קשירות (טופולוגיה)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

המחשה גרפית למושג. המרחב העליון A קשיר, בעוד שהתחתון B אינו קשיר

בטופולוגיה, מושג הקשירוּת בא לציין תכונה של מרחבים טופולוגיים שעשויים מ"חתיכה אחת" במובן זה שלא ניתן להפריד אותם לכמה חלקים.

תוכן עניינים

1 הגדרה פורמלית
2 משפטים הנוגעים לקשירות
3 הוכחת המשפטים
- 3.1 תכונת נקודת השבת גוררת קשירות
4 לקריאה נוספת
5 ראו גם

[עריכה] הגדרה פורמלית

יהא $\ X$ מרחב טופולוגי. נאמר כי $\ X$ קשיר אם ורק אם לא קיימות שתי קבוצות פתוחות זרות ולא ריקות $\ A,B$ כך ש $\ A\cup B=X$ .

שתי קבוצות פתוחות שאיחודן הוא המרחב יקראו פירוק של המרחב. במרחבים קשירים קיים רק הפירוק הטריוויאלי שבו שתי הקבוצות הן המרחב כולו והקבוצה הריקה.

מכיוון שהמשלים של קבוצה פתוחה הוא קבוצה סגורה, הרי שכל שתי קבוצות שהן פירוק של המרחב (ולכן משלימות זו את זו) הן גם קבוצות סגורות. מכאן עולה שמרחב הוא קשיר אם ורק אם לא קיימות שתי קבוצות סגורות זרות ולא ריקות שאיחודן הוא כל המרחב, ואם ורק אם לא קיימת קבוצה חלקית ממש למרחב ולא ריקה שהיא פתוחה וגם סגורה (אם קיימת קבוצה $\ A$ כזו, הרי ש $\ (A,A^{C})$ פירוק לא טריוויאלי של המרחב).

[עריכה] משפטים הנוגעים לקשירות

תמונה רציפה של קבוצה קשירה היא קבוצה קשירה.
אם $\ A\subseteq X$ היא קבוצה קשירה, גם כל $\ A\subseteq B\subseteq Cl(A)$ היא קבוצה קשירה.
משפט הפרח:

אם $\ \left\{D_n\right\}_{n\isin\Lambda}$ היא משפחה של קבוצות קשירות המקיימות $\ \bigcap_{n\isin\Lambda}D_n\ne\emptyset$

אז $\ D=\bigcup_{n\isin\Lambda}D_n$ גם היא קבוצה קשירה.

גרסה חזקה יותר של משפט הפרח, עם דרישה מוחלשת:

אם $\ \left\{D_n\right\}_{n\isin\Lambda}$ היא משפחה של קבוצות קשירות וקיים $\ \nu$ כך ש

$\ \forall n \in \Lambda \ : \ \overline{D_n} \cap D_\nu \ne \emptyset \ \mbox{or} \ D_n \cap \overline{D_\nu} \ne \emptyset$ , כלומר: הקבוצות לא מפורדות,

אזי $\ D=\bigcup_{n\isin\Lambda}D_n$ קבוצה קשירה.

מרחב מנה של מרחב קשיר הוא מרחב קשיר.

מרחב מכפלה של קבוצת מרחבים הוא קשיר אם"ם כל רכיביו קשירים.

מרחב טופולוגי $\ X$ הוא קשיר אם לכל שתי נקודות (שונות) במרחב קיימת קבוצה קשירה המכילה את שתיהן.
אם במרחב טופולוגי מתקיים שלכל פונקציה רציפה בו יש נקודת שבת אז המרחב קשיר.

[עריכה] הוכחת המשפטים

[עריכה] תכונת נקודת השבת גוררת קשירות

נוכיח שאם מרחב טופולוגי מקיים את תכונת נקודת השבת, כלומר לכל פונקציה רציפה בו יש נקודת שבת, אז הוא קשיר.

ההוכחה תהיה בדרך השלילה. נניח שהמרחב $\ X$ אינו קשיר, אז קיימות קבוצות פתוחות $\ A,B$ לא ריקות כך ש $\ A\cup B=X, A\cap B=\emptyset$ . מכיוון שהקבוצות לא ריקות קיימים $\ a\isin A,b\isin B$ .

כעת, נגדיר פונקציה $\ f:X\rarr X$ כך:

$\ f(x)=\left\{ \begin{matrix} a & x\isin B \\ b & x\isin A \end{matrix} \right.$

הפונקציה מוגדרת היטב, שכן כל $\ x\isin X$ שייך בדיוק לאחת משתי הקבוצות.

נראה כי הפונקציה רציפה. תהא $\ V\subseteq X$ קבוצה פתוחה. אז קיימות ארבע אפשרויות:

$\ a,b\isin V$ . במקרה זה $\ f^{-1}(V)=X$ .
$\ a\isin V, b\not\isin V$ . במקרה זה $\ f^{-1}(V)=B$ .
$\ a\not\isin V, b\isin V$ . במקרה זה $\ f^{-1}(V)=A$ .
$\ a,b\not\isin V$ . במקרה זה $\ f^{-1}(V)=\emptyset$ .

מכיוון ש $\ X,\emptyset, A,B$ כולן קבוצות פתוחות, הרי שהמקור של קבוצה פתוחה על ידי $\ f$ הוא קבוצה פתוחה, כלומר $\ f$ רציפה.

כעת נשים לב שלא ייתכן שיש ל $\ f$ נקודת שבת. מכיוון שהתמונה של $\ f$ היא שני איברים בלבד, אם קיימת נקודת שבת היא חייבת להיות אחד מהם, אולם $\ f(a)=b\ne a, f(b)=a\ne b$ שכן $\ f(a)\not\isin A,f(b)\not\isin B$ .