Équipollence
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Dans l'enseignement secondaire, les vecteurs sont habituellement définis comme étant des classes d'équivalence pour l'équipollence des bipoints. L'équipollence est alors définie à l'aide de quelques notions géométriques intuitives admises: Deux bipoints (a,b) et (c,d) sont équipollents s'ils ont la même direction, le même sens et la même longueur.
Dans un espace affine: Deux bipoints (a,b) et (c,d) sont dits équipollents si 
, les points a,b,c,d forment alors un parallélogramme (éventuellement aplati).
L'équipollence peut également être définie d'une manière axiomatique simple:
Équipollence. - Soit X un ensemble non vide dont les éléments seront appelés des points. On suppose que X×X est muni d'une relation d'équivalence notée ~ vérifiant les deux axiomes suivants :
i) Pour tous a,b,c∈X, il existe un unique d∈X tel que (a,b)~(c,d).
ii) Pour tous (a,b),(a',b')∈X×X, (a,b)~(a',b')⇒ (a,a')~(b,b').
La relation ~ sera alors appelée une équipollence sur X.
Croisement des équipollences - Si , alors 
.
On en déduit une nouvelle définition des espaces affines :
Espace affine. - Un ensemble X muni d'une équipollence s'appelle un espace affine. Les classes d'équivalence pour l'équipollence sont appelées les vecteurs de X.
La classe d'un bipoint (a,b) sera notée 
.
Désignons par E l'ensemble des vecteurs de X. Pour définir la somme de deux vecteurs nous aurons besoin du lemme suivant :
Lemme. - Si (a,b)~(a',b') et (b,c)~(b',c') alors (a,c)~(a',c').
Preuve. Nous avons: (a,b)~(a',b')⇒ (a,a')~(b,b'), et (b,c)~(b',c')⇒ (b,b')~(c,c'). Donc, par transitivité, (a,a')~(c,c'). D'où (a,c)~(a',c').
Addition des vecteurs. - Soit 
et 
deux vecteurs et a un point de X, il existe b,c∈X uniques tels que:
et :
. Par définition 
.
Le lemme précédent montre que cette définition ne dépend pas du point a. Il est alors facile de vérifier que l'ensemble E des vecteurs de X muni de l'addition est un groupe abélien.
Si de plus E est un espace vectoriel sur un corps commutatif K on dit que X est un espace affine sur le corps K. Si E est un espace vectoriel euclidien on dit que X est un espace affine euclidien.
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