Table de primitives

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Primitives de fonctions

Rationnelles

Logarithmes

Circulaires réciproques

Hyperboliques réciproques

Le calcul d'une primitive d'une fonction est l'une des deux opérations de base de l'analyse et comme cette opération est délicate à effectuer, à l'inverse de la dérivation, des tables de primitives connues sont souvent utiles.

Nous savons qu'une fonction continue sur un intervalle admet une infinité de primitives et que ces primitives diffèrent d'une constante ; nous désignons par C une constante arbitraire qui peut seulement être déterminée si nous connaissons la valeur de la primitive en un point. $\int f(x)\,dx$ désigne l'ensemble de toutes les primitives d'une fonction f à une constante additive près. $\int f(x)\,dx$ s'appelle une intégrale indéfinie de f.

[modifier] Règles générales d'intégration

$\int cf(x)\,dx = c\int f(x)\,dx$

$\int [a f(x) + b g(x)]\,dx = a \int f(x)\,dx + b \int g(x)\,dx$

$\int_{a}^{c}f(x)\,dx = \int_{a}^{b}f(x)\,dx + \int_{b}^{c}f(x)\,dx$

[modifier] Primitives de fonctions simples

$\int \,dx = x + C_{ \in \mathbb R }$

[modifier] Primitives de fonctions rationnelles

$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\qquad\mbox{ si }n \ne -1$

$\int x^{-1}\,dx = \ln{\left|x\right|} + C$

$\int \frac{1}{1+x^2} \, dx = \operatorname{Arctan}{x} + C$

$\int \frac{1}{a^2+x^2} \, dx = \frac{1}{a}\operatorname{Arctan}{\frac{x}{a}} + C\qquad\mbox{ si }a \ne 0$

$\int \frac{1}{1-x^2} \, dx = \frac{1}{2}\ln{\frac{x+1}{x-1}} + C$

$\int \frac{1}{(x-a)^n} \, dx = -\frac{1}{(n-1)\,(x-a)^{n-1}} + C\qquad\mbox{ si }n \ne 1$

$\int \frac{1}{x-a} \, dx = \ln{\left|x-a\right|} + C$

[modifier] Primitives de fonctions logarithmes

$\int \ln {x}\,dx = x \ln {x} - x + C$

$\int \log_b {x}\,dx = x\log_b {x} - x\log_b {e} + C$

[modifier] Primitives de fonctions exponentielles

$\int e^x\,dx = e^x + C$

$\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln{a}} + C$

[modifier] Primitives de fonctions irrationnelles

$\int {1 \over \sqrt{1-x^2}} \, dx = \operatorname{Arcsin} {x} + C$

$\int {-1 \over \sqrt{1-x^2}} \, dx = \operatorname{Arccos}{x} + C$

$\int {x \over \sqrt{x^2-1}} \, dx = \sqrt{x^2-1} + C$

[modifier] Primitives de fonctions trigonométriques

$\int \cos{x}\, dx = \sin{x} + C$

$\int \sin{x}\, dx = -\cos{x} + C$

$\int \tan{x} \, dx = -\ln{\left| \cos {x} \right|} + C$

$\int \operatorname{cosec}{x} \, dx = -\ln{\left| \operatorname{cosec}{x} + \operatorname{cotan}{x}\right|} + C$

$\int \sec{x} \, dx = \ln{\left| \sec{x} + \tan{x}\right|} + C$

$\int \operatorname{cotan}{x} \, dx = \ln{\left| \sin{x} \right|} + C$

$\int \sec^2 x \, dx = \tan x + C$

$\int \operatorname{cosec}^2 x \, dx = -\operatorname{cotan} x + C$

$\int \sin^2 x \, dx = {2x - \sin 2x \over 4} + C$

$\int \cos^2 x \, dx = {2x + \sin 2x \over 4} + C$

[modifier] Primitives de fonctions hyperboliques

$\int \operatorname{sh} x \, dx = \operatorname{ch} x + C$

$\int \operatorname{ch} x \, dx = \operatorname{sh} x + C$

$\int \operatorname{th} x \, dx = \ln (\operatorname{ch} x) + C$

$\int \mbox{cosech}\,x \, dx = \ln\left| \operatorname{th} {x \over2}\right| + C$

$\int \mbox{sech}\,x \, dx = \operatorname{Arctan}(\operatorname{sh} x) + C$

$\int \coth x \, dx = \ln|\operatorname{sh} x| + C$

[modifier] Primitives de fonctions circulaires réciproques

Elles s'obtiennent dans la plupart des cas par intégration par partie. On suppose $a\ne 0$

$\int \operatorname{Arcsin}\,\left(\frac{x}{a}\right)\,dx=x \operatorname{Arcsin}\,\left(\frac{x}{a}\right)+\sqrt{a^2-x^2}+C$

$\int \operatorname{Arccos}\,\left(\frac{x}{a}\right)\,dx=x \operatorname{Arccos}\,\left(\frac{x}{a}\right)-\sqrt{a^2-x^2}+C$

$\int \operatorname{Arctan}\,\left(\frac{x}{a}\right)\,dx=x \operatorname{Arctan}\,\left(\frac{x}{a}\right)-\frac{a}{2}\ln(a^2+x^2)+C$

$\int \operatorname{Arccotan}\,\left(\frac{x}{a}\right)\,dx=x \operatorname{Arccotan}\,\left(\frac{x}{a}\right)+\frac{a}{2}\ln(a^2+x^2)+C$

$\int \operatorname{Arcsec} \left(\frac{x}{a}\right) \, dx = x\,\operatorname{Arcsec} \left(\frac{x}{a}\right) -a\,\ln{\left [\frac{x}{a}\,\left(1+\sqrt{1-{a^2\over x^2}}\right)\right ]} + C$

$\int \operatorname{Arccosec} \left(\frac{x}{a}\right) \, dx = x\,\operatorname{Arccosec} \left(\frac{x}{a}\right) +a\,\ln{\left [\frac{x}{a}\,\left(1+\sqrt{1-{a^2\over x^2}}\right)\right ]} + C$

[modifier] Primitives de fonctions hyperboliques réciproques

On suppose $a\ne 0$ .

$\int \operatorname{argsh}\,\left(\frac{x}{a}\right)\,dx=x \,\operatorname{argsh}\,\left(\frac{x}{a}\right)-\sqrt{x^2+a^2}+C$

$\int \operatorname{argch}\,\left(\frac{x}{a}\right)\,dx=x \,\operatorname{argch}\,\left(\frac{x}{a}\right)-\sqrt{x^2-a^2}+C$

$\int \operatorname{argth}\,\left(\frac{x}{a}\right)\,dx=x\, \operatorname{argth}\,\left(\frac{x}{a}\right)+\frac{a}{2}\ln(a^2-x^2)+C$

$\int \operatorname{argcoth}\,\left(\frac{x}{a}\right)\,dx=x \,\operatorname{argcoth}\,\left(\frac{x}{a}\right)+\frac{a}{2}\ln(x^2-a^2)+C$

$\int \operatorname{argsech} \left(\frac{x}{a}\right) \, dx = x\,\operatorname{argsech} \left(\frac{x}{a}\right) - a\,\operatorname{arctan} \left ( \sqrt{{a^2\over x^2}-1}\right )+ C$

$\int \operatorname{argcosech} \left(\frac{x}{a}\right) \, dx = x\,\operatorname{argcosech} \left(\frac{x}{a}\right) + a\,\ln{\left [\frac{x}{a}\left(1+\sqrt{1+{a^2\over x^2}}\right)\right]}+ C$