Función L de Dirichlet

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En matemáticas , se llama Serie L de Dirichlet, en honor a Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet, a una función de la forma

$L(s,\chi) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\chi(n)}{n^s}.$

Donde χ es un caracter de Dirichlet y s una variable compleja cuya componente real es mayor que 1. Por medio de una extensión analítica esta función puede ser extendida a una función merofórmica sobre todo el plano complejo, y entonces se la llama Función L de Dirichlet y se la escribe como L(s,χ). Un caso especial importante de la función L de Dirichlet, es la Función zeta de Riemann, en el cual χ es el caracter trivial, Fue demostrado por Dirichlet que L(1,χ)≠0 para todos los caracteres de Dirichlet χ, permitiéndole a él desarrollar su teorema sobre números primos en progresiones aritméticas. Por cierto, si χ es principal, entonces la función L de Dirichlet tiene un polo simple en s=1.

[editar] Ceros de las funciones L de Dirichlet

Si χ es un caracter primitivo con χ(-1)=1, entonces los únicos ceros de L(s,χ) con Re(s)<0 son los enteros negativos pares. Si χ es un caracter primitivo con χ(-1)=-1, entonces los únicos ceros de L(s,χ) con Re(s)<0 con los enteros negativos impares.

Se sabe que existen para todas las funciones L de Dirichlet regiones libres de ceros, incluyendo y más allá de la linea Re(s)=1 similares a las de la función zeta de Riemann, existiendo la posibilidad de la existencia de un cero Siegel.

En forma similar como se conjetura que la función zeta de Riemann obedece a la Hipótesis de Riemann , se conjetura que la funciones L de Dirichlet obedecen a la Hipótesis generalizada de Riemann.

[editar] Ecuación funcional

Supongamos que χ es un caracter primitivo al modulo k. Definiendo

$\varepsilon(s,\chi) = \left(\frac{\pi}{k}\right)^{-(s+a)/2} \Gamma\left(\frac{s+a}{2}\right) L(s,\chi),$

donde Γ representa la Función Gamma y el simbolo a esta dado por

$a=\begin{cases}0;&\mbox{if }\chi(-1)=1, \\ 1;&\mbox{if }\chi(-1)=-1,\end{cases}$

se tiene entonces la ecuación funcional

$\varepsilon(1-s,\overline{\chi})=\frac{i^ak^{1/2}}{\tau(\chi)}\varepsilon(s,\chi).$

Donde τ(χ) expresa la Suma de Gauss

$\sum_{n=1}^k\chi(n)\exp(2\pi im/q).$

Notar que |τ(χ)|=k^1/2.

[editar] Relación con la función zeta de Hurwitz

Las funciones L de Dirichlet pueden escribirse como una combinación lineal de la función zeta de Hurwitz para valores racionales. Fixing an integer k ≥ 1, las funciones L de Dirichlet para caracteres modulo k son combinaciones lineales, con coeficientes constantes, de ζ(s,q) donde q = m/k y m = 1, 2, ..., k. Lo que quiere decir que la funcion zeta de Hurwitz para q racional posee propiedades analíticas que están muy relacionadas con las funciones L de Dirichlet. Especificamente, si llamamos $χ$ a un caracter modulo k. Entonces podemos escribir su función L de Dirichlet como: