Polinomio irreducible

De Wikipedia, la enciclopedia libre

Tienes mensajes nuevos (Dif. entre las dos últimas versiones).

El contenido de esta página es un esbozo sobre matemática. Ampliándolo ayudarás a mejorar Wikipedia.
Puedes ayudarte con las wikipedias en otras lenguas.

En Teoría de Anillos, un polinomio no constante (y por lo tanto no nulo) $p$ con coeficientes en un dominio íntegro $R$ (es decir, $p \in R[x]$ ) es irreducible si no puede factorizarse como producto de polinomios de manera que todos ellos tengan grados menor que $d e g (p)$ . Es decir, si $p = r \cdot q$ entonces ha de ser $r \in R$ o $q \in R$ (es decir, alguno de ellos ha de ser un polinomio constante).

Esto es un caso particular de elemento irreducible en un dominio íntegro.

El dominio íntegro R puede, entre otros, ser el conjunto $\mathbb{R}$ de los números reales (que es dominio íntegro por ser cuerpo), el conjunto $\mathbb{C}$ de los números complejos (también cuerpo), el conjunto $\mathbb{Q}$ de los números racionales (cuerpo también) o el conjunto $\mathbb{Z}$ de los números enteros (que no es cuerpo pero sí dominio íntegro).

[editar] Ejemplos

Los cinco polinomios siguientes demuestran algunas características elementales de los polinomios reducibles e irreducibles:

$p_1(x)=x^2+4x+4\,=(x+2)(x+2)$ ,

$p_2(x)=x^2-4\,=(x-2)(x+2)$ ,

$p_3(x)=x^2-4/9\,=(x-2/3)(x+2/3)$ ,

$p_4(x)=x^2-2\,=(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})$ ,

$p_5(x)=x^2+1\,=(x-i)(x+i)$ .

Sobre el anillo $\mathbb{Z}$ de números enteros, los primeros dos polinomios son reducibles, pero los dos ultimos son irreducibles (el tercero no tiene coeficientes del número entero).

Sobre el cuerpo $\mathbb{Q}$ de números racionales, los primeros tres polinomios son reducibles, pero los otros dos son irreducibles.

Sobre el cuerpo $\mathbb{R}$ de números reales, los primeros cuatro polinomios son reducibles, pero el quinto sigue siendo irreducible.

Sobre el cuerpo $\mathbb{C}$ de números complejos, los cinco polinomios son reducibles.

De hecho en $\mathbb{C}$ , cada polinomio no-constante se puede descomponer en factores lineares

$p(z)=a_n (z-z_1)(z-z_2)\cdots(z-z_n)$

donde $a n$ es el coeficiente principal del polinomio y $z_1,\ldots,z_n$ son los ceros de $p (x)$ . Por lo tanto, todos los polinomios irreducibles son de grado 1. Éste es el teorema fundamental de la álgebra.

Un polinomio irreducible es polinomio primitivo si y solo si $x^{{p^{m-1}}\over {ri}} \not \equiv 1 \bmod f(x)$

p es primo

y x es un elemento de orden $p^m \in \mathbb{Z}_p[x]/f(x)$

Para probar si un polinomio es irreducible se pueden aplicar varios criterios, entre los que se encuentran el criterio de Eisenstein o el criterio de reduccion

Obtenido de "http://es.wikipedia.org../../../p/o/l/Polinomio_irreducible.html"

Categorías: Wikipedia:Esbozo matemática | Teoría de anillos | Polinomios

Polinomio irreducible

De Wikipedia, la enciclopedia libre

[editar] Ejemplos

Views

Navegación

Buscar

Otros idiomas