Vikipedio:Projekto matematiko/Universala kovertanta algebro
El Vikipedio
 |
Ĉi tiu artikolo montras stilajn aŭ/kaj gramatikajn aŭ/kaj strukturajn problemojn kaj bezonas poluradon por konformi al pli bona nivelo de kvalito. Post plibonigo movu la artikolon al Universala kovertanta algebro (eble la nomo mem bezonas korekton) Se la ligo estas ruĝa, vi povas movi la artikolon. Se la ligo estas blua, la alia artikolo pri la temo jam ekzistas kaj tiun kaj ĉi tiun artikolon necasas kunigi. |
En matematiko, por (ĉiu, iu) (Mensogi, Kuŝi) algebro L unu povas konstrui ĝia universala kovertanta algebro U(L). Ĉi tiuj konstruadaj pasejoj de la ne-asocieca strukturo L al (pli familiara, kaj eble pli simpla al anso) _unital_ asocieca algebro kiu (enkaptas, kaptoj, kaptas) la gravaj propraĵoj de L.
Al kompreni la baza ideo de ĉi tiu konstruado, unua (tononomo, noto, noti) (tiu, ke, kiu) (ĉiu, iu) asocieca algebro A super la kampo K iĝas (Mensogi, Kuŝi) algebro super K kun la krampo
- [a,b] = abo − _ba_.
Tio estas, de asocieca (produkto, produto), unu povas konstrui (Mensogi, Kuŝi) krampo per simple prenante la komutilo kun respekto al (tiu, ke, kiu) asocieca (produkto, produto). Ni signifi ĉi tiu (Mensogi, Kuŝi) algebro per AL.
Konstruado de la universala kovertanta algebro provas al dorsflanko ĉi tiu procezo: al donita (Mensogi, Kuŝi) algebro L super K ni trovi la "plej ĝenerala" _unital_ asocieca K-algebro A tia (tiu, ke, kiu) la (Mensogi, Kuŝi) algebro AL enhavas L; ĉi tiu algebro A estas U(L). La grava limigo estas al konfiti la prezenta teorio: la prezentoj de L korespondi en (bijekcia, dissurĵeta) maniero al la (moduloj, modulas) super U(L). En tipa ĉirkaŭteksto kie L estas agante per infinitezimaj transformoj, la eroj de U(L) (ago, agi, operacii, akto) ŝati diferencialaj operatoroj, de ĉiuj (mendas, ordoj).
Enhavo |
[redaktu] Universala propraĵo
Estu L esti (ĉiu, iu) (Mensogi, Kuŝi) algebro super K. Donita _unital_ asocieca K-algebro U kaj (Mensogi, Kuŝi) algebra homomorfio
- h: L → UL,
((notacio, skribmaniero) kiel pli supre) ni diri (tiu, ke, kiu) U estas la universala kovertanta algebro de L se ĝi (verigas, kontentigas) jena universala propraĵo: por (ĉiu, iu) _unital_ asocieca K-algebro A kaj (Mensogi, Kuŝi) algebra homomorfio
- f: L → AL
tie ekzistas unika _unital_ algebra homomorfio
- g: U → A
tia (tiu, ke, kiu)
- f = _gh_.
[redaktu] Direkta konstruado
Por ĝeneralaj kaŭzoj havanta al fari kun universalaj propraĵoj, ni povas diri (tiu, ke, kiu) se (Mensogi, Kuŝi) algebro havas universala kovertanta algebro, tiam ĉi tiu (kovertanta, envelopanta, envolvaĵanta) algebro estas unike difinita per L (supren al unika algebra izomorfio). Per jena konstruado, kiu (pensigas, sugestas) sin sur ĝenerala (stadiono, bieno, teroj, teras) (ekzemple, kiel parto de paro de adjunkto _functors_), ni fondi (tiu, ke, kiu) ja ĉiu (Mensogi, Kuŝi) algebro faras havi universala kovertanta algebro.
Startanta kun la tensora algebro T(L) sur la vektora spaco suba L, ni preni U(L) al esti la kvociento de T(L) farita per (trudanta, altrudanta) la rilatoj
- a.b − b.a = [a,b]
por ĉiuj a kaj b en (la bildo en T(L) de) L, kie la "." sur la _LHS_ signifas la asocieca multipliko en T(L), kaj la krampo sur la _RHS_ nun (meznombroj, meznombras, signifas) la donita (Mensogi, Kuŝi) algebro (produkto, produto), en L.
Formale, ni difini
- U(L) = T(L)/Mi
kie
- Mi = ([a,b] − a.b + b.a | a, b en L)
estas la (duflanka) idealo en T(L) generita per ĉiuj eroj de la (formo, formi) [a,b] − a.b + b.a por a,b en L.
La natura mapo L → T(L) donas pligrandiĝo al mapo h : L → U(L), kaj ĉi tiu estas la (Mensogi, Kuŝi) algebra homomorfio uzita en la universala propraĵo donita pli supre.
La analoga konstruado por (Mensogi, Kuŝi) (superalgebroj, superalgebras) estas simpla.
[redaktu] (Ekzemploj, Ekzemplas) en specialaj okazoj
Se L estas abela (tio estas, la krampo estas ĉiam 0), tiam U(L) estas komuta; se bazo de la vektora spaco L havas estas elektita, tiam U(L) povas esti (identigita, identigita) kun la polinoma algebro super K, kun unu (variablo, varianta) por baza ero.
Se L estas la (Mensogi, Kuŝi) algebro (korespondanta, respektiva) al la Grupo de Lie G, U(L) povas esti (identigita, identigita) kun la algebro de (maldekstre, restis)-invariantaj diferencialaj operatoroj (de ĉiuj (mendas, ordoj)) sur G; kun L (natranta, lesivanta) ene ĝi kiel la (maldekstre, restis)-invariantaj vektoraj kampoj kiel unua-(mendi, ordo) diferencialaj operatoroj.
Al (rilati, rakonti) la pli supre du (okazoj, skatoloj, kestoj, kestas, okazas): se L estas vektora spaco V kiel abela (Mensogi, Kuŝi) algebro, la (maldekstre, restis)-invariantaj diferencialaj operatoroj estas la konstanta koeficiento (operatoroj, operatoras), kiu estas ja polinoma algebro en la partaj derivaĵoj de unua (mendi, ordo).
La centro de U(L) estas (nomita, vokis) Z(L) kaj konsistas de la (maldekstre, restis)- kaj (ĝusta, dekstra, rajto)- invariantaj diferencialaj operatoroj; ĉi tiu ĉe G ne komuta estos ne esti generita per unua-(mendi, ordo) (operatoroj, operatoras) (vidi ekzemple _Casimir_ operatoro).
Alia karakterizado en Grupo de Lie teorio estas de U(L) kiel la ruluma algebro de distribuoj subtanata nur je la identa ero e de G.
La algebro de diferencialaj operatoroj en n (variabloj, variablas) kun polinomaj koeficientoj (majo, povas) esti ricevita startanta kun la (Mensogi, Kuŝi) algebro de la Grupo de Heisenberg. Vidi Algebro de Weyl por ĉi tiu; unu devas preni kvociento, tiel ke la centraj eroj de la (Mensogi, Kuŝi) algebro (ago, agi, operacii, akto) kiel preskribis (skalaroj, skalaras).
[redaktu] Plui priskribo de strukturo
La fundamenta _Poincaré_-_Birkhoff_-_Witt_ teoremo donas preciza priskribo de U(L); la plej grava konsekvenco estas (tiu, ke, kiu) L povas esti vidita kiel subspaco de U(L). Pli detale: la kanona mapo h : L → U(L) estas ĉiam (disĵeta, enjekcia). Plue, U(L) estas generita kiel _unital_ asocieca algebro per L.
L (agoj, agas, operacias, aktoj, aktas) sur sin per la (Mensogi, Kuŝi) algebra adjunkta prezento, kaj ĉi tiu ago povas esti etendita al prezento de L sur U(L): L (agoj, agas, operacias, aktoj, aktas) kiel algebro de derivaĵoj sur T(L), kaj ĉi tiu ago (respektoj, respektas) la (trudis, altrudita) rilatoj, (do, tiel) ĝi reale (agoj, agas, operacias, aktoj, aktas) sur U(L). (Ĉi tiu estas la pure infinitezima vojo de (aspektanta, rigardanta) je la invariantaj diferencialaj operatoroj menciis pli supre.)
Sub ĉi tiu prezento, la eroj de U(L) invarianto sub la ago de L (kio estas tia (tiu, ke, kiu) (ĉiu, iu) ero de L agante sur ilin donas nulo) estas (nomita, vokis) invariantaj eroj. Ili estas generita per la _Casimir_ (invariantoj, invariantas).
Kiel menciis pli supre, la konstruado de universalaj kovertantaj algebroj estas parto de paro de adjunkto _functors_. U estas _functor_ de la kategorio de (Mensogi, Kuŝi) (algebroj, algebras) super K al la kategorio de _unital_ asocieca K-(algebroj, algebras). Ĉi tiu _functor_ estas (maldekstre, restita) adjunkto al la _functor_ kiu (mapoj, mapas) algebro A al la (Mensogi, Kuŝi) algebro AL. Ĝi devus esti (tononomita, notita) (tiu, ke, kiu) la universala kovertanta algebra konstruado estas ne akurate inverso al la formacio de AL: se ni starti kun asocieca algebro A, tiam U(AL) estas ne egala al A; ĝi estas multa pli granda.
La (faktoj, faktas) pri prezenta teorio menciis pli frua povas esti farita preciza kiel sekvas: la abela kategorio de ĉiuj prezentoj de L estas izomorfia al la abela kategorio de ĉiuj (maldekstre, restis) (moduloj, modulas) super U(L).
La konstruado de la grupa algebro por donita grupo estas en multaj (vojoj, vojas) analoga al konstruanta la universala kovertanta algebro por donita (Mensogi, Kuŝi) algebro. Ambaŭ konstruoj estas universala kaj traduki prezenta teorio enen modulo (modela teorio) teorio. Plue, ambaŭ grupaj algebroj kaj universalaj kovertantaj algebroj (porto, porti) natura _comultiplications_ kiu turni ilin enen _Hopf_ (algebroj, algebras).
