Ecuaciones diferenciales lineales

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Sean $V$ y $B$ dos vectores de $n$ funciones de una variable real definidas en un intervalo $I$ de la recta real y $M$ una matriz cuadrada de $n 2$ funciones definidas en el mismo intervalo. Entonces, la ecuación

$V' = M\cdot V + B,$

se llama sistema lineal de ecuaciones diferenciales no homogéneo. En el caso en que $B = 0$ se dice que el sistema lineal es homogéneo. Basta que la matriz de funciones $M$ sea continua y que el vector de funciones $B$ también lo sea, para que quede garantizada la existencia de soluciones al sistema de ecuaciones diferenciales. Si adicionalmente se especifica una condición inicial, esto es se pide que para algún punto en el intervalo $I$ el vector $V$ tenga algún valor prefijado, entonces se puede demostrar que la solución es única.

[editar] Caso particular

Si la matriz $M$ es una matriz de constantes, entonces se dice que el sistema lineal es un sistema de ecuaciones diferenciales a coeficientes constantes. En este caso, se puede usar la exponencial de matrices para resolver la ecuación.

En efecto, sea $ψ$ la matriz dada por

$\psi(t) = \exp(M t)\,.$

Tenemos,

$\frac{d\psi(t)}{dt} = \frac{d}{dt} \sum_{k=0}^{\infty}\frac{M^k t^k}{k!}$

$= \sum_{k=1}^{\infty}\frac{M^k t^{k-1}}{(k-1)!} = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{M^{k+1} t^k}{k!} = M\,\sum_{k=0}^{\infty}\frac{M^k t^k}{k!}$

$=M\,\psi(t).$

Para resolver el sistema homogéneo, $B = 0$ , podemos definir $V(t)=\psi(t)\cdot\xi$ , donde $ξ$ es un vector constante, de $n$ componentes. Comprobamos que

$V'(t)=\psi'(t)\cdot\xi = M\cdot\psi(t)\cdot\xi = M\cdot V(t),$

es una solución que adicionalmente, cumple con la condición inicial: $V (0) = ξ$ .

Para el caso no homogéneo, podemos conjeturar (ansatz) que $ψ$ es un factor integrante. En este caso, tenemos que

$V' - M\cdot V = B.$

Multiplicando ambos miemboros por $ψ( - t)$ obtenemos

$\psi(-t)\cdot V' - \psi(-t)\cdot M\cdot V = \psi(-t)\cdot B,$

$(\psi(-t)\cdot V)' = \psi(-t)\cdot B.$

Integrando en ambos lados y multiplicando por $ψ(t)$ obtenemos

$V(t) = \int_0^t \psi(t-s)\cdot B(s)ds + \xi\cdot\psi(t),$

con lo que el sistema de ecuaciones diferneciales queda resuelto.

[editar] Ejemplo

Consideremos el sistema

$\begin{matrix} y_1'(t) &=& y_2(t),\qquad y_1(0) = 0,\\y_2'(t) &=& - y_1(t),\qquad y_2(0) = 1.\end{matrix}$

En término de matrices, este par de ecuaciones lo podemos escribir como

${y_1'(t) \choose y_2'(t)} = \begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}\ {y_1(t) \choose y_2(t)}, \qquad {y_1(0) \choose y_2(0)} = {0\choose 1}.$

De modo que, en este ejemplo

$M = \begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}\qquad\mathrm{y}\qquad\xi = {0 \choose 1}$

Usando las series de Taylor de las funciones seno y coseno se puede ver fácilmente que

$\psi(t) = \exp(M\,t) = \begin{pmatrix}\cos(t)&\sin(t)\\-\sin(t)&\cos(t)\end{pmatrix},$

con lo que

$V(t) = {y_1(t) \choose y_2(t)} = \begin{pmatrix}\cos(t)&\sin(t)\\-\sin(t)&\cos(t)\end{pmatrix}\cdot {0\choose 1} = {\sin(t)\choose \cos(t)}.$

[editar] Véase también

Exponencial de matrices

Obtenido de "http://es.wikipedia.org../../../e/c/u/Ecuaciones_diferenciales_lineales.html"

Categoría: Análisis matemático

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