Symétrie
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Il existe plusieurs sens au mot symétrie. Le sens le plus commun en mathématique concerne celui de symétrie en tant que transformation géométrique. Ces symétries sont décrites dans l'article symétrie (transformation géométrique).
Cet article présente une généralisation de cette notion à toute correspondance élément par élément sans modification de la structure.
Un système est symétrique quand on peut permuter simultanément tous ses éléments sans modifier sa structure. Les symétries traduisent une sorte d'égalité du système avec lui-même, ou d'uniformité de sa structure. La notion d'automorphisme, ou isomorphisme interne, exposée plus loin, permet de préciser cette définition.
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[modifier] Exemples
Un papillon, par exemple, comme la plupart des animaux, est symétrique, au moins en surface, parce qu’on peut permuter tous les points de la moitié gauche du corps avec tous les points sur la moitié droite selon un axe judicieusement choisi, appelé axe de symétrie, sans que l’apparence du papillon soit modifiée
Les exemples de symétries sont très nombreux. Il y en a autant qu’il y a de façons de permuter simultanément les parties d’un système : symétries par rapport à un axe ou un plan, rotations, translations, homothéties unitaires, ainsi que toutes leurs combinaisons, entre autres.
Lorsqu’un système est symétrique, les parties permutables sont nécessairement semblables à l'intérieur d'un modèle, et presque identiques dans le monde physique, puisque le système n’est pas modifié par leur permutation.
L’espace euclidien en son entier est un des systèmes les plus symétriques, au sens où l’ensemble des façons de permuter simultanément tous ses points sans modifier sa structure, son groupe de symétries, est l’un des plus grands, parmi les groupes des symétries géométriques. Tous les points de l’espace sont semblables. Ils n’ont pas d’autre qualité que d’être un point. Ils ont tous les mêmes relations avec le reste de l’espace. Les principales symétries de l’espace euclidien sont les isométries. Que tous les points sont semblables s’exprime alors par le fait que n’importe quel point peut être transformé en n’importe quel autre par une isométrie.
Si l’on brise la symétrie de l’espace en introduisant une sphère, alors tous les points ne sont plus semblables : il y a des points sur la sphère, d’autres à l’intérieur et d’autres à l’extérieur. En revanche, tous les points de la sphère sont semblables. N’importe lequel d’entre eux peut être transformé en n’importe quel autre par une isométrie : une rotation autour du centre de la sphère.
[modifier] Qu’est-ce qu’un automorphisme ?
La notion d’automorphisme permet de préciser la définition des symétries. Que veut dire « sans modifier sa structure » ?
Un système est défini comme un modèle. Il faut déterminer
- l’ensemble U, fini ou infini, de ses éléments, ses points, ses atomes ou ses constituants élémentaires. C’est le domaine d’existence associé au système ou à l’univers étudié.
- l’ensemble, en général fini, des prédicats fondamentaux, propriétés de base des éléments et relations entre eux.
- l’ensemble, en général vide ou fini, des opérateurs, ou fonctions, qui déterminent davantage la structure du système.
Une transformation géométrique t est un automorphisme, un isomorphisme interne ou une symétrie, pour une relation binaire R lorsqu’elle est une fonction inversible, ou bijection, de U dans U telle que
pour tout x et y, x R y si et seulement si tx R ty
Ce qui est vrai de x et y, de satisfaire la relation R, est également vrai de tx et ty.
x est semblable à tx, y à ty.
Cette définition d’un automorphisme se généralise aisément aux prédicats unaires et à toutes les relations, quel que soit le nombre de leurs arguments. Pour un prédicat unaire P, une transformation t est un automorphisme lorsque
pour tout x, Px si et seulement si Ptx
Dans l’exemple du papillon, la symétrie entre la gauche et la droite est un automorphisme pour les propriétés (les prédicats unaires) de couleur. Un point a la même couleur que son point symétrique.
Une transformation t est un automorphisme pour un opérateur binaire + lorsque
pour tous x et y, t(x+y)=(tx)+(ty)
Cette définition d’un automorphisme se généralise aisément à tous les opérateurs, quel que soit le nombre de leurs arguments. t est un automorphisme pour un opérateur unaire lorsque
pour tout x, t(-x) = -t(x)
Autrement dit, une transformation est un automorphisme pour un opérateur unaire, ou fonction d'une seule variable, lorsqu'elle commute avec lui. Lorsque des transformations commutent entre elles, elles sont toutes des automorphismes les unes vis-à-vis des autres, au sens où toute structure définie par une transformation est conservée par toutes les autres.
À un opérateur binaire +, on peut associer une relation ternaire définie par x+y=z . On voit alors que la définition d’un automorphisme pour un opérateur est un cas particulier de la définition d’un automorphisme pour les relations.
[modifier] Les groupes de symétries
Le groupe des symétries est l’ensemble de tous les automorphismes du système. On a les propriétés suivantes.
Pour tous automorphismes t et u, t°u est un automorphisme et l’inverse de t est un automorphisme. La tranformation identique (qui associe toujours x à x) est un automorphisme.
Autrement dit,
- si une structure est conservée par deux transformations effectuées séparément, elle est aussi conservée lorsqu'on effectue les deux transformations l'une à la suite de l'autre. C'est simplement la transitivité de l'égalité de la structure.
- si une structure est conservée par une transformation, elle est aussi conservée par la transformation inverse.
- en outre, il existe toujours une transformation identique, qui ne transforme rien, qui est donc toujours un automorphisme, puisqu'elle ne peut pas modifier quoi que ce soit.
Ces trois propriétés font de l'ensemble des automorphismes d'un système un groupe pour sa loi de composition interne naturelle.
Il est à noter que la théorie des groupes est le principal outil théorique d’étude des symétries.
