵo de (subgrupoj, subgrupas) A kaj B estas denove subgrupo. La unio de (subgrupoj, subgrupas) A kaj B estas subgrupo se kaj nur se ĉu A aŭ B enhavas la alia, ekde ekzemple 2 kaj 3 estas en la unio de _2Z_ kaj _3Z_ sed ilia (sumo, sumi) 5 estas ne.
- Se S estas subaro de G, tiam tie ekzistas minimuma subgrupo enhavanta S, kiu povas troviĝi per prenante la komunaĵo de ĉiuj de (subgrupoj, subgrupas) enhavanta S; ĝi estas signifita per <S> kaj estas dirita al esti la subgrupo generita per S. Ero de G estas en <S> se kaj nur se ĝi estas finia (produkto, produto) de eroj de S kaj ilia (inversoj, inversas).
- Ĉiu ero A de grupo G (generas, naskas) la cikla subgrupo <A>. Se <A> estas izomorfia al Z/nZ por iu pozitiva entjero n, tiam n estas la plej minuskla pozitiva entjero por kiu An = e, kaj n estas (nomita, vokis) la (mendi, ordo) de A. Se <A> estas izomorfia al Z, tiam A estas dirita al havi malfinio (mendi, ordo).
- La (subgrupoj, subgrupas) de (ĉiu, iu) donita grupa formo plenumi krado sub inkluziveco. (Dum la preciza suba rando jen la kutima aro-teoria komunaĵo, la preciza supra rando de aro de (subgrupoj, subgrupas) estas la subgrupo generita per la aro-teoria unio de la (subgrupoj, subgrupas), ne la aro-teoria unia sin.) Se e estas la idento de G, tiam la bagatela grupo {e} estas la minimuma subgrupo de G, dum la maksimuma subgrupo estas la grupo G sin.
[redaktu] Ekzemplo
Estu G esti la komuta grupo kies eroj estas
- G={0,2,4,6,1,3,5,7}
kaj kies grupa operacio estas aldono module ok. Ĝia _Cayley_ (baremo, tabelo, tablo) estas
| + | 0 | 2 | 4 | 6 | 1 | 3 | 5 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 2 | 4 | 6 | 1 | 3 | 5 | 7 |
| 2 | 2 | 4 | 6 | 0 | 3 | 5 | 7 | 1 |
| 4 | 4 | 6 | 0 | 2 | 5 | 7 | 1 | 3 |
| 6 | 6 | 0 | 2 | 4 | 7 | 1 | 3 | 5 |
| 1 | 1 | 3 | 5 | 7 | 2 | 4 | 6 | 0 |
| 3 | 3 | 5 | 7 | 1 | 4 | 6 | 0 | 2 |
| 5 | 5 | 7 | 1 | 3 | 6 | 0 | 2 | 4 |
| 7 | 7 | 1 | 3 | 5 | 0 | 2 | 4 | 6 |
Ĉi tiu grupo havas paro de netriviala (subgrupoj, subgrupas): J={0,4} kaj H={0,2,4,6}, kie J estas ankaŭ subgrupo de H. La _Cayley_ (baremo, tabelo, tablo) por H estas la supro-(maldekstre, restis) kvadranto de la _Cayley_ (baremo, tabelo, tablo) por G. La grupo G estas cikla, kaj do estas ĝia (subgrupoj, subgrupas). En ĝenerala, (subgrupoj, subgrupas) de ciklaj grupoj estas ankaŭ cikla.
[redaktu] Flankaj klasoj kaj Lagrange-a teoremo
Donita subgrupo H kaj iu A en G, ni difini la maldekstra klaso _aH_ = {ha : h en H}. Ĉar A estas (neŭtrigebla, inversigebla), la mapo 
donita per 
estas (dissurĵeto, bijekcio). Plue, ĉiu ero de G estas enhavita en precize unu maldekstra klaso de H; la maldekstraj klasoj estas la (ekvivalento-klasoj, ekvivalentklasoj) korespondanta al la ekvivalentrilato A1 ~ A2 (se kaj nur se, se... kaj nur tiam) A1−1A2 estas en H. La nombro de maldekstraj klasoj de H estas (nomita, vokis) la indekso de H en G kaj estas signifita per [G : H]. Lagrange-aj teoremaj ŝtatoj (tiu, ke)
![[ G : H ] = { o(G) \over o(H) }](../../../math/9/9/0/9903e39baab3fd224b90d32c5685201e.png)
kie o(G) kaj o(H) signifi la (mendas, ordoj) de G kaj H, respektive. En aparta, se G estas finia, tiam la (mendi, ordo) de ĉiu subgrupo de G (kaj la (mendi, ordo) de ĉiu ero de G) devas esti dividanto de o(G).
Dekstraj klasoj estas difinita analoge: Ha = {ha : h en H}. Ili estas ankaŭ la (ekvivalento-klasoj, ekvivalentklasoj) por taŭgi ekvivalentrilato kaj ilia nombro estas egala al [G : H].
Se _aH_ = Ha por ĉiu A en G, tiam H estas dirita al esti normala subgrupo. Ĉiu subgrupo de indekso 2 estas normala: la maldekstraj klasoj, kaj ankaŭ la dekstraj klasoj, estas simple la subgrupo kaj ĝia komplemento.
[redaktu] Vidi ankaŭ
- _Cartan_ subgrupo
- Adaptanta subgrupo
- stabila subgrupo
