Axiomatikus halmazelmélet

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

Az axiomatikus halmazelmélet a matematika halmazelmélet nevű résztudományának axiomatikus-deduktív módon történő kifejtése. Megkülönböztetjük korai elődjétől az "intuitív" vagy naiv halmazelmélettől, mely Cantor nevéhez fűződik és mely a keletkezésének idején még nem ismert logikai problémák fellépése miatt ellentmondásosnak bizonyult.

Minden axiomatikus halmazelmélet feltételez egy formális-axiomatikus halmazelméletet, melyben az elmélet kijelentéseit a formális nyelvek szerkezeteivel fejezzük ki. Egy matematikai elmélet formalizálhatósága (majd axiomatizálhatósága) azért fontos, hogy magát az elméletet és a benne megfogalmazott kijelentéseket szintén matematikai vizsgálatok (matematikai logikai vizsgálatok) tárgyává tehessük. Ezek a vizsgálatok döntik el például azt, hogy az elmélet ellentmondásmentes-e, negációteljes-e, illetve axiómái függetlenek-e egymástól. Ettől függetlenül minden formális-axiomatikus elmélet lényegében ugyazokat a kijelentéseket szándékozik formalizálni, így nyugodtan beszélhetünk egy egységes "nyelvfüggetlen" axiomatikus halmazelméletről. Azok a lényeges kölönbségek amiben az egyes formalizációk eltérnek, az "informális" elméletben is megjelennek, azaz, hogy mik az axiómák. Másrészt a mindennapi matematikai gyakorlat is ezt az "informális" halmazelméletet használja, leszámítva a kifejezetten formális nyelvi vizsgálatokat végző matematikai logikát.

[szerkesztés] Alapfogalmak

[szerkesztés] Az ∈ szimbólum

Tulajdonképpen több formális-axiomatikus halmazelmélet létezik, melyek nagyrészt elsőrendű nyelven kifejtett formális logikai rendszerek. Közös jellemzőjük, hogy mindegyik tartalmazza a

'... eleme ...-nak'

(formálisan 'x ∈ y') kétváltozós relációt (vagy másként kétbemenetű predikátumot) és az erre vonatkozó jellegzetes halmazelméleti axiómákat.

[szerkesztés] Halmaz

Egyes elméletekben az ' ∈ ' reláción kívül szerepel a

'... halmaz'

predikátum mint alapfogalom, vagy mint valamilyen módon definiált tulajdonság.

[szerkesztés] { | } objektumok

Minden halmazelméletben központi jelentősségűek az { x | P(x) } alakú kifejezések (itt P(x) predikátumot jelöl) melyeknek szándékolt jelentése: "azon x-ek összessége, melyekre P(x) teljesül". Az elsőrendű nyelvekre épülő halmazelméletekben azonban csak látszólagosan szerepel az elmélet nyelvében. Valójában ezeket az kifejezéseket a formális nyelvben az ' ∈ ' jel mindkét oldaláról ki lehet (és ki is szokás) küszöbölni, például:

$a\in \{x\mid P(x)\} \Longleftrightarrow P(a)$

[szerkesztés] Ontológiai osztályozás

A halmazelméletnek számos variánsát dolgozták ki. Érdemes őket olyan szempontból tekinteni, hogy formális nyelvük milyen entitások létezését feltételezi tárgyalási univerzumukban.

Zermelo-Fraenkel halmazelmélet(ZF) ez a halmazelmélet leggyakrabban alkalmazott axiomatizált elmélete. A ZFC elméletet (azaz a kiválasztási axiómával bővített ZF elmélettet) sztenderd halmazelméletnek is nevezik. Ontológiájában kizárólag halmazok szerepelnek, azaz nem kell külön bevezetni a '... halmaz' predikátumot, mert minden változója automatikusan halmazváltozónak minősül. ZF lényegében csak halmazokól tud állítást tenni. Egy további tagja ennek az ontológiai osztálynak a Kripke-Platek halmazelmélet (KP).
Neumann–Bernays–Gödel-halmazelmélet (NBG) ebben a halmazelméletben definiálnak egy $\,Set(x)\,$ predikátumot, a következőképpen:

$Set(x)\iff(\exists y)(x\in y)$

ez játssza a '... halmaz' predikátum szerepét. Ennek megfelelően léteznek olyan elemek a tárgyalási univerzumban, melyek nem halmazok. Ezek a valódi osztályok. Ezek segítségével jól láthatóvá válnak azok a jelenségek, melyek a naiv halmazelmélet ellentmondásosságához vezettek. NBG ontológiája tehát némiképp gazdagabb mint ZF-é, mert többféle dologról képes állítást tenni. Mindazonáltal meg kell jegyeznünk, hogy NBG bővebb volta csak látszólagos, valójában a két elmélet ekvikonzisztens.

Bourbaki halmazelmélet – A Bourbaki halmazelmélet érdekessége, hogy nem a hagyományos elsőrendű nyelvre alapul, hanem egy kétdimenziós, grafikus elemeket is tartalmazó formális rendszerre (mely azonban lényegében megfelel egy elsőrendű nyelvnek). További furcsaság, hogy a nyelvében a Hilbert-féle epszilon szimbólum segítségével megfogalmazhatók határozatlan deskripciók, melyek révén bármilyen tulajdonságú dolognak lehet képezni a nevét. A Bourbaki halmazelmélet ontológiája tehát annyiban összetettebb, amenyiben a deskripciók elméletének problémái megjelennek benne.
Urelemenes Kripke-Platek halmazelmélet (KPU) illetve Ruzsa-féle halmazelmélet – Ezekben a halmazelméletekben az osztályokon kívül olyan entitások is megjelennek, melyek halmaznak lehetnek ugyan elemei, de maguk nem halmazok. Az ilyen objektumokat őselemeknek vagy ősobjektumoknak nevezzük. Létük a logikai szemantika szempontjából fontos.

A többi halmazelmélet lényegében ezeknek a rendszereknek (főleg a ZFC-nek) bővítésével, vagy valamely axiómájuk módosításával jönnek létre.

[szerkesztés] A halmazelmélet axiómái

Felsoroljuk a sztenderd halmazelmélet (azaz a ZFC rendszer) axiómáit, ugyanis a többi halmazelmélet axiómarendszerét ezzel érdemes összevetni.

[szerkesztés] S0 A létezés axiómája

Létezik halmaz.

Ez az axióma lényegében szükségtelen, például azért mert később a végtelenségi axióma deklarál egy halmaz létezését. Gyakran úgy is fogalmaznak, hogy létezik az üreshalmaz.

[szerkesztés] S1 Meghatározottsági axióma vagy az extenzionalitás axiómája

Ha két halmaznak ugyanazok az elemei, akkor a két halmaz egyenlő.

[szerkesztés] S2 Páraxióma

Ha A és B halmaz, akkor létezik az a halmaz melynek A és B az elemei és nincs más eleme (jelben: {A,B}).

[szerkesztés] S3 Unió axióma

Minden halmazrendszernek van unióhalmaza.

[szerkesztés] S4 Hatványhalmaz axióma

Minden halmaznak létezik hatványhalmaza.

[szerkesztés] S5 Részhalmaz axióma vagy elkülönítési axióma

Ha T valamilyen (a halmazelmélet terminusaival megfogalmazható) tulajdonság és A halmaz, akkor létezik az a halmaz, mely pontosan az A halmaz T tulajdonságú elemeiből áll

(jelben: {x ∈ A | T(x) }).

Lényegében ez egy axiómaséma.

[szerkesztés] S6 Végtelenségi axióma

Létezik monoton halmaz.

Monoton halmazon itt olyan M halmazrendszert kell érteni, melyre teljesül, hogy:

$\emptyset\in \mathcal{M}$ és
$\mathcal{M}\,$ minden $H\,$ elemével együtt a $H\cup \{H\}$ halmaz is eleme $\mathcal{M}$ -nek.

itt ∪ az unió jele.

[szerkesztés] S7 (C) Kiválasztási axióma

Nemüres halmazok nemüres rendszerének Descartes-szorzata nem üres.

Azaz ha H olyan halmazrendszer, mely nem üres és egyik tagja sem üres, akkor létezik olyan (halmazelméleti) függvény, mely H-n értelmezett és H minden egyes X tagjához egy X-beli elemet rendel.

[szerkesztés] S8 A pótlás axiómája vagy a helyettesítés axiómája

Ha P(x,y) kétváltozós predikátum mely a halmazelmélet terminusaival megfogalmazható és egyértelmű az y változójában, továbbá H halmaz, akkor { y | 'x ∈ H és P(x,y)' } halmaz.

Azaz, legyen P függvényszerű abban az értelemben, hogy minden egyes x-hez egyetlen y létezik, mellyel P(x,y) fennáll, ekkor tekinthetjük azt a (nem halmazelméleti!) 'f(x)=y' függvényt, mely minden x-hez azt az egyetlen y-t rendeli, melyre P(x,y) teljesül. A pótlás axiómája azt mondja, hogy ekkor minden H halmaz f általi f(H) képe szintén halmaz.

[szerkesztés] S9 A regularitás axiómája vagy a fundáltság axiómája

Egy nemüres halmaznak mindig van olyan eleme, mellyel már nincs közös része.

Megjegyezzük, hogy ennek az axiómának következménye, hogy minden H halmaz esetén cáfolható az H ∈ H kijelentés, azaz minden H halmaz esetén H nem lehet eleme H-nak. Érdekesség, hogy ha nem tennénk fel ezt az axiómát, akkor létezhetne végtelen leszálló lánc az ∈ relációra vonatkozóan, például:

... ∈ H ∈ H ∈ H ∈ ...

[szerkesztés] Külső hivatkozások

A Planetmath Set theory szócikke

A lap eredeti címe "http://hu.wikipedia.org../../../a/x/i/Axiomatikus_halmazelm%C3%A9let.html"

Kategóriák: Halmazelmélet | Logika