תורת שטורם-ליוביל

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

במתמטיקה, תורת שטורם-ליוביל עוסקת בחקר משוואות דיפרנציאליות מסוימות ומציאת התנאים שבהם יש להן פתרון. לתורה שימושים רבים במתמטיקה שימושית ובתורת המשוואות הדיפרנציאליות החלקיות.

תוכן עניינים

1 תיאור
2 דוגמאות ושימושים
- 2.1 משוואת החום
- 2.2 משוואת שרדינגר
3 ראו עוד

[עריכה] תיאור

תורת שטורם-ליוביל (על שם המתמטיקאים צ'ארלס שטורם וז'וזף ליוביל) עוסקת בחקר משוואות דיפרנציאליות מהצורה

${d\over dx}\left(p(x){dy\over dx}\right)+q(x)y=\lambda w(x)y$

כאשר $\ \lambda$ הוא פרמטר, ולרוב בנוסף למשוואה נתונים ערכי $\ y,y'$ בקצוות הקטע שעליו חוקרים את המשוואה.

חלק מהבעיה הוא מציאת ערכים של הפרמטר $\ \lambda$ שעבורם יש למשוואה פתרון. פתרונות של המשוואה הם פונקציות עצמיות של אופרטור גזירה הרמיטי מעל מרחב פונקציות שמוגדר על ידי תנאי הקצה.

[עריכה] דוגמאות ושימושים

[עריכה] משוואת החום

משוואת החום (נקראת גם משוואת הדיפוזיה) היא משוואה הבאה מעולם התרמודינמיקה ועוסקת במעבר חום דרך הולכה או פעפוע. המשוואה נתונה על ידי

$\ \partial_x^2 \Psi(x,t) = \partial_t \Psi(x,t)$

נפתור אותה עם תנאי התחלה

$\ \Psi(x,0) = \Psi_0(x)$

ותנאי שפה

$\ \Psi(0,t) = \Psi( \pi , 0) = 0$

נבצע הפרדת משתנים $\ \Psi(x,t) = R(x) \cdot T(t)$ ונקבל אחרי העברת אגפים

$\ R''(x)/R(x) = T'(t)/T(t)$

מאחר שאגף ימין תלוי רק ב t ושווה לאגף שמאל שתלוי רק ב x נובע שכל אגף שווה לקבוע. (באופן כללי הקבוע יכול להיות שלילי, חיובי או אפס, אבל יש לשים לב שרק קבוע שלילי יתן לנו דעיכה של הטמפרטורה בזמן, ולכן משיקולים פיזיקליים נכון לבחור בו) כלומר:

$\ T'(t) = -\omega T(t) \quad , \quad R''(x) = -\omega R(x)$

לכן, קיבלנו שתי משוואות דיפרנציאליות לכל קבוע הפרדה $\ -\omega$ ובסה"כ מערכת של אינסוף משוואות. נפתור כל משוואה דיפרנציאלית לחוד ונקבל

$\ T(t) = T_0 \exp( -\omega t)$

$\ R(x) = A \sin( \sqrt{\omega} x) + B \cos( \sqrt{\omega} x)$ .

אם נציב את תנאי השפה נקבל שהפתרון עבור x יהיה מהצורה

$\ R_n(x) = A_n \sin(n x)$ לכל $\ 1 \le n \in \mathbb{N}$

לכן, יש לנו רק מספר בן מניה של קבועי הפרדה, והם נתונים על ידי

$\ \omega_n = n^2 \quad n = 1,2,3, \cdots$ .

לכן, קיבלנו אינסוף (ליתר דיוק אלף 0) פתרונות מהצורה:

$\ \Psi_n(x,t) = A_n \sin (nx) \exp( -n^2 t)$

זהו בעצם בסיס למרחב הפתרונות של המד"ח.

ואכן, מכיוון שהמד"ח המקורית היא לינארית, כל צירוף לינארי של פתרונות, הפתרון הכללי יהיה

$\ \Psi(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty}{A_n \sin (nx) \exp( -n^2 t) } = \sum_{n=1}^{\infty}{A_n e^{-n^2 t} \sin(n x)}$

את הקבועים $A n$ נמצא באמצעות תנאי ההתחלה ושיקולים של אורתוגונליות. מציבים t=0 ואז מקבלים טור פורייה, שהוא פיתוח בבסיס ההרמוני (בסיס של סינוסים וקוסינוסים) בקטע $[ - π,π]$ . מאחר שבידינו יש רק סינוסים בטור, נוכל לעשות המשכה אי-זוגית של הפתרון ותנאי ההתחלה ולמצוא את המקדמים $A n$ כמקדמי הפיתוח של טור פורייה של תנאי ההתחלה.

כעת נפתור אותה עם תנאי התחלה

$\ \Psi(x,0) = \Psi_0(x)$

ועם תנאי השפה

$\ \Psi(0,t) = 0$ בלבד.