Red (matemáticas)

De Wikipedia, la enciclopedia libre

Tienes mensajes nuevos (Dif. entre las dos últimas versiones).

En matemática, una red es la generalización del concepto de sucesión, de tal manera que no necesariamente tenga una cantidad numerable de elementos. Es el concepto más adecuado (o también su equivalente de filtro) para estudiar la convergencia en un espacio topológico.

Tabla de contenidos

1 Definición.
- 1.1 Conjunto dirigido.
- 1.2 Red.
2 Convergencia.
- 2.1 Límite de una red.
3 Ejemplos.

[editar] Definición.

[editar] Conjunto dirigido.

Un conjunto dirigido es un par $(D,\sim)$ en el que $D$ es un conjunto y $\sim$ es una relación en $D$ que verifica las tres siguientes propiedades:

$\forall x \in D, x \sim x$ (propiedad reflexiva).
$\forall x,y,z \in D$ tales que $x \sim y$ e $y \sim z$ , se cumple entonces que $x \sim z$ (propiedad transitiva).
$\forall x,y \in D \exist z \in D$ tal que $x \sim z$ e $y \sim z$ .

En particular, todo conjunto totalmente ordenado es un conjunto dirigido.

[editar] Red.

Una red en un conjunto $X$ no es más que una aplicación $r: (D,\sim) \longrightarrow X$ entre un conjunto dirigido $(D,\sim)$ y un conjunto $X$ . Se suele representar por $(x_d)_{d \in D}$ , donde $x d : = r (d)$ .

[editar] Convergencia.

[editar] Límite de una red.

Sea $(X, T)$ un espacio topológico y $(x_d)_{d \in D}$ una red en $X$ . Se dice que $x \in X$ es un punto límite de la red $(x \in \lim_{d \in D} x_d)$ si la red está eventualmente en cada entorno de $x$ , es decir, si cualquiera que sea el entorno $V$ de $x$ (esto es, cualquiera que sea el conjunto $V$ de forma que exista un abierto $G$ tal que $x \in G \subset V$ ) existe un $d_0 \in D$ de tal forma que para cada $d \in D$ con $d_0 \sim d$ se cumple que $x_d \in V$ .

De la propia definición se desprenden de forma inmediata dos consecuencias:

El límite de una red no siempre ha de existir. Existen redes que carecen de límite.
En caso de existir, el límite de una red no necesariamente es un único elemento, sino que es un conjunto de elementos. En el caso de espacios topológicos con la propiedad de Hausdorff (i.e., T₂), el límite, si existe, se reduce a un único punto.

[editar] Ejemplos.

El ejemplo más inmediato de red es el concepto de sucesión. En ellas, el conjunto dirigido es el conjunto de los números naturales con la relación de orden usual. Esto es así porque el conjunto de los números naturales con el orden usual es un conjunto totalmente ordenado.

Otro ejemplo esencial es el de función de variable real. En efecto, como el conjunto de los números reales junto con el orden usual es un conjunto totalmente ordenado, una función de variable real es una red.

Estos dos ejemplos son lo suficientemente importantes como para justificar el estudio de las redes.

Obtenido de "http://es.wikipedia.org../../../r/e/d/Red_%28matem%C3%A1ticas%29.html"

Categorías: Matemática | Topología | Análisis matemático

Red (matemáticas)

De Wikipedia, la enciclopedia libre

Tabla de contenidos

[editar] Definición.

[editar] Conjunto dirigido.

[editar] Red.

[editar] Convergencia.

[editar] Límite de una red.

[editar] Ejemplos.

Views

Navegación

Buscar

Otros idiomas