תורת ההסתברות
מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
תורת ההסתברות היא ענף של המתמטיקה המנתח באופן כמותי מאורעות שיש בהם אקראיות וחוסר ודאות, כגון ההסתברות שבהטלת שתי קוביות יצא הצירוף שש-שש.
לתורת ההסתברות חשיבות רבה כבסיס לסטטיסטיקה, לתורת המשחקים, לעיבוד אותות, לאלגוריתמיקה, לתורת התורים, לכלכלה, לתורת האינפורמציה ולתחומים רבים נוספים.
[עריכה] רקע היסטורי
במאה ה-16 החל העיסוק בהסתברות, בעבודתו של המתמטיקאי האיטלקי קארדאנו, שהיה מהמר נלהב. עם זאת מקובל לראות את שנת 1654 כתאריך הלידה של תורת ההסתברות. בשנה זו התנהלה תכתובת בין פייר דה פרמה לבין בלז פסקל, בעניין הדרכים לחישוב ההסתברות במשחקי מזל מסוימים. הצעדים הבאים נעשו על-ידי כריסטיאן הויגנס, יעקב ברנולי, פואסון וגאוס. בשנת 1822 פרסם פייר סימון לפלס את ספרו "תאוריה אנליטית של ההסתברות", שהיווה ביסוס שיטתי ראשון של תורת ההסתברות. בשנת 1867 הוכיח צ'בישב את חוק המספרים הגדולים, ולאחר מכן הוכיח תלמידו ליאפונוב את משפט הגבול המרכזי - אלה שני משפטים חשובים של תורת ההסתברות. ביסוס אקסיומטי לתורה זו נעשה רק בשנת 1933, באמצעות האקסיומות של קולמוגורוב.
[עריכה] מושגי יסוד
מושג בסיסי בתורת ההסתברות הוא המאורע פשוט, שהוא תוצאה אפשרית אחת מתוך כלל ההתוצאות האפשריות במרחב המדגם. מאורע הוא קבוצה כלשהי של תוצאות (תת-קבוצה של מרחב המדגם). בהטלת מטבע בודדת מרחב המדגם כולל שתי תוצאות אפשריות: "עץ" או "פלי". כל הטלה של מטבע היא מאורע פשוט, שניתן לשייך לו הסתברות. בהטלת קוביה יש שש תוצאות אפשריות (הערכים 1 עד 6). תוצאות אלה קרויות מאורעות פשוטים - מאורעות שהם זרים (אינם יכולים לקרות בבת אחת) ושווי הסתברות. מאורעות נחשבים כבלתי תלויים אם ההסתברות של כל אחד מהם אינה מושפעת מהעובדה שהאחר קרה. שתי הטלות נפרדות של קוביה, למשל, הן מאורעות בלתי תלויים.
ההסתברות של איחוד של מאורעות זרים שווה לסכום ההסתברויות של כל אחד מהמאורעות. דוגמה: בהטלת קוביה, ההסתברות של כל תוצאה אפשרית היא שישית. למאורע "תוצאה זוגית", שהוא איחוד של המאורעות הזרים 2, 4, 6, הסתברות של חצי.
ההסתברות של חיתוך של מאורעות בלתי תלויים, כלומר ההסתברות שכל המאורעות הללו יקרו יחדיו, שווה למכפלת ההסתברויות של כל אחד מהמאורעות. דוגמה: מה ההסתברות שבשלוש הטלות רצופות של מטבע התוצאה "עץ" תופיע לפחות פעם אחת? המאורע המשלים למאורע זה הוא שבכל שלוש הזריקות הופיעה התוצאה "פלי". ההסתברות של מאורע זה שווה למכפלת ההסתברויות של התוצאה "פלי" בכל אחת משלוש הזריקות, כלומר ההסתברות של המאורע המשלים היא חצי כפול חצי כפול חצי, שהיא שמינית. לפיכך ההסתברות שבשלוש הטלות רצופות של מטבע התוצאה "עץ" תופיע לפחות פעם אחת היא שבע שמיניות.
הסיכויים שהקובייה תיפול על מס' כלשהו, לדוגמה 6, הם 1/6. הסיכוי לכל מס' שיפול על הצד העליון של הקוביה הוא כ 16.6666% מתוך 100%. הסיכוי שבשני קוביות ייפול אותו מס' הוא 1/36, באחוזים מתוך 100: כ 2.7777% . הסיכויים שבשלוש קוביות ייבחר אותו מס' הם 1/216, באחוזים: כ 0.4629%. ככל שמס' הקוביות גדל, כך גם הסיכוי שיפלו בכולם אותו המס' הם קטנים יותר.
לחישוב הסתברויות של מאורעות מורכבים יותר נעשה שימוש בקומבינטוריקה.
מושגי יסוד אלה מאפשרים מתן פתרון לשלל בעיות לא טריוויאליות, הנה אחת מהן: הטוב, הרע והמכוער עורכים קרב אקדחים משולש, שבו לכל אחד מהם, בתורו, זכות ליריה אחת. אקדוחן שנפגע יוצא מהקרב, והקרב נמשך עד שרק אחד מהשלושה שורד. ידוע לכל שההסתברות שהטוב יפגע ביריה אחת היא 0.3, הרע אינו מחטיא לעולם, והמכוער פוגע בהסתברות של 0.5. מה הטקטיקה המומלצת לטוב, שמתחיל את סבב היריות, כדי להביא למקסימום את סיכויו לשרוד?
פתרון: לטוב, שהוא האקדוחן החלש מבין השלושה, שתי חלופות למטרה שיבחר לירייתו הראשונה: הרע והמכוער.
- אם יירה לעבר המכוער ויפגע בו, מותו של הטוב ודאי, משום שמיד לאחר מכן הרע יירה בטוב, והרע, כידוע, אינו מחטיא לעולם.
- אם יירה לעבר הרע ויפגע בו, יתחיל דו-קרב בין המכוער לטוב, שבו המכוער יורה לעבר הטוב ופוגע בהסתברות של 0.5. אם החטיא, יורה הטוב לעבר המכוער ופוגע בהסתברות של 0.3. דו-קרב זה נמשך עד שאחד משני היורים נפגע. ניתן לחשב שההסתברות של הטוב לשרוד קרב זה היא 3/13. הסתברות זו קטנה מההסתברות של הטוב לפגוע ביריה אחת ברע, שהיא 3/10.
הטקטיקה המומלצת לטוב היא, לפיכך, לבחור בחלופה שלישית, ולירות את היריה הראשונה שלו באוויר. כעת תורו של הרע, והוא יירה כמובן לעבר המכוער, המהווה מבחינתו סיכון גדול יותר, ויפגע בו. כעת תורו של הטוב, ויש לו הזדמנות אחת ויחידה לפגוע ברע, בהסתברות של 0.3.
הצגה לא מדויקת של בעיות בהסתברות עלולה להביא לתוצאות פרדוקסליות. דוגמה בולטת לכך היא פרדוקס המעטפות.
