Introducción a la mecánica de fluidos

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NOTA: Antes de estudiar este artículo, es recomendable tener conocimientos sobre integral y función primitiva.

Para estudiar la mecánica de fluidos no es necesario hacer cambios a las leyes de Newton, aunque se tiene el problema de comprender en términos precisos la manera como se comportan los fluidos, y la mejor forma de aplicar a éstos las leyes citadas:

Tabla de contenidos

1 Fluidos
2 Propiedades de los fluidos
3 Variación de la presión en un fluido con la profundidad
4 Variación de la presión en un fluido con la altura
5 Véase también

[editar] Fluidos

Se llamará fluido a cualquier sustancia que se pueda hacer escurrir mediante una aplicación apropiada de fuerzas. En términos generales, se pueden clasificar en líquidos y gases. Los líquidos son prácticamente incompresibles, por lo que se puede considerar que su volumen es constante, aunque su forma puede variar. Los gases son altamente compresibles, por lo no tienen un volumen característico, sencillamente se expanden hasta llenar cualquier recipiente en que se les coloque.

Todo fluido soporta fuerzas normales o perpendiculares a sus fronteras, sin que haya escurrimiento, y puede estar en equilibrio bajo la acción de una diversidad de fuerzas de este tipo. Sin embargo, un fluido no puede resistir la acción de una fuerza tangencial, ya que tan pronto como se ejerce este tipo de fuerza, el fluido responde deslizándose sobre sus fronteras, provocando el movimiento del fluido.

Por lo tanto, una condición necesaria para que un fluido esté en equilibrio, es que sus fronteras sólo experimenten fuerzas normales.

[editar] Propiedades de los fluidos

Dos propiedades esenciales de los fluidos son la densidad y la presión.

Se define la densidad de un cuerpo, también llamada densidad absoluta, en este caso de un fluido, denotado por la letra griega $ρ$ , como la cantidad de masa que hay en una unidad de volumen, entonces:

$\rho = \frac{m}{V} \left [ \frac{kg}{m^3} \right ]$

La densidad del agua es la densidad clave para definir la densidad relativa de un fluido, ya que expresa la relación que existe entre la densidad de una sustancia y la densidad del agua, resultando en una magnitud adimensional:

$\rho_{rel} = \frac{\rho_{abs}}{\rho_{H_2O}}$

La presión que se ejerce sobre un fluido de área A, que se denota por P, se define como la razón entre la fuerza ejercida y el área sobre el cuál actúa, es decir:

$P = \frac{F}{A} \left [ \frac{N}{m^2} \right ]$

[editar] Variación de la presión en un fluido con la profundidad

Consideremos un fluido que se encuentra en reposo, para facilitar la comprensión , consideremos que es un líquido. Ahora consideremos un elemento de este fluido en forma de paralelepípedo, que se encuentra a una profundidad y, cuya base tiene un área A, y cuya altura es dy. Dado que se habla de variación con la profundidad, existe una fuerza que se ejerce sobre el fluido, hacia abajo y otra fuerza que es la reacción del fluido, hacia arriba. Además existen otras dos fuerzas que se ejercen por los costados del elemento, pero que luego se anulan, y además está la fuerza peso del elemento de fluido. Sean F la fuerza que se ejerce hacia abajo y F' la fuerza que se ejerce hacia arriba, W la fuerza peso, y R y R' las fuerzas a los costados del elemento. Como todo el sistema se encuentra en equilibrio, se debe tener:

$\Sigma\;F_x = 0 \Longrightarrow \; R - R' = 0 \Longrightarrow \; R = R'$

$\Sigma\;F_y = 0 \Longrightarrow \; F - F' + W = 0$

Como la base del elemento de fluido es A, entonces las presiones aplicadas a la base inferior y a la base superior del elemento son:

$P = {F \over A} \Longrightarrow \; F = PA$ a la profundidad y, y

$P + dP = {F' \over A} \Longrightarrow \; F' = (P + dP)A$ a la profundidad y + dy.

De acuerdo a la definición de densidad de un cuerpo, la densidad del fluido está dado por:

$\rho\; = {m \over V} \Longrightarrow \; m = \rho\;V = \rho\;Ady$

entonces:

$W = mg = \rho\;gAdy$

Por lo tanto:

$F - F' + W = 0 \Longrightarrow \; PA - (P + dP)A + \rho\;gAdy = 0$

$\Longrightarrow \; (P - P - dP)A = -\rho\;gAdy$

$\Longrightarrow \; -dP = -\rho\;gdy$

$\Longrightarrow \; dP = \rho\;gdy$

Ahora se integra la expresión anterior, entre P₁ y P₂ para la presión, y entre y₁ y y₂ para la profundidad, es decir:

$\Longrightarrow \; \int_{P_1}^{P_2} \, dP = \rho\;g\int_{y_1}^{y_2} \, dy$

$\Longrightarrow \; P_2 - P_1 = \rho\;g(y_2 - y_1)$

La presión P₁ corresponde a la presión ejercida sobre el fluido a la profundidad y₁ = 0, que generalmente corresponde a la presión atmosférica, P₀ = P_atm, y la presión P₂ es la presión total ejercida sobre el elemento de fluido a la profundidad y₂ = y, que se denotará por P, luego se tiene que:

$P - P_0 = \rho\;gy\Longrightarrow \; P = P_0 + \rho\;gy$

Esta expresión indica que la presión total ejercida sobre un fluido, depende únicamente de la profundidad, ya que la densidad $ρ$ , la aceleración de gravedad y la presión atmosférica P₀ son constantes, por esto se dice que la presión que se ejerce sobre un fluido, se ejerce con la misma magnitud a todas partes del fluido. Esto último es lo que se conoce como Principio de Pascal.

[editar] Variación de la presión en un fluido con la altura

En este caso, consideremos que el fluido se trata de un gas, y consideremos también un elemento del mismo, ubicado a una altura h, cuya base tiene un área A y cuya altura es dh. Aquí hay una fuerza F que actúa hacia abajo, y otra fuerza de reacción F' del fluido que actúa hacia arriba, y además está el peso W del elemento de fluido. Por los costados actúan dos fuerzas más R y R' que con la condición de equilibrio se anulan:

$\Sigma\;F_x = 0 \Longrightarrow \; R - R' = 0 \Longrightarrow \; R = R'$

$\Sigma\;F_y = 0 \Longrightarrow \; -F + F' - W = 0$

A la altura h del fluido, actúa una fuerza F' y por lo tanto:

$P = \frac{F'}{A}\Longrightarrow \;F' = PA$

Y a la altura h + dh, actúa la fuerza F, luego:

$P + dP= \frac{F}{A}\Longrightarrow \;F = (P + dP)A$

Por lo tanto

$\Sigma\;F_y = 0 \Longrightarrow \; -F + F' - W = 0$

$\Longrightarrow \; -(P + dP)A + PA - \rho\;gAdh = 0$

$\Longrightarrow \; (-P - dP + P)A = \rho\;gAdh$

$\Longrightarrow \; -dP = \rho\;gdh$

$\Longrightarrow \; dP = -\rho\;gdh$

Ahora se integra la expresión anterior, entre P₁ y P₂ para la presión, y entre h₁ y h₂ para la altura, es decir:

$\Longrightarrow \; \int_{P_1}^{P_2} \, dP = \rho\;g\int_{h_1}^{h_2} \, dh$

$\Longrightarrow \; P_2 - P_1 = \rho\;g(h_2 - h_1)$

En este caso la presión P₂ es la presión ejercida por la atmósfera, es decir P₂ = P_atm, y la presión P₁ es la presión ejercida sobre el elemento de fluido a la altura h, luego se tiene que:

$P = P_0 - \rho\;gh$

Este resultado también se puede expresar mediante el Principio de Pascal.

Otro aspecto importante que se obtiene de la fórmula de variación de la presión con la profundidad, es la acción de la fuerza total F_t que se ejerce en esa parte del fondo del recipiente, directamente abajo del área A. Esto se obtiene de la siguiente forma:

$P = P_0 + \rho\;gy\Longrightarrow \; PA = P_0A + \rho\;gyA$

$\Longrightarrow \; F = F_0 + \rho\;Ayg\Longrightarrow \; F = F_0 + m_Ag$

en que F_t es la fuerza que se ejerce en el fondo, es decir a la profundidad total y, F₀ es la fuerza ejercida por la presión atmosférica en la superficie. La cantidad Ay es el volumen del fluido en una columna cuya área transversal o en la base es A y cuya altura es y. Por lo tanto la cantidad $ρ$ Ay representa la masa del fluido en esa columna. En consecuencia, la fuerza sobre cualquier área del fondo, es igual a la fuerza ejercida por la presión atmosférica sobre el área correspondiente de la superficie, más el peso del fluido contenido en la columna que descansa sobre esa área del fondo.