Mécanique des milieux continus

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La mécanique des milieux continus est le domaine de la mécanique qui s'intéresse à la déformation des solides et à l'écoulement des fluides — ce dernier point fait l'objet de l'article mécanique des fluides, nous nous intéresserons donc ici essentiellement à la déformation des solides.

Mécanique des milieux continus	Déformation élastique ou Résistance des matériaux	Elasticité
		Plasticité	Rhéologie
	Mécanique des fluides	Fluides non-newtoniens
		Fluides newtoniens

Sommaire

1 Le milieu continu
2 Approche simplifiée : contrainte, déformation et coefficients élastiques
3 Descriptions des milieux continus
4 Cinématique des milieux continus (description lagrangienne)
5 Loi de comportement
6 Lois empiriques de comportement
7 Essais mécaniques simples
8 Tenseur des déformations
9 Tenseur des contraintes
10 Voir aussi

[modifier] Le milieu continu

Si l'on regarde la matière de « très près » (échelle nanoscopique), la matière est granulaire, faite d'atomes. Mais à l'œil nu (donc en se plaçant à notre échelle), un objet solide semble continu, c'est-à-dire que ses propriétés semblent varier progressivement, sans à-coups.

L'hypothèse des milieux continus consiste à considérer des milieux dont les propriétés caractéristiques, c'est-à-dire celles qui nous intéressent — densité, élasticité, etc. — sont continues. Une telle hypothèse permet d'avoir recours aux outils mathématiques reposant sur les fonctions continues et/ou dérivables.

Des hypothèses supplémentaires peuvent éventuellement être faites ; ainsi un milieu continu peut être :

homogène : ses propriétés sont les mêmes en tout point.
isotrope : ses propriétés ne dépendent pas du repère dans lequel elles sont observées ou mesurées.

De nombreux matériaux utilisés dans l'industrie sont à la fois homogènes et isotropes (métaux usinés ou bruts de fonderie). Cependant, de nombreux matériaux ne sont pas isotropes (tôles laminées, pièces forgées, pièces tréfilées…) ; par ailleurs, l'utilisation de plus en plus fréquentes des matériaux composites a amené à étudier les milieux qui ne sont ni homogènes (sandwiches), ni isotropes (fibres de verre, de carbone ou de kevlar maintenues dans une résine) mais pour lesquels l'hypothèse de continuité (tout au moins par morceaux) reste valable.

[modifier] Approche simplifiée : contrainte, déformation et coefficients élastiques

La base de la mécanique des milieux continus est l'étude de la déformation élastique, réversible et linéaire. On se place en petites déformations afin de simplifier les expressions.

La déformation est quantifiée par l'allongement relatif ε, encore appelé déformation

$\varepsilon = \frac{\Delta l}{l_0}$

l₀ étant la longueur initiale et Δl l'allongement ; ε est sans unité.

Les sollicitations sont quantifiées par la notion de contrainte σ, qui est la force exercée divisée par la section droite de la pièce au point considéré

$\sigma = \frac{F}{S}$

σ est homogène à une pression et est exprimé en méga-pascal (MPa).

Le fait d'utiliser σ et ε permet de s'affranchir des dimensions de la pièce et donc de caractériser le matériau en lui-même.

Le matériau est caractérisé par des coefficients élastiques, qui représentent la difficulté à déformer ; le principal est le module d'Young E

σ = E · ε loi de Hooke

E est homogène à une pression et est exprimé en giga-pascal (GPa).

Voir l'article détaillé Déformation élastique.

[modifier] Descriptions des milieux continus

Pour décrire le milieu on se donne les outils suivants :

[modifier] Représentation lagrangienne

En représentation lagrangienne, les fonctions décrivant les grandeurs dépendent des variables suivantes :

La particule considérée (ou sa position $M 0$ à un temps de référence $t 0$ )
Le temps

Si $X$ est un champ lagrangien, alors on a :

$X = X (M 0, t) = X (x 0, y 0, z 0, t)$

La représentation lagrangienne suit chaque particule.

[modifier] Représentation eulérienne

En représentation eulérienne, les fonctions décrivant les grandeurs dépendent des variables suivantes :

Le point géométrique considéré
Le temps

Si $X$ est un champ eulérien, alors on a :

$X = X (M, t) = X (x, y, z, t)$

Le champ eulérien donne la valeur de la grandeur considérée portée par la particule qui au temps $t$ occupe le point $M$ .

[modifier] Utilisation des deux représentations

La représentation lagrangienne est souvent plus intuitive au départ, mais elle présente de nombreux défauts :

Un champ lagrangien est difficilement stationnaire
Il est parfois difficile de suivre une particule

La représentation eulérienne est peut-être moins intuitive, mais elle à un avantage majeur :

Simplicité de la description (par exemple d'un écoulement autour d'un solide)

En description eulérienne il y a cependant un inconvénient : pour appliquer les théorèmes de la mécanique, il faut considérer un sytème fermé, or le champ eulérien donne les grandeurs en un point géométrique (donc les particules en ce point changent au cours du temps) ce qui est un système ouvert. Il faut donc être capable d'exprimer les dérivées des grandeurs pour chaque particule en fonction du champ eulérien. Pour cela on peut utiliser la dérivée particulaire, ou la formulation sous forme conservative des différents théorèmes ce qui concerne les équations de Navier.

expression de la dérivée particulaire

Si $X(\underline{M},t)$ est un champ scalaire :

$\frac{D X}{Dt}=\frac{\partial X}{\partial t}.\frac{dt}{dt} + \frac{\partial X}{\partial \underline{M}}.\frac{d\underline{M}}{dt} = \frac{\partial X}{\partial t} + \underline{v}\cdot\underline{{grad}}(X)$

De même, si $\underline{X}$ est un champ vectoriel, en développant :

$\frac{D \underline{X}}{Dt}=\frac{\partial \underline{X}}{\partial t} +\underline{\underline{grad}}(\underline{X})\cdot\underline{v}$

On obtiendra le même type de formule pour la dérivée particulaire d'un champ représenté par un tenseur d'ordre quelconque.

La représentation lagrangienne est adaptée à la description des solides, tandis que la représentation eulérienne est adaptée à la description des fluides.

[modifier] Cinématique des milieux continus (description lagrangienne)

On décrit la transformation de chaque point du milieu par une fonction (suffisamment régulière) :

$\underline{\Phi}(M,t)$ telle que $\underline{OM}=\underline{\Phi}(M_0,t)$

On introduit alors le concept de déformation, pour mesurer la variation de distance entre deux points du solide suite à la transformation $\underline{\Phi}$

On cherche à avoir une mesure de $\|MN\|^2-\|M_0N_0\|^2$ .

Or on a $\underline{OM}=\underline{\Phi}(M_0,t)$ On peut donc écrire :

$\underline{ON}=\underline{OM}+\underline{\underline{F}}\cdot\underline{M_0N_0} +o(\|\underline{M_0N_0}\|)$

Où $\underline{\underline{F}}=\underline{\underline{grad}}(\underline{\Phi})= \frac{\partial\underline{\Phi}}{\partial M_0}$ est le gradient de la transformation.

On obtient donc :

$\|MN\|^2-\|M_0N_0\|^2=\underline{M_0N_0} \left(\underline{\underline{F}}^T \cdot\underline{\underline{F}}-\underline{\underline{Id}}\right) \underline{M_0 N_0}$

On pose :

$\underline{\underline{E}}=\frac{1}{2}\left(\underline{\underline{F}}^T \cdot\underline{\underline{F}}-\underline{\underline{Id}}\right)$

$\underline{\underline{E}}$ est l'opérateur des déformations de Green-Lagrange

Si on introduit le vecteur déplacement $\underline{u}(M_0,t)=\underline{M_0M}$ on obtient :

$\underline{\underline{E}}= \frac{1}{2}\left(\frac{\partial\underline{u}}{\partial M_0}^T \cdot\frac{\partial\underline{u}}{\partial M_0} + \frac{\partial\underline{u}}{\partial M_0} +\frac{\partial\underline{u}}{\partial M_0}^T \right)$

Si l'on fait l'hypothèse des petites déformations, on obtient l'opérateur des déformations linéarisé :

$\underline{\underline{\varepsilon}}= \frac{1}{2}\left(\frac{\partial\underline{u}}{\partial M_0} +\frac{\partial\underline{u}}{\partial M_0}^T \right)$

[modifier] Loi de comportement

Voir l’article Déformation élastique.

[modifier] Lois empiriques de comportement

Voir l’article Lois de déformation.

Les lois empiriques de comportement sont des lois dérivées des observations et de l'expérience, qui décrivent les déformations ou les contraintes en fonction des sollicitations (vitesse de déformation, température...).

[modifier] Essais mécaniques simples

Voir l’article Essais mécaniques.

Ces essais permettent de mesurer, pour un objet, les principales grandeurs caractéristiques liées à la matière dont il est constitué.

[modifier] Tenseur des déformations

Voir l’article Tenseur des déformations.

Si l'on dessine un petit cube au sein de la matière, ce cube sera transformé en parallélépipède après déformation de la pièce (on suppose des petites déformations). On va donc avoir d'une part un élongation (ou contraction) différente selon les trois arrête (ε₁, ε₂, ε₃), mais aussi une variation de l'angle droit pour chacun des trois angles, qui deviendront (π/2-2·γ₁, π/2-2·γ₂, π/2-2·γ₃).

On peut organiser ces nombres ε_i et γ_i dans un « tableau », et donc représenter la déformation sous la forme d'une matrice 3×3 (ou tenseur).

[modifier] Tenseur des contraintes

Voir l’article Tenseur des contraintes.

Dans le cas général, un élément de matière situé au cœur d'une pièce est soumis à des contraintes dans diverses directions. On représente cet état de contrainte par un tenseur (une matrice) 3×3 appelé tenseur des contraintes.

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