Quadrilatère complet
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Un quadrilatère complet est une figure de géométrie plane constituée de quatre droites dont deux quelconques ne sont pas parallèles ni trois quelconques concourantes.
Une autre manière de définir un quadrilatère complet est de compléter un quadrilatère convexe ABCD par le point E intersection des droites (AB) et (CD) et le point F intersection des droites (AD) et (BC).
Cette figure est très liée à la géométrie projective et fut étudiée dès le IIe siècle par Menelaüs puis Pappus d'Alexandrie.
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[modifier] Propriétés
Propriétés des diagonales:
- Chaque diagonale coupe les deux autres en créant des divisions harmoniques. De manière plus explicite la diagonale (AC) coupe la diagonale (DB) et la diagonale (EF) en M et N tels que
C'est une conséquence du théorème de Ménélaüs et du théorème de Ceva
- Les milieux des trois diagonales sont alignés sur une droite appelée droite de Newton.
Théorème de Miquel : les cercles circonscrits aux triangles (EAD), (EBC), (FAB) et (FDC) sont concourants.
Le dual du quadrilatère complet est le quadrangle complet
[modifier] Utilisation remarquable
Le quadrangle complet inscrit dans une conique est très utile pour démontrer certaines propriétés des tangentes et des polaires dans une conique.
[modifier] Voir aussi
[modifier] Article connexe
[modifier] Liens externes
- quadrilatère complet sur Chronomath
- quadrilatère complet sur le site de Debart
