Représentation d'interaction

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La représentation d'interaction ou représentation de Dirac de la mécanique quantique est une manière de traiter les problèmes dépendant du temps.

Sommaire

1 Condition d'application de la représentation d'interaction
2 Propagateurs
3 Définition des hamiltoniens et fonction d'onde d'interaction
4 Equations d'évolution de la foction d'onde et des observables

[modifier] Condition d'application de la représentation d'interaction

Dans la représentation d'interaction, on applique les hypothèses suivantes:

Le hamiltonien de la représentation de Schrödinger peut s'écrire: $\hat H_S=\hat H_{0,S}+\hat H_{1,S}$ où $\hat H_{0,S}$ est constant dans le temps et $\hat H_{1,S}$ décrit une interaction perturbative qui peut dépendre du temps.
Les états propres sont dépendants du temps
Les opérateurs sont aussi dépendants du temps
La dynamique des états est décrite suivant la représentation de Schrödinger tandis que la dynamique des opérateurs est décrite suivant la représentation de Heisenberg.
La représentation de dirac ne s'applique efficacement qu'à certains problèmes. L'exemple le plus parlant est celui des perturbations dépendant du temps.

[modifier] Propagateurs

Afin de reconnaitre qu'on travaille dans la représentation d'interaction, les états et les operateurs seront suivis de l'indice "I"(comme interaction). Le sens de cette représentation tient en ce que la dépendance en temps dûe à $\hat H_{0,S}$ sera prise en compte dans la dépendance explicite des observables en fonction du temps et la dépendance en temps dûe à $\hat H_{1,S}$ dans le développement de la fonction d'onde. C'est une autre façon de décrire la même physique. Ceci signifie que les grandeurs physiques significatives sont inchangées.

Il y a deux opérateurs d'évolution dans le temps:

l'opérateur "normal" relatif au hamiltonien complet $\hat H_S$

$\hat U(t,t_0)=e^{-i\hat H_S(t-t_0)/\hbar}$

l'operateur relatif au hamiltonien non perturbé $\hat H_{0,S}$

$\hat U_0(t,t_0)=e^{-i\hat H_{0,S}(t-t_0)/\hbar}$

[modifier] Définition des hamiltoniens et fonction d'onde d'interaction

L'operateur dépendant du temps $\hat A_I(t)$ s'écrit comme dans la représentation de Heisenberg

$A_{\rm I}(t)=\hat U_0^{\dagger}(t,t_0)\hat A_{\rm S}(t_0)\hat U_0(t,t_0)={\rm e}^{\frac{i\,\hat H_0(t-t_0)}{\hbar}}\hat A_{\rm S}(t_0){\rm e}^{-\frac{i\,\hat H_0(t-t_0)}{\hbar}} \, .$

l'état dépendant du temps $|\psi(t)\rangle_{\rm I}$ n'est accessible qu'indirectement, par réduction (dans la représentation de Schrödinger) de l'état de la dynamique complète $|\psi(t)\rangle_{\rm S}$ ,afin de définir .

$|\psi(t)\rangle_{\rm I}=\hat U_0^{\dagger}(t,t_0)|\psi(t)\rangle_{\rm S}={\rm e}^{\frac{i\,\hat H_0(t-t_0)}{\hbar}}|\psi(t)\rangle_{\rm S}\, .$

A partir de là nous définissons aussi l'opérateur dépendant du temps $H 1 I (t)$ :

$\hat H_{1 \rm I}(t) ={\rm e}^{\frac{i\,\hat H_0(t-t_0)}{\hbar}}\hat H_1{\rm e}^{-\frac{i\,\hat H_0(t-t_0)}{\hbar}} \, .$

[modifier] Equations d'évolution de la foction d'onde et des observables

L'évolution de la fonction d'état s'écrit dans cette représentation:

$i \hbar \frac{d}{dt} | \psi_{I} (t) \rang = \hat H_{1, I} | \psi_{I} (t) \rang$ .

Cette equation est connue sous le nom d'équation de Schwinger-Tomonaga. L'évolution de la grandeur physique représentée par l'opérateur A s'écrit:

$i\,\hbar\frac{{\rm d} \hat A_{\rm I}}{{\rm d}t}=\left[\hat A_{\rm I}(t),\hat H_0\right] +\frac{\partial \hat A}{\partial t}_{\rm I}$