Utilisateur:Yves/Electromagnétisme: lois locales et intégrales

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Cet article a pour but de mettre en évidence la complémentarité des mathématiques Équation aux dérivées partielleset de la physique dans l'étude de l'électromagnétisme équations de Maxwell, la lumière et la naissance de la relativité restreinte.

$\Delta=\nabla^2$

$=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}$
Article d' Analyse vectorielle

Équation aux dérivées partielles

Opérateurs

en théorie physique

groupe

physique mathématique

Modèle standard (physique)

$\Delta=\nabla^2$ Cet article fait partie de la série formulaire de physique
Optique
Relativité restreinte
Physique quantique
Electrostatique
Magnétostatique
Electromagnétisme
Mécanique des fluides
Thermodynamique
Physique statistique
Analyse vectorielle
Electronique analogique

[modifier] Electrostatique

Un point M de l'espace est caractérisé par sa position:

$\vec{OM}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}$ le vecteur position au point M et... à l'instant $t$ .
$ρ(M, t)$ est la densité de charge électrique locale en ce point et à cet instant t.

On a donc des charges ou densité de charges distribuées dans l'espace en différents points M et qui sont les sources du champ produit dans tout l'espace.

$\vec{E}(M,t)=E_x (x,y,z,t)\vec{i}+E_y(x,y,z,t)\vec{j}+E_z(x,y,z,t)\vec{k}$ le vecteur champ électrique au point M.

$\epsilon_0\,$ est la permittivité diélectrique du vide, ce qui est à préciser.

Les lois de base de l'électrostatique et en particulier la loi de Coulomb se trouvent dans les formulaires.

Une équation, dite locale par les physiciens, ou aux dérivées partielles par les mathématiciens, donne la divergence du champ électrique en fonction de la densité de la charge électrique. Elle s'écrit :

$\mathrm{div}\ \overrightarrow{E(M)} \ =\overrightarrow{\nabla}\cdot \overrightarrow{E(M)}=\frac{\rho(M)}{\epsilon_0}\ .... \frac{\partial E_x}{\partial x}+\frac{\partial E_y}{\partial y} +\frac{\partial E_z}{\partial z}=\frac{\rho(M)}{\epsilon_0}$

Cette formule, à gauche, physiquement signifie que là où il y a des charges qui produisent une densité de charges non nulle la divergence du champ électrique est non nulle et là où il n'y a pas de charges,ou autant de charges + que de charges -, la divergence du champ électrique est nulle; à droite son équivalent en termes de dérivées partielles. suivant le point M considéré l'équation aux dérivées partielles est avec ou sans second membre.

Or il existe un résultat mathématique qui dit que lorsque la divergence d'un champ est nulle, ce champ est à flux conservatif.

Dans Théorème de Stokes,on trouve:

La formule d'Ostrogradski se réécrit alors :

$\oint_{\partial S} \vec X\ \mathrm d\vec S=\int_V (\mathrm{div} X) \, \mathrm dx\,\mathrm dy\,\mathrm dz$

V est un volume délimité par une surface S fermée.

Son application associée avec l'équation locale donne le Théorème de Gauss (électromagnétisme)lorsqu'on l'applique au champ électrique.

$\oint\int_S \vec E(x,y,z) \cdot d \vec S =\int\int\int_V (\mathrm{div} \vec E(x,y,z)) \, \mathrm dx\,\mathrm dy\,\mathrm dz = \frac{1}{\varepsilon_0}\int\int\int_{V_\rho} \rho(x,y,z)dx dy dz = \frac{\sum Q_{int}}{\varepsilon_o}~$

Si l'on prend un volume qui ne contient pas de charges alors le champ est à flux conservatif c'est à dire que:

$\oint\int_S \vec E \cdot d \vec S = 0 ~$ et donc il suffit de limiter l'application du thèorème là où il y a des charges d'où le résultat : $\frac{\sum Q_{int}}{\varepsilon_o}~$

[modifier] Magnétostatique

$\vec{j}(\vec{r},t)$ le vecteur densité de courant.
$\vec{B}(\vec{r},t)$ le vecteur champ magnétique.
$\mu_0\,$ la perméabilité magnétique du vide.

Il existe une équation dite locale par les physiciens ou aux dérivées partielles par les mathématiciens qui donne le rotationnel du champ magnétique en fonction du vecteur densité de courant. Elle s'écrit :

$\mathrm{rot}\ \overrightarrow{B(M)} \ =\overrightarrow{\nabla}\wedge \overrightarrow{B(M)}= ( \frac{\partial B_z}{\partial y}-\frac{\partial B_y}{\partial z})\vec {i}+( \frac{\partial B_x}{\partial z}-\frac{\partial B_z}{\partial x})\vec {j}+( \frac{\partial B_y}{\partial x}-\frac{\partial B_x}{\partial y})\vec {k} = \mu_0 \overrightarrow{j(M)}$

Cette formule signifie que là où il y a des densité de courant non nulle le rotationnel du champ magnétique est non nul et là où il n'y a pas de courant, le rotationnel du champ magnétique est nul; or il existe un résultat mathématique qui dit que lorsque le rotationnel d'un champ est nul, ce champ est circulation nulle.

Dans Théorème de Stokes,on trouve: La formule d'Ostrogradski se réécrit alors :

$\oint_{\partial S}\vec V \cdot \mathrm d\vec l = \iint_{S}\overrightarrow{\mathrm{rot}} \ \vec V \cdot \mathrm d\vec S$

où $\mathrm d\vec l$ est le vecteur directeur de la courbe en tout point, $\overrightarrow\mathrm{rot}\ \vec V= \nabla \wedge \vec V$ le rotationnel de $\vec V$ , et $d \vec S$ le vecteur normal à un élément de surface infinitésimal dont la norme est égale à la surface de l'élément.

Son application directe est le théorème d'Ampère (on l'applique au champ magnétique).

[modifier] induction magnétique et électrique

[modifier] Equation de Maxwell

Les équations locales de l'électrostatique, de la magnétostatique complétées par les lois de l'induction,c'est à dire en impliquant une variation dans le temps, conduit aux équations suivantes:

avec toujours: $\mathrm{div}\ \overrightarrow{E} \ = \ \frac{\rho}{\varepsilon_0}$ ----et------------ $\mathrm{div}\ \overrightarrow{B} \ = 0$

$\overrightarrow{\mathrm{rot}} \ \overrightarrow{B} \ = \ \mu_0 \overrightarrow{j} \ + \ \varepsilon_0 \mu_0 \ \frac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}$